2. Asistentes de Pruebas para Lógicos y Matemáticos II

Presentación del tema: "2. Asistentes de Pruebas para Lógicos y Matemáticos II"— Transcripción de la presentación:

1 2. Asistentes de Pruebas para Lógicos y Matemáticos II
2. Asistentes de Pruebas para Lógicos y Matemáticos II. Cálculo de Predicados TPPSF

2 1. Cálculo de predicados - Sintaxis
Términos símbolos de variable  pueden ser variables de individuo, predicado o función  un símbolo de variable tiene asociado un dominio símbolos de constante símbolos de función Fórmulas variables de predicados (unarios, binarios, etc) conectivos: ,  , , , ~,  cuantificadores: ,  TPPSF

3 Cálculo de predicados Cálculo de predicados de primer orden:
Cuantificación sobre variables de individuos únicamente : xnat. x=x Cálculo de predicados de orden superior: Cuantificación sobre variables de individuos, función y predicados P ( (P(0)  (x (P(x)  P(S(x)) )  x P(x) ) f g ( (x f(x)=g(x))  f=g ) TPPSF

4 Cálculo de predicados en Coq
Cada símbolo de variable o constante tiene asociado su dominio y Set es el conjunto de todos los dominios nat : Set (nat es dominio) Z : Set (Z es un dominio) 0 : nat (0 es un elemento del dominio nat) f : natnat (f es un símbolo de función unaria entre naturales) g : nat nat nat (g es un símbolo de función binaria entre naturales) TPPSF

5 Representación de los predicados
Un símbolo de predicado es una función proposicional sobre cierto dominio. La aridad del predicado está dada por la cantidad de argumentos de la función P : natProp (P es un símbolo de predicado unario sobre naturales) Q : nat (nat nat) Prop (Q es un símbolo de predicado binario, entre naturales y funciones de naturales en naturales) TPPSF

6 Cuantificadores Notación: (xU)  se escribe en Coq (x:U) 
(xU)  se escribe en Coq (EX x:U | ) Normas de parentización: El cuantificador universal y el implica asocian a la derecha, y tienen igual precedencia. Son más fuertes que los otros conectivos Ejemplo: (P: natProp) (P 0) ((x:nat) (P x) (P (S x)) )(x:nat) (P x) (f,g :natnat) ((x:nat) (f x)=(g x)) f=g TPPSF

7 Ejemplos Considerando las declaraciones: 0:nat S : natnat
Le : nat  nat Prop Min: nat  (nat nat)  Prop Algunas propiedades: (Le 0 (S 0))  ~ (Le (S 0) 0) (Min (S 0) S) (EX x:nat | (Min x S) (f: nat nat) ((x:nat)(Le 0 (f x))) (Min 0 f) TPPSF

8 Tácticas Cuantificador universal
introducción   x:  b  (x:)b Intro x el identificador x es opcional variantes: Intros, Intros x1,...xn TPPSF

9 Tácticas (II) Cuantificador universal (cont.)
eliminación   H: (x1:1) (x2:2)... (xn:n) g b (si g unifica con b con sustitución ) Apply H  H: ... a1  a2  ... an  TPPSF

10 Tácticas (III) Cuantificador universal (cont.)
eliminación   H: (x1:1) (x2:2)... (xn:n) g b (si g unifica con b pero Coq no puede resolver la unificacion y es necesario instanciar la hipótesis H con algunos de los valores t1: 1 ... tj: j) Apply (H t1 ... tj)  H: ... j+1  j+2  ... an  TPPSF

11 Tácticas (IV) Cuantificador existencial
introducción   (EX x:U | (x))  (t) Exists t (t debe ser un elemento de U) eliminación   H: (EX x:U | (x)) b  H: (EX x :U | (x)) (y: U) (y)  b Elim H (y será una variable nueva que no ocurre b) TPPSF

12 2. Cálculo de predicados con igualdad
reflexividad  t=t Reflexivity Probado! simetría  t=u  u=t Symmetry transitividad  t=w w=u  t=u Transitivity w TPPSF

13 Reescritura   H: a=b  H: a=b [b/a] Rewrite  H
Reescribe todas las las ocurrencias de a por b En general: Rewrite  term si term es un término del contexto con tipo a=b Variantes: Rewrite  term in H1 Rewrite  term, Rewrite  term in H TPPSF

14 Reescritura (cont.)     Replace a with b  [a/b] a=b o bien:
(cuando a=b se prueba trivialmente) TPPSF

15 Reescritura (cont.)   H: a=b
Reescritura condicional  H: a=b (a, ..., a[j1] ,...a,... a[j2] ...a,... a[jk] ,...a) Pattern j1 ... jk in a. Rewrite  H.  H: a=b (a, ..., b ,...a,... b ...a,... b ,...a) TPPSF