Ejercicio 1.7 Pregunta 1: Complete la tabla siguiente con cada uno de los términos faltantes. DividendoDivisorCocienteResiduo 234 752 408 327 374.

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2 Ejercicio 1.7 Pregunta 1: Complete la tabla siguiente con cada uno de los términos faltantes. DividendoDivisorCocienteResiduo 234 752 408 327 374

3 DividendoDivisorCocienteResiduo 234 53 752 408 327 374 23 4 -23 5 3

4 DividendoDivisorCocienteResiduo 234 53 37 752 408 327 374 7 -35 5 2

5 DividendoDivisorCocienteResiduo 234 53 37 752 408 50 327 374 40 8 -40 5 0

6 DividendoDivisorCocienteResiduo 234 53 37 752 408 50 327 44 374 32 7 -28 4 4

7 DividendoDivisorCocienteResiduo 234 53 37 752 408 50 327 44 37 9 4 1 - 4

8 Pregunta 2: Mostrar que si un número natural es a la vez un cuadrado y un cubo, entonces puede escribirse en la forma 7k ó 7k+1.

9 Después de leer repetidas veces la pregunta, notamos que se habla de números que son cuadrados y cubos a la vez. Entonces, debe venir a nuestra mente la pregunta: ¿qué significa que un número sea cuadrado y cubo a la vez? Con la investigación descubrimos que cuando un número se eleva al exponente 2, entonces su resultado se llama cuadrado, y cuando un número se eleva al exponente 3, entonces su resultado se llama cubo. Pero, ¿cómo sabemos a cuáles números debemos elevar al cuadrado y al cubo? La respuesta en muy fácil, a todos los números naturales.

10 Los números naturales son: Los cuadrados corresponden a: Y los cubos son: Los números que cumplen con ser cubos y cuadrados a la vez, están en la lista siguiente:

11 Realmente, todo consiste en verificar el algoritmo de la división, según las condiciones dadas. La primera comprobación sería 0=7k ó 0=7k+1, que no otra cosa más que dividir por 7 la cantidad específica 0. 0 7 -0 0 0 Notemos que el residuo es cero, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 7k porque: 0=7∙0, entonces: 0=7k

12 La segunda comprobación sería 1=7k ó 1=7k+1, que no otra cosa más que dividir por 7 la cantidad específica 1. 1 7 -0 0 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 7k+1 porque: 1=7∙0+1, entonces: 1=7k+1

13 La tercera comprobación sería 64=7k ó 64=7k+1, que no es otra cosa más que dividir por 7 la cantidad específica 64. 64 7 -63 9 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 7k+1 porque: 64=7∙9+1, entonces: 64=7k+1

14 Pregunta 3: Mostrar que el cuadrado de cualquier número natural es de la forma 3k ó 3k+1.

15 Los números naturales son: Los cuadrados corresponden a:

16 Verificamos el algoritmo de la división, según las condiciones dadas. La primera comprobación sería 0=3k ó 0=3k+1, que no otro cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 0. 0 3 -0 0 0 Notemos que el residuo es cero, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 3k porque: 0=3∙0, entonces: 0=3k

17 La segunda comprobación sería 1=3k ó 1=3k+1, que no otra cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 1. 1 3 -0 0 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 3k+1 porque: 1=3∙0+1, entonces: 1=3k+1

18 La tercera comprobación sería 4=3k ó 4=3k+1, que no es otra cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 4. 4 3 -3 1 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 3k+1 porque: 4=3∙1+1, entonces: 4=3k+1

19 La cuarta comprobación sería 9=3k ó 9=3k+1, que no es otra cosa más que dividir por 3 la cantidad específica 9. 9 3 -9 3 0 Notemos que el residuo es 0, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 3k porque: 9=3∙3, entonces: 9=3k

20 Pregunta 4: Mostrar que el cubo de cualquier número natural es de la forma 9k, 9k+1 ó 9k+8.

21 Los números naturales son: Los cubos corresponden a:

22 Verificamos el algoritmo de la división, según las condiciones dadas. La primera comprobación sería 0=9k, 0=9k+1 ó 0=9k+8, y esto sería dividir por 9 la cantidad específica 0. 0 9 -9 0 0 Notemos que residuo es cero, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 9k porque: 0=9∙0, entonces: 0=9k

23 La segunda comprobación sería 1=9k, 1=9x+1 ó 1=9k+8, y esto sería dividir por 9 la cantidad específica 1. 1 9 -0 0 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 9k+1 porque: 1=9∙0+1, entonces: 1=9k+1

24 La tercera comprobación sería 8=9k, 8=9k+1 ó 8=9k+8, y esto sería dividir por 9 la cantidad específica 8. 8 9 -0 0 8 Notemos que el residuo es 8, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 8k+8 porque: 8=9∙0+8, entonces: 8=9k+8

25 La cuarta comprobación sería 64=9k, 64=9k+1 ó 64=9k+8, y para tomar decisión habría que dividir por 9 la cantidad específica 64. 64 9 -63 7 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que la fórmula que se ajusta a la condición particular es 9k+1 porque: 64=9∙7+1, entonces: 64=9k+1

26 Pregunta 5: Mostrar que el cuadrado de cualquier número natural impar es de la forma 4k+1 u 8k+1.

27 Los números naturales impares son: Los cuadrados de esos números corresponden a:

28 Verificamos el algoritmo de la división, según las condiciones dadas. La primera comprobación sería 1=4k+1 u 1=8k+1, note que k está acompañada por 4 y por 8, por lo tanto la división sería por 4 y por 8, la cantidad específica 1. 1 4 -0 0 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que se cumplen ambas condiciones, 1=4∙0+1, entonces: 1=4k+1. También, 1=8∙0+1 que es: 1=8k+1. 1 8 -0 0 1

29 La segunda comprobación sería 9=4k+1 y 9=8k+1, note que k está acompañada por 4 y por 8, por lo tanto la división sería por 4 y por 8, la cantidad específica 9. 9 4 -8 2 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que se cumplen ambas condiciones: 9=4∙2+1, por lo tanto 9=4k+1. 9=8∙1+1, por lo tanto 9=8k+1. 9 8 -8 1 1

30 La tercera comprobación sería 25=4k+1 y 25=8k+1, note que k está acompañada por 4 y por 8, por lo tanto la división sería por 4 y por 8, la cantidad específica 25. 25 4 -24 6 1 Notemos que el residuo es 1, eso significa que se cumplen ambas condiciones: 25=4∙6+1, por lo tanto 25=4k+1. 25=8∙3+1, por lo tanto 25=8k+1. 25 8 -24 3 1

31 Pregunta 6: Resuelva el siguiente problema: Bob el constructor necesita colocarle cerámica a un piso que mide 400cm de largo por 300cm de ancho. Las piezas de cerámica miden 30cm de largo por 15cm de ancho, y se van a colocar con el lado mayor de la pieza paralelo al lado mayor de la habitación. ¿Cuántas piezas necesita Bob para este trabajo?

32 El trabajo principal se reduce a dividir 400 por 30 y 300 por 15. 400 30 -390 13 10 100 -90 10 300 15 -300 20 0 Esto significa que se necesitan 14 piezas a lo largo y 20 piezas a lo ancho. Para saber la cantidad total de piezas, se multiplica 14 por 20, lo que nos da un total de 280 piezas de cerámica.