PROBABILIDAD.

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1 PROBABILIDAD

2 Experimentos aleatorios.
Al soltar un objeto, sabemos que cae. Al lanzar un dado, no sabemos que puntuación saldrá. Al calentar agua a 100ºC, sabemos que se produce vapor. Al comenzar un partido de fútbol, no sabemos el resultado final. Experimento determinista. Podemos predecir el resultado. Experimento aleatorio. No podemos predecir su resultado. Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; 2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; 3. El resultado que se obtenga pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.

3 Sucesos. El espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Lo denotaremos normalmente mediante la letra . Los elementos del espacio muestral (los posibles resultados del experimento) se denominan sucesos elementales. Se llama suceso a cualquier subconjunto de , es decir, a cualquier subconjunto de resultados posibles. Los sucesos se suelen representar con letras mayúsculas. Decimos que un suceso se verifica u ocurre al realizar un experimento aleatorio si el resultado obtenido forma parte de dicho suceso. Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzar un dado y observar su puntuación. Espacio muestral:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Algunos sucesos: Salir 5: A = {5} Salir par: B = {2, 4, 6} Salir menos de 3: C = {1, 2} El suceso A es elemental. Los sucesos B y C son compuestos.

4 3 6 9 1 10 4 7 2 5 8 Sucesos. Espacio muestral Suceso Suceso elemental
Un espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles. Nuestro objetivo es determinar P(A), la probabilidad de que ocurra el suceso A. Sacamos una bola de la urna y miramos su número 3 6 9 1 10 4 7 2 5 8 Suceso Un suceso es cualquier colección de uno o más sucesos elementales. Suceso elemental Los resultados individuales se llaman sucesos elementales.

5 Suceso seguro y suceso imposible.
Se llama suceso seguro al que contiene todos los resultados posibles del experimento. Este suceso se verifica siempre y coincide con el espacio muestral . Ejemplo: Al lanzar un dado, el suceso A: sacar un número menor o igual que 6, es un suceso seguro, se verifica siempre. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} =  Se llama suceso imposible al que no contiene ningún resultado posible del experimento. Este suceso no se verifica nunca y coincide con el conjunto vacío Φ. Ejemplo: Al lanzar un dado, el suceso B: sacar un 0, es un suceso imposible, no se verifica nunca. B = Φ

6 Operaciones con sucesos.
B  Unión. Se llama unión de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A o en B. Se representa por A  B. A  B se verifica si se verifican A o B. A  B Intersección. Se llama intersección de los sucesos A y B al suceso formado por todos los resultados que están en A y en B a la vez. Se representa por A  B. A  B se verifica si se verifican simultáneamente A y B. A B  AB

7 Operaciones con sucesos.
Diferencia. Se llama diferencia entre el suceso A y el suceso B al suceso formado por todos los resultados que están en A, pero no en B. Se representa por A – B. A – B se verifica si se verifica A, pero no se verifica B. A – B A B  Complemento. Se llama complemento o contrario del suceso A, y se representa por Ā o Ac, al suceso formado por todos los resultados del experimento que no están en A, es decir, a la diferencia  – A. El suceso Ā se verifica si no se verifica A. A 

8 Propiedades de las operaciones con sucesos.
A  B = B  A A  B = B  A (A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C) A  A = A A  A = A A  (A  B) = A A  (A  B) = A A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  Φ = A A   = A A  Ā =  A  Ā = Φ

9 Sucesos compatibles y sucesos incompatibles.
Dos o más sucesos son compatibles si pueden verificarse simultáneamente. En caso contrario, son incompatibles (no pueden verificarse simultáneamente). Ejemplo: Al lanzar un dado, sean los sucesos: A = {2, 3}, B = {1, 2} y C = {4, 5}. A y B son compatibles porque se verifican simultáneamente si obtenemos un 2. A y C son incompatibles, no tienen ningún elemento en común. Dos o más sucesos sólo pueden verificarse simultáneamente si tienen al menos un resultado común. Por tanto, para saber si son o no compatibles averiguaremos si su intersección es el conjunto vacío Φ A  B = Φ  A y B incompatibles Decimos que tres o más sucesos son incompatibles dos a dos si es incompatible cualquier pareja que se pueda formar entre ellos.

10 Sistema completo de sucesos (Partición).
Si  es el espacio muestral de un experimento aleatorio, los sucesos A1, ....., An forman un sistema completo de sucesos (o una partición) si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. A1   An =  2. A1, ....., An son incompatibles dos a dos. A1 A2 A3 A4  A  Partición en 4 sucesos: A1, A2, A3 y A4. A y Ā forman una partición. Ejemplo: En el experimento de lanzar un dado, sean los sucesos: G = {1, 2, 3}, H = {4, 5} e I = {6}. Estos sucesos cumplen: 1. Su unión es el espacio muestral: G  H  I =  2. Son incompatibles dos a dos: G  H = Φ, G  I = Φ, H  I = Φ Por tanto, los sucesos G, H e I forman un sistema completo de sucesos.

11 0  P(A)  1 Definición y propiedades de la probabilidad. Seguro
La probabilidad es una medida numérica del grado de certeza sobre la ocurrencia o no de un suceso. Seguro Verosímil 50-50 Poco verosímil Imposible 1 0.5 0  P(A)  1 Imposible que ocurra Seguro que ocurre

12 Definición experimental (frecuentista).
Si repetimos N veces un experimento aleatorio:  El número de veces que se verifica un suceso A se llama frecuencia absoluta de A y se simboliza por nA.  El cociente entre las frecuencias absolutas y el número N de veces que se repite el experimento se llama frecuencia relativa del suceso A y se simboliza por fA. A medida que aumenta el número de veces que se repite el experimento, las frecuencias relativas de un suceso tienden hacia cierto valor. Esta propiedad (que se conoce como ley de los grandes números) permite dar la siguiente definición de la probabilidad de un suceso. Definición experimental de la probabilidad: Dado cualquier suceso A asociado a un experimento aleatorio, llamamos probabilidad de A, P(A), al número hacia el que tienden las frecuencias relativas de A al aumentar el número de realizaciones del experimento.

13 Definición axiomática de la probabilidad.
Dado el espacio muestral  asociado a un experimento aleatorio, llamamos probabilidad a una función P:   R A  P(A) que asocia a cada suceso A un número real llamado probabilidad de A, P(A), y que cumple los siguientes axiomas: P(A)  0 A1. La probabilidad de cualquier suceso A es positiva o cero: A2. La probabilidad del suceso seguro vale 1: P() = 1 A3. Si dos sucesos A y B son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades: A  B =   P(AB) = P(A) + P(B)

14 = + - Propiedades de la probabilidad. P(A) + P(Ā ) = 1 A
 P(A) + P(Ā ) = 1 P1. A y Ā son incompatibles. Luego, por el axioma 3, P(A) + P(Ā) = P(A  Ā) = P() = 1 A  B  P(A)  P(B) P2. B  A A – B A y A – B son incompatibles. Luego, por el axioma 3, P(A) + P(A–B) = P(A  (A–B)) = P(B). Como P(A–B)  0, entonces P(A)  P(B). P(A  B) = P(A) + P(B) – P(AB) P3. P(AB) A B P(A) A B P(B) A B P(AB) A B = + -

15 EJEMPLO Sabiendo que: Halla la probabilidad de los sucesos: a) b) y c) B a) b) c)

16 Cálculo de probabilidades.
El problema, ahora, es asignar probabilidades a sucesos. Hemos visto que una manera de hacerlo es repetir el experimento y obtener la frecuencia relativa del suceso (en muchos problemas aparecerá como % de ocurrencia del suceso). Vamos a ver dos casos particulares en los que no hace falta realizar el experimento para asignar probabilidades a sucesos (Probabilidad a priori):  Experimentos con sucesos elementales equiprobables  Regla de Laplace  Experimentos compuestos  Diagrmas en árbol

17 Regla de Laplace Casos favorables a A Casos posibles P(A) =
En cualquier experimento aleatorio en el que los sucesos elementales son equiprobables: P(A) = Casos favorables a A Casos posibles EJEMPLO Al lanzar un dado, calcula la probabilidad de los sucesos: A: salir un dos B: salir número par

18 Regla de Laplace EJEMPLO
Al lanzar dos dados, calcula la probabilidad de que la suma sea 5. Casos favorables: (1,4), (2,3), (3,2) y (1,4)  4 Casos posibles: (1,1), (1,2), ....., (6,5) y (6,6)  36 Al extraer tres cartas de una baraja española, ¿cuál es la probabilidad del suceso A: obtener tres figuras? EJEMPLO Casos posibles: · 39 · 38 = 59280 Casos favorables a A: · 11 · 10 = 1320

19 Diagramas en árbol Veamos cómo calcular la probabilidad de un suceso en un experimento compuesto a partir de las probabilidades de los sucesos de los experimentos simples que lo componen. Los experimentos compuestos pueden representarse por diagramas en árbol, donde cada resultado viene dado por un camino del diagrama, y en el que cada rama tiene asignada una probabilidad. Así, para calcular la probabilidad de un suceso debemos tener en cuenta: 1. La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas de ese camino. 2. La probabilidad de un suceso es la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos que conducen a la verificación del suceso.

20 EJEMPLO Lanzamos tres veces una moneda. C  {C, C, C} C X  {C, C, X} C C  {C, X, C} X X C  {X, C, C} C X X C X X

21 EJEMPLO Una bolsa contiene tres bolas rojas y dos bolas azules. Extraemos, sucesivamente y con reposición, dos bolas y observamos su color. ¿Cuál es la probabilidad del suceso S: obtener una bola roja y una bola azul, sin importar el orden? Sean los sucesos R: sacar bola roja, A: sacar bola azul Diagrama en árbol. Señalamos los caminos favorables al suceso S. R A Para calcular la probabilidad de cada rama utilizamos la regla de Laplace.  {R, A}  {A, R} La probabilidad de S, P(S), es la suma de las probabilidades de los caminos favorables a S.

22 Probabilidad condicionada.
En ocasiones, disponer de información previa sobre un suceso hace que varíe su probabilidad. Veámoslo con un ejemplo. Chicas Chicos Ordenador En una clase de 30 alumnos, 20 tienen ordenador y 16 son chicas. Al elegir un alumno al azar, estamos interesados en los sucesos: A: escoger un alumno que tenga ordenador. B: escoger una chica. La probabilidad de estos sucesos la podemos obtener con la regla de Laplace: Si entre las chicas hay 10 que tienen ordenador, la probabilidad del suceso A  B, escoger una chica que tenga ordenador será:

23 Probabilidad condicionada.
Supongamos ahora que hemos elegido un alumno al azar y resulta ser una chica. Con esta información adicional, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ordenador? Esto equivale a calcular la probabilidad de A sabiendo de antemano que el alumno elegido es chica, es decir, que ha ocurrido B. Esta probabilidad se representa por P(A/B) y se dice que es la probabilidad de A condicionada a B. Y dividiendo numerador y denominador por 30 (número de alumnos) tenemos que: Definición de probabilidad condicionada: Dados dos sucesos A y B, tales que P(B)  0, se llama probabillidad de A condicionada a B (o probabilidad de A dado B), P(A/B), al cociente: P(AB) P(B) P(A/B) =

24 Propiedades de la probabilidad condicionada.
PC1. B  C  P(B/A)  P(C/A) PC2. PC3. A  B  P(B/A) = 1

25 Probabilidad condicionada.
EJEMPLO Lanzamos un dado. Calcula la probabilidad de que la puntuación obtenida sea un dos, sabiendo que dicha puntuación es un número primo (incluimos al 1 como primo). Hemos de calcular P(A/B), donde A: obtener un dos y B: obtener un número primo. Aplicando la regla de Laplace: Aplicando la expresión de la probabilidad condicionada: Fíjate en que la probabilidad de obtener un dos sin ninguna información adicional es 1/6.

26 Probabilidad compuesta.
De la probabilidad condicionada se deriva la siguiente expresión que resulta muy útil en el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos: P(AB) = P(B)·P(A/B) Esta expresión es conocida como principio de la probabilidad compuesta o probabilidad producto. Los experimentos aleatorios compuestos son el resultado de realizar varios experimentos aleatorios simples.

27 Probabilidad compuesta.
EJEMPLO Una bolsa contiene 3 bolas rojas (R) y 3 verdes (V). Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean rojas? Hay que calcular la probabilidad de roja y roja: P(R1R2). Utilizando la regla de la probabilidad compuesta: También podemos representarlo con un diagrama en árbol:

28 Sucesos dependientes y sucesos independientes.
Al lanzar dos veces un dado, el hecho que se verifique o no el suceso B: número par en el primer lanzamiento no influye en el suceso A: número impar en el segundo lanzamiento, ni viceversa. En este caso, la probabilidad de que ocurra un suceso no está condicionada a que ocurra el otro. Por tanto: P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) A partir del principio de la probabilidad compuesta se tiene que: P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(A)·P(B) Diremos, entonces, que ambos sucesos son independientes. Decimos que dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, son independientes si se cumple: P(AB) = P(A)·P(B) En caso contrario, se dice que A y B son dependientes.

29 P(B1  B2) = P(B1)·P(B2/B1) EJEMPLO
Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las dos sean bastos en los siguientes casos: a) Sin reemplazamiento de la 1ª carta extraída. b) Con reemplazamiento de la 1ª carta extraída. Definimos los sucesos B1: la 1ª carta es de bastos B2: la 2ª carta es de bastos La probabilidad buscada en ambos casos es la de la rama que verifica el suceso B1  B2 P(B1  B2) = P(B1)·P(B2/B1)  P(B1  B2) B2 B1 Calculamos P(B1) con la regla de Laplace:

30 EJEMPLO Se extraen sucesivamente dos cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las dos sean bastos en los siguientes casos: a) Sin reemplazamiento de la 1ª carta extraída. b) Con reemplazamiento de la 1ª carta extraída. a) Sin reemplazamiento de la 1ª carta extraída. Tras la 1ª extracción quedan 39 cartas. Además, si la 1ª carta ha sido de bastos, quedan 9 bastos. b) Con reemplazamiento de la 1ª carta extraída. Tras la 1ª extracción hay las mismas cartas (40) y los mismos bastos (10). Luego la 1ª extracción no afecta a la 2ª; B1 y B2 son independientes.

31 EJEMPLO Sean A, B y C sucesos tales que: P(A) = 0,5, P(B) = 0,6, P(C) = 0,4, P(AB) = 0,8 y P(AC) = 0,3 a) ¿Son A y B independientes? c) ¿Son A y C independientes? b) Calcula P(A/B) d) Calcula P(A/C) a) A y B serán independientes si P(AB) = P(A)·P(B). Debemos calcular primero P(AB). Para ello, usamos la regla de la suma: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB), de donde P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,5 + 0,6 – 0,8 = 0,3. Como P(A)·P(B) = 0,5 · 0,6 = 0,3 = P(AB), los sucesos A y B son independientes. b) Como A y B son independientes, P(A/B) = P(A) = 0,5 c) P(AC) = 0,3. P(A)·P(C) = 0,5 · 0,4 = 0,2  0,3. Como P(AC)  P(A)·P(C), los sucesos A y C no son independientes. d) Como A y C no son independientes, debemos utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada:

32 Teorema de la probabilidad total.
Sea A1, A2, ....., An un sistema completo de sucesos y B, un suceso cualquiera, todos ellos asociados a un mismo experimento aleatorio. Si P(A1), P(A2), ....., P(An) son no nulas, se cumple que: P(B) = P(A1)·P(B/A1) + P(A2)·P(B/A2) + ….. + P(An)·P(B/An) A1 A2 A3 B BA1 BA3 BA2 P(B) = P(B  A1) + P(B  A2) + P(B  A3) P(B) = P(A1)·P(B/A1) + P(A2)·P(B/A2) + P(A3)·P(B/A3)

33 Teorema de la probabilidad total.
EJEMPLO Teorema de la probabilidad total. El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que un 24% de las mujeres y un 16% de los hombres están en el paro. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población activa en este país esté en el paro? Sea M el suceso de que sea mujer y H el suceso de que sea hombre. En este caso, la partición está formada por dos sucesos: ser mujer y su complementario, no ser mujer, o ser hombre. El teorema de la probabilidad total se puede expresar: Mujer Hombre Paro Trab 0,42 0,58 0,24 0,16 0,76 0,84 P(Paro) = P(Paro/M)·P(M) + P(Paro/H)·P(H) P(Paro) = 0,24 · 0,42 + 0,16 · 0,58 = 0,1936

34 Teorema de la probabilidad total.
EJEMPLO Teorema de la probabilidad total. En una fábrica se embalan (en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje; A1, A2, A3 y A4. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1 y el 20%, 24% y 21% en A2, A3 y A4 respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas; el 1% de A1, el 3% de A2, el 2.5% de A3 y el 2% de A4. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja elegida al azar de la producción total sea defectuosa? Sea D = defectuosa. D Dc A1 0,35 0,20 0,24 0,21 0,01 0,03 0,025 0,02 P(A1D) = 0,01 · 0,35 P(D) = P(D/A1)·P(A1) + + P(D/A2)·P(A2) + + P(D/A3)·P(A3) + + P(D/A4)·P(A4) P(A2D) = 0,03 · 0,20 P(A3D) = 0,025 · 0,24 P(D) = 0,01 · 0,35 + + 0,03 · 0,20 + + 0,025 · 0,24 + + 0,02 · 0,21 = 0,0197 P(A4D) = 0,02 · 0,21

35 Teorema de Bayes. Ejemplo: El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que un 24% de las mujeres y un 16% de los hombres están en el paro. Supongamos que se elige un adulto al azar para rellenar un formulario y se observa que está en paro. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea mujer? Tenemos que calcular P(M/Paro). Según la definición de probabilidad condicionada: M H Paro Trab 0,42 0,58 0,24 0,16 0,76 0,84 En el diagrama vemos que: P(MParo) = P(M)·P(Paro/M) P(Paro) lo hemos calculado antes con el teorema de la probabilidad total: P(Paro) = P(Paro/M)·P(M) + P(Paro/H)·P(H) P(Paro) = 0,24 · 0,42 + 0,16 · 0,58 = 0,1936

36 Teorema de Bayes. P(Ai)·P(B/Ai) P(Ai / B) =
Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de una partición, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de que haya ocurrido cada Ai. Teorema de Bayes: Sea A1, A2, ....., Ai, ....., An un sistema completo de sucesos y B, un suceso cualquiera, todos ellos asociados a un mismo experimento aleatorio. Si P(A1), P(A2), ....., P(An), ....., P(An) son no nulas, se cumple que: P(A1)·P(B/A1) + ….. + P(An)·P(B/An) P(Ai)·P(B/Ai) P(Ai / B) =

37 Teorema de Bayes. P(Ai)·P(B/Ai) P(Ai / B) =
Sea A1, A2, ....., Ai, ....., An un sistema completo de sucesos y B, un suceso cualquiera, todos ellos asociados a un mismo experimento aleatorio. Si P(A1), P(A2), ....., P(An), ....., P(An) son no nulas, se cumple que: P(A1)·P(B/A1) + ….. + P(An)·P(B/An) P(Ai)·P(B/Ai) P(Ai / B) = Por el teorema de la probabilidad total: P(B) = P(A1)·P(B/A1) + ….. + P(An)·P(B/An) P(B) P(Ai)·P(B/Ai) P(Ai / B) = Con lo que el teorema de Bayes se puede expresar: En una situación en la que sea aplicable el teorema de Bayes:  P(A1), P(A2), … , P(An) se llaman probabilidades a priori.  P(A1/B), P(A2/B), … , P(An/B) se donominan probabilidades a posteriori.  P(B/A1), P(B/A2), … , P(B/An) reciben el nombre de verosimilitudes.

38 Teorema de Bayes. P(D) = 0,01 · 0,35 + P(A1D) = 0,01 · 0,35
EJEMPLO Teorema de Bayes. En una fábrica se embalan (en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje; A1, A2, A3 y A4. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1 y el 20%, 24% y 21% en A2, A3 y A4 respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas; el 1% de A1, el 3% de A2, el 2.5% de A3 y el 2% de A4. Descubrimos que una caja es defectuosa. Calcula la probabilidad de que la caja provenga de la cadena A1. D Dc A1 0,35 0,20 0,24 0,21 0,01 0,03 0,025 0,02 P(A1D) = 0,01 · 0,35 P(D) = 0,01 · 0,35 + + 0,03 · 0,20 + + 0,025 · 0,24 + + 0,02 · 0,21 = 0,0197 P(A2D) = 0,03 · 0,20 P(A3D) = 0,025 · 0,24 P(A4D) = 0,02 · 0,21