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1 Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 3: OPERACIONES CON V.A.s Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y.

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1 1 Introducción a las Señales Aleatorias ISAL Capítulo 3: OPERACIONES CON V.A.s Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 3) Bartolo Luque Departamento Matemática Aplicada Y Estadística E.T.S.I. Aeronáuticos, UPM. Plaza Cardenal Cisneros, 3 Madrid 28040, Spain. Tf.:

2 2 Operaciones sobre una variable aleatoria El concepto Esperanza Matemática: O valor esperado surgió en el contexto de los juegos de azar como promedio de las ganancias de un jugador ponderadas por la probabilidad con que puede lograrlas Es un concepto fundamental en la Teoría de la probabilidad: MEDIA de una v.a X E[X]: Esperanza Matemática de X: Media de X: Valor esperado de X V.a continua V.a. discreta

3 3 Operaciones sobre una variable aleatoria MEDIA de una v.a X Interpretación frecuencial E[X] es el límite de la media aritmética de los valores obtenidos Es una medida de centralización (dónde está centrada)

4 4 Operaciones sobre una variable aleatoria MEDIA CONDICIONAL de una v.a X MEDIA de una v.a compleja Z=X+jY

5 5 Operaciones sobre una variable aleatoria Valor Esperado de una función de una v.a X: g(X) Veremos que pueden deducirse muchos parámetros útiles relacionados con una v.a. X hallando el valor esperado de una función real g(.) de X E[ ], es un operador lineal, si g(X) es una suma de g(X)=g 1 (X)+g 2 (X)+... E[g(x)] sería la suma de E[g 1 (X)]+E[g 2 (X)]+...

6 6 Operaciones sobre una variable aleatoria MOMENTOS de una v.a X Momentos con respecto al origen Monentos centrales

7 7 Operaciones sobre una variable aleatoria VARIANZA de una v.a X El momento central de orden 2 = VARIANZA de la v.a Para una v.a. Discreta:

8 8 Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de lanzar dos dados:

9 9 Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:

10 10 A un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria X, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza matemática de la variable aleatoria X representa el beneficio medio o ganancia media que se obtiene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces. Si la esperanza matemática es 0 se dice que el juego es justo. Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador. Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es favorable. Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces? Juegos

11 11 Espacio muestral E = {R, N}. Consideramos las ganancias como positivas y las pérdidas negativas: Variable aleatoria X Función de probabilidad R N 50 0, ,3 Ganancia media

12 12 Los momentos de orden superior son menos robustos y, por lo tanto, menos utilizados 3 er momento: describe la asimetría de la distribución. Asimetría (skewness) 4 o momento: describe el aplanamiento de la distribución. Kurtosis (Figs. © Press et al., Numerical Recipes) Se suele medir en una escala que toma 3 como su cero, ya que éste es el valor de la kurtosis de una distribución normal estándar

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15 15 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

16 16 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

17 17 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

18 18 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

19 19 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

20 20 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

21 21 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

22 22 © X. Rong Li, Probabilty, Random Signals and Statistics, CRC Press

23 23 Distribución Binomial derivando respecto a p multiplicando por p

24 24 Distribución Binomial

25 25 © Hwei Hsu, Probability, Random Variables, & Random Processes, Mc Graw Hill np= = =no. medio de eventos esperado

26 26 Ejemplos pp 33 Internet, llamadas telef...

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28 28 Función generatriz de momentos Discreta Continua

29 29 Función característica Observemos que: a partir de la anti-transformada de Fourier de la función característica obtenemos la densidad de probabilidad.

30 30 Desarrollando en Taylor la función característica alrededor de t = 0:

31 31 Calculemos la esperanza y la varianza de la distribución exponencial.

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37 37 Transformaciones de variables aleatorias Función de una variable aleatoria X continua, discreta, o mixta T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,...

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39 39 Transformaciones de variables aleatorias X continua, discreta, o mixta T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,... CALCULO DIRECTO DE LA F.D: F(Y)

40 40 CÁLCULO DIRECTO DE LA F.D: F(Y)

41 41 CÁLCULO DIRECTO DE LA F.D: F(y) Identificar las diferentes regiones con comportamientos diferentes (en este caso) y

42 42 CÁLCULO DIRECTO DE LA F.D: F(y) Obtener F(y) en función de F(x) para cada región teniendo en cuanta su modelo de transformación particular

43 43 Ejercicios de Transformaciones de v.a. Para una F(x) genérica Notar que una F(x) particular puede suponer identificar otras regiones...

44 44 Ejercicios de Transformaciones de v.a. Para una F(x) particular

45 45 Ejercicios de Transformaciones de v.a..... Una vez obtenida F(x) puede obtenerse la f.d.p f(x) derivando...

46 46 Ejercicios de Transformaciones de v.a..... Que habría que particularizarse para cada caso...

47 47 Ejercicios de Transformaciones de v.a. Densidad Distribución Transformación o cambio de variable aleatoria ¿Cuál será la función de densidad de probabilidad transformada g(y)?

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49 49 Transformaciones de variables aleatorias X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: 1.Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) 2. Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL X continua, discreta, o mixta T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,...

50 50 X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: 1.Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) 2.Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL 1)T(x) monótona a)creciente

51 51 X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: 1.Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) 2.Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL 1)T(x) monótona a)creciente

52 52 1)T(x) monótona (Ejemplo) a)creciente F.D. Log-normal

53 53 X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: 1.Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) 2.Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL 1)T(x) monótona b)decreciente

54 54 X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: 1.Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) 2.Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL 1)T(x) monótona b)decreciente

55 55 1)T(x) monótona (Ejemplo) b)decreciente x y 1 1 T(x) x y 1 1 T -1 (y)

56 56 1)T(x) monótona (Ejemplo) b)decreciente y 1 c f(y) x y 1 1 T -1 (y) ce -c

57 57 X v.a. Continua : CÁLCULO DE F(Y) y f(y) DOS CAMINOS: 1.Cálculo de la Función de Distribución F(Y), luego derivar para obtener f(y) 2.Obtener f(y) directamente: TEOREMA FUNDAMENTAL 2.T(x) no monótona, no constante en ningún tramo TEOREMA FUNDAMENTAL

58 58 3.T(x) constante en un intervalo

59 59 4.T(x) escalonada x 1 ykyk T(x) y k-1 X v.a. continua pero Y será una v.a. discreta

60 60 4.T(x) escalonada

61 61 Transformaciones de variables aleatorias X continua, discreta, o mixta T lineal, no lineal, segmentada, escalonada,... X v.a. DISCRETA

62 62 Transformaciones de variables aleatorias X v.a. DISCRETA x ykyk T(x) y k-1 xixi x i+1 x i+2

63 63 Transformaciones de variables aleatorias X v.a. DISCRETA Calcular f Y (y)

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