COMPRESIÓN AUTORREGRESIVA Y CASI SIN PERDIDA Autores: Antonio Fernández Carpio Francisco José Lamela Rincón.

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1 COMPRESIÓN AUTORREGRESIVA Y CASI SIN PERDIDA Autores: Antonio Fernández Carpio Francisco José Lamela Rincón

2 CONTENIDO Introducción. Conceptos y notacion básica. Ecuaciones. Algoritmos. Conclusiones.

3 INTRODUCCIÓN ¿Què es? ¿Para qué sirve? Utilidades.

4 INTRODUCCIÓN ¿Qué es? Es un pretratamiento que prepara las imágenes para obtener mejores resultados al serles aplicados otros métodos de compresión sin pérdida.

5 INTRODUCCIÓN ¿Para qué sirve? Permite la compresión de una imagen asumiendo que el valor de cada píxel puede ser cambiado en función de un pequeño . Compresión sin pérdida corresponde a un  =0. Pequeños valores de  pueden mejorar sustancialmente la compresión de una imagen sin cambios perceptibles por el ojo humano.

6 INTRODUCCIÓN Utilidades: Un ejemplo claro es la compresión de imágenes médicas donde mantener todos los detalles de la imagen es muy importante.

7 CONCEPTOS Y NOTACIÓN BÁSICA Se utilizará el modelo autorregresivo de quinto orden. Donde: u = Imagen original. B y L representan un pixel de abajo y a la izquierda respectivamente. r = matriz residual.  i son los componentes del vector  que se utilizarán junto a la matriz residual r para recobrar la imagen original.  representa el suelo o parte entera. u =   L +    B   LB +   L 2    B 2 ) u  r

8 CONCEPTOS Y NOTACIÓN BÁSICA La compresión autorregresiva está basada en el hecho de que dados r y  podemos recuperar la imagen u reconstruyendo la intensidad de cada píxel u[i, j] a partir de sus vecinos de abajo y a la izquierda.

9 ECUACIONES Ecuaciones NLAR. Minimización de la varianza residual. Optimización de los parámetros del modelo.

10 ECUACIONES ( NLAR ) u =   L +    B   LB +   L 2    B 2 ) u  r Ecuación principal: Con esta ecuación se obtiene la matriz residual de la imagen. A través de ella se puede recobrar la imagen original en el proceso de descompresión.

11 ECUACIONES ( NLAR )  = (v T v) -1 (v T u) v = (Lu, Bu, LBu, L 2 u, B 2 u) L m B n u[i,j] = u[i-m, j-n]            T Las  i son las componentes del vector  Los valores óptimos para  se obtienen por: Donde la matriz v viene definida por: Cada componente de la matriz se obtiene a traves de:

12 ECUACIONES ( NLAR ) 255 000000 0 0 0 00 0000 0 0000 0 000 00 00 00000 000 0 0 0 000 0 Vamos a tratar esta matriz como ejemplo. Para ello, tomaremos primero un píxel de un extremo, y luego uno interior.

13 ECUACIONES ( NLAR ) 255 000000 0 0 0 00 0000 0 0000 0 000 00 00 00000 000 0 0 0 000 0 El píxel a tratar es el 0,0. Tenemos que tener en cuenta que a la matriz la rodea un marco de ceros.

14 ECUACIONES ( NLAR ) 0000000000 00255 000000 00 0 0 0 00 00 0000 000 0000 0 00 000 00 0000 00000 00000 0 0 00 0 000 0 0000000000 0000000000 Para calcular cada píxel nos basamos en sus vecinos izquierdos y de debajo.

15 ECUACIONES ( NLAR ) L m B n u[i,j] = u[i-m, j-n] Cada componente de la matriz se obtiene a traves de: Para calcular el píxel [0][0] de la matriz v se haría: V[0][0]=(matriz[0-1][0], matriz[0][0-1],matriz[0-1][0-1],matriz[0-2][0],matriz[0][0-2]) Por lo tanto, V[0][0]=(0,0,0,0,0). Es decir, un vector de 5 columnas. Esto habría que hacerlo para todos los elementos de la matriz de entrada.

16 ECUACIONES ( NLAR ) 255 000000 0 0 0 00 0000 0 0000 0 000 00 00 00000 000 0 0 0 000 0 El píxel a tratar es el de color verde, es decir el [6][4]. Ahora no nos salimos de la matriz, y por tanto no hay que tener en cuenta el marco de ceros.

17 ECUACIONES ( NLAR ) 255 000000 0 0 0 00 0000 0 0000 0 000 00 00 00000 000 0 0 0 000 0 Ahora, para tratar el píxel de color verde, es decir, el píxel [6][4]. Tenemos que fijarnos en los píxeles de debajo y de la izquierda, igual que en el ejemplo anterior.

18 ECUACIONES ( NLAR ) L m B n u[i,j] = u[i-m, j-n] Cada componente de la matriz se obtiene a traves de: Para calcular el píxel [6][4] de la matriz v se haría: V[6][4]=(matriz[6-1][4], matriz[6][4-1],matriz[6-1][4-1],matriz[6-2][4],matriz[6][4-2]) Por lo tanto, V[6][4]=(0,0,255,0,255). Es decir, un vector de 5 columnas. Esto habría que hacerlo para todos los elementos de la matriz de entrada. V[6][4]=(matriz[5][4], matriz[6][3],matriz[5][3],matriz[4][4],matriz[6][2])

19 ECUACIONES (MINIMIZACIÓN DE LA VARIANZA RESIDUAL) Var [x,y] (e)=(r[x,y] + e) 2 + (r[x + 1,y] – e  1 ) 2 + (r[x,y + 1] – e  2 ) 2 + (r[x + 1,y + 1] – e  3 ) 2 + (r[x + 2,y] – e  4 ) 2 + (r[x,y + 2] – e  5 ) 2 La varianza residual es: La mejor opción para escoger un e tal que minimice la varianza es: e min =(-r[x,y] + r[x + 1,y]  1 + r[x,y + 1]  2 + r[x + 1,y + 1]  3 + r[x + 2,y]  4 + (r[x,y + 2]  5 )/(1 +  1 2 +  2 2 +  3 2 +  4 2 +  5 2 )

20 ECUACIONES (Optimización de los parámetros del modelo) Este paso sólo se realiza cuando la imagen es dependiente de del modelo autorregresivo elegido. Una imagen es dependiente del modelo AR cuando se pueden calcular los coeficientes beta asociados a la imagen u. Para esto tomamos ũ= u + du du es la parte de la imagen orginal que se va a perder.

21 ECUACIONES (Optimización de los parámetros del modelo) Tenemos que tener en cuenta que los parámetros beta óptimos calculados para u, no tienen por que ser los óptimos para ũ, por lo que hay que volver a calcularlos, de la misma manera que lo calculamos para la u.

22 ALGORITMOS Algoritmo para minimizar la varianza residual. Algoritmo general NLAR.

23 ALGORITMOS (Minimización de la varianza residual) Escoger un  > 0. Inicializar la matriz du a ceros. Para píxel [i,j] en la matriz u hacer: Calcular el e min. Encontrar el mayor k ≤ 1 tal que | du[i,j] + ke min | ≤   Si k > 0 hacer:  e = ke min  Du[i,j]  du[i,j] + e  r[i,j]  r[i,j] + e  r[i + 1,j]  r[i + 1,j] + e  1  r[i,j + 1]  r[i,j + 1] + e  2  r[i + 1,j + 1]  r[i + 1,j + 1] + e  3  r[i + 2,j]  r[i +2,j] + e  4  r[i,j + 2]  r[i,j + 4] + e  5 

24 ALGORITMOS (Algoritmo general NLAR) Escoger un error  > 0 Inicializar du como una matriz nula. Hacer Generar ũ = u + du Reducir la varianza con el algoritmo anterior píxel por píxel hasta que no se pueda reducir más Reemplazar u por ũ = u + du Generar ř = ũ – ( Σ  ij L i B j ) ũ Comprimir ř con algun método convencional de compresion sin perdida, como por ejemplo el Método Huffman.

25 CONCLUSIONES Con este método se reduce la varianza residual, lo que hace que se reduzca la entropía de dicha imagen. El incremento de  reduce la entropía, varianza residual y el rango de intensidad de la matriz residual r, usada para reconstruir la imagen original junto con los coeficientes beta.

26 CONCLUSIONES Preserva el rango de intensidad original Mayor control de la información perdida. Para relativamente pequeños  los cambios realizados en la imagen son imperceptibles. Puede ser usado para la restauración y la reducción del ruido.

27 CONCLUSIONES  Entropía NLAR Entropía JPEG Entropía Wavelet Mejora NLAR frente JPEG (%) Mejora NLAR frente Wavelet (%)  4.36 5.20 5.16 20 18  4.09 4.53 4.52 11 10  3.87 4.05 3.99 5 3  3.68 3.65 3.60 -2