Ayudantía Nº 3 Algebra I Carola Muñoz R..

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1 Ayudantía Nº 3 Algebra I Carola Muñoz R.

2 Ejercicio Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:
(A  B)  C = A  (B  C ) (A  B)  C = A  ( B  C )c > A  B = A  Bc = A  ( Bc  Cc ) > De Morgan = ( A  Bc )  Cc > Asociando = ( A  B )  Cc > A  B = A  Bc = ( A  B )  C > A  B = A  Bc

3 Ejercicio Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:
A  (B  C) = ( A  B )  (C  A) A  (B  C) = A  (B  Cc ) > A  B = A  Bc = ( A  B )  ( A  Cc ) > Distribución = ( A  B )  ( Ac  C ) > A  B = A  Bc = ( A  B )  ( C  Ac ) > Conmutatividad = ( A  B )  ( C  A ) > A  B = A  Bc

4 Ejercicio Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe:
A  (B  C) = ( A  B )  (A  C ) A  (B  C) = A  (B  C ) c > A  B = A  Bc = ( A  ( Bc  Cc ) > De Morgan = ( A  Bc)  ( A  Cc ) > Distribución = ( A  B )  ( A  C ) > A  B = A  Bc

5 ( A  B)  (B  A) = ( A  B )  (A  B)
Ejercicio Utilizando el algebra de conjuntos, pruebe: ( A  B)  (B  A) = ( A  B )  (A  B) ( A  B )  (A  B) = ( A  B )  (A  B) c > A  B = A  Bc = ( A  B )  (Ac  Bc) > De Morgan = [( A  B )  Ac]  [( A  B )  Bc] > Distribución = [( A  Ac)  (B  Ac)]  [( A  Bc)  (B  Bc)] --> Distrib. = [   (B  Ac)]  [( A  Bc)   ] --> Complemento = ( B  Ac )  ( A  Bc ) > Identidad = ( A  Bc )  (B  Ac ) > Conmutatividad = ( A  B )  ( B  A ) > A  B = A  Bc

6 Ejercicio Usando propiedades, simplifique:
B  [ ( A  B )’  ( B  A’)’ ] = B  [ ( A’  B’ )  ( B’  A) ] > De Morgan = B  [ ( B’  A’ )  ( B’  A) ] > Conmutatividad = B  [ B’  ( A’  A ) ] > Distribución = B  [ B’  U ] > Complemento = B  B’ > Identidad =  > Complemento

7 Ejercicio Usando propiedades, simplifique: [( A  B )  ( A  B )]’
= [ ( A  B’ )  ( A  B) ]’ > A  B = A  B’ = [ ( A  B’ )’  ( A  B)’ ] > De Morgan = [ ( A’  B )  ( A’  B’) ] > De Morgan = A’  [ B  B’ ] > Distributividad = A’   > Complemento = A’ > Identidad

8 Conocían al menos un lenguaje:
Ejercicio Aplicaciones de conjuntos: Encuesta De un total de 35 programadores entrevistados para un trabajo, 25 conocían Fortran, 28 conocían Pascal y dos no conocían ninguno de estos dos lenguajes; ¿ cuantos conocían ambos lenguajes? |U| = 35 |F| = 25 |P| = 28 |P  F|’ = 2 |P  F| = ? U Conocían al menos un lenguaje: |P  F| = |U| – |P  F|’ = 35 – 2 = 33 F P 5 8 20 | P  F | = | P | + | F | - | P  F | | P  F | = | P  F | = 20 2 | P | | P  F | = 28  20 = 8 | F | | P  F | = 25  20 = 5

9 Ejercicio Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
Una encuesta a 100 músicos populares mostró que: 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda y 39 usaban guantes en la mano derecha. Si 60 de ellos no usaban guantes . ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente? ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos? |U| = 100 |I| = 40 |D| = 39 |D  I|’ = 60 |D  I| = ? |I  D| = ? |D  I| = ? U 60 Usan guantes en al menos una mano -->| D  I| = |U| –|D  I|’ = 100 – 60 = 40 A 39 | D  B| = |D| + | I | - | D  I| = = 39 c) B

10 | D | = 39 60 | I | = 40 39 1 | D  I | = 40 | D  I | = 39
D = personas que usan guantes en mano derecha I = personas que usan guantes en mano izquierda | D | = 39 U 60 A | I | = 40 39 1 | D  I | = 40 | D  I | = 39 B ¿ cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? Gráficamente es |D  I|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = | D| | D  I | = 39  39 = 0 ¿ cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente? Gráficamente es |I  D|, pero se obtiene a través de la siguiente operatoria = |I | | D  I | = 40  39 = 1 ¿ cuántos usaban guantes en ambas manos? = | D  I | = 39

11 Ejercicio Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
De los 200 estudiantes de nuevo ingreso de una universidad, 98 son mujeres, 60 estudian comunicación y 60 son mujeres que no estudian comunicación. ¿ cuántas mujeres estudian comunicación? ¿ cuántos hombres no estudian comunicación? ¿ cuántas hombres estudian comunicación? |U| = 200 |M| = 98 |C| = 60 |M  C|= 60 |M  C|= ? |M  C|’ = ? |C  M|= ? U M |M  C|= |M|  |M  C| = 98  60 = 38 |C  M|= |C|  |M  C| =60  38 = 22 60 38 22 C |M  C|= |M| + |C|  |M  C| = – 38 =120 |M  C|’ = |U|  |M  C| = 200  120 = 80 80

12 Ejercicio Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
En un estudio de 120 consumidores, 80 consumidores indicaron que compran la marca A, 68 compran la marca B, y 42 adquieren ambas. ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? ¿Cuántos compran exactamente una de estas marcas? ¿Cuántos compran sólo la marca A? ¿Cuántos compran ninguna de estas marcas? |U| = 120 |A| = 80 |B| = 68 |A  B| = 42 |A  B| = ? |A  B| = ? |A  B| = ? |A  B|’ = ? U |A  B| = |A| + |B|  |A  B| =  42 = 106 A 38 |A  B| = (|A  B| + |B  A|) = ( 68  42) = 64 42 26 |A  B| = |A|  |A  B| = 80  42 = 38 B |A  B|’ = |U|  |A  B| = = 14 14

13 Ejercicio Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
De 3000 alumnos de una Universidad 368 utilizan solo su automóvil, 548 usan el transporte escolar, 274 usan el transporte urbano y su automóvil, 714 usan su automóvil, 184 usan solo el transporte escolar, 156 usan el transporte urbano y su automóvil pero no el transporte escolar y no usan ningún medio de transporte. |U| = 3000 |A|  |T  E| = 368 |E| = 548 |T  A| = 274 |A| = 714 |E|  |T  A| = 184 |T  A|  |T  A  E| = 156 |T  A  E|’ = 1438 U T A 368 156 184 1438 E

14 |A  T  E| = |U|  |A  T  E|’ = 3000  1438 = 1562
490 A 368 118 174 72 184 1438 E |T  A|  156 = 274  156 = 118 |A|   156  118 = 714  368  156  118 = 72 |E|   72  118 = 548  184  72  118 = 174 |A  T  E| = |U|  |A  T  E|’ = 3000  1438 = 1562 1562  368  156  118 72  174  184 = 490 Solo el transporte urbano Su automóvil o transporte escolar pero no transporte urbano Solo uno de los tres medios de transporte Los tres medios de transporte = 624 = 1042 118

15 Ejercicio Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos una de las tres asignaturas |U| = 1050 |M| = 860 |F| = 664 |R| = 388 |F  M| = 480 |R  M| = 270 |F  R| = 210 |M  F  R| = 1050

16 Ejercicio Aplicaciones de conjuntos: Encuesta
Una Universidad tiene 1050 alumnos de primer año. De ellos, 860 cursan matemáticas, 664 física, 388 redacción, 480 física y matemáticas, 270 redacción y matemáticas, 210 física y redacción y todos llevan al menos una de las tres asignaturas, entonces cuántos alumnos cursan: U Física y matemáticas pero no redacción Solo matemáticas R M Datos: |U| = 1050 |F  M| = 480 |M|= 860 |R  M| = 270 |F| = 664 |F  R| = 210 |R| = 388 |M  F  R| = 1050 F M = cursan matemáticas F = cursan física R = cursan redacción

17 Por propiedades algebraicas se sabe que:
Datos: |U| = 1050 |F  M| = 480 |M|= 860 |R  M| = 270 |F| = 664 |F  R| = 210 |R| = 388 |M  F  R| = 1050 U R M 208 6 172 98 382 112 72 Por propiedades algebraicas se sabe que: |M  F  R| = |M| + |F| + |R|  |F  R| |M  F|  |M  R| + |M  F  R| F M = cursan matemáticas F = cursan física R = cursan redacción |M  F  R| = |M  F  R|  |M|  |F|  |R| |F  R|+ |M  F| + |M  R| = 1050  860  664  = 98 |F  M|  98 = 480  98 = 382 |M  R|  98 = 270  98 = 172 |M|  172  98  382 = 860  172  98  382 = 208 |R|  172  98  112 = 388  172  98  112 = 6 |F  R|  98 = 210  98 = 112 |F|  382  98  112 = 664  382  98  112 = 72

18 Física y matemáticas pero no redacción 382
U R M 208 6 172 98 382 112 72 F Física y matemáticas pero no redacción 382 Solo matemáticas 208