Transformada y Espectros de Fourier

Transformada y Espectros de Fourier
Definición de Transformada de Fourier y sus Espectros Propiedades de la Transformada de Fourier,

¿Cómo se encuentran las frecuencias de una forma de onda? Aún más, ¿cuál es la definición de frecuencia? Para las formas de onda de tipo senoidal se sabe que la frecuencia puede encontrarse mediante la evaluación de f0 = 1/T0 , donde T0 es el periodo de la senoide. Esto es, la frecuencia es la velocidad de ocurrencia de una onda con forma senoidal. Todas las demás ondas con forma no senoidal poseen más de una frecuencia. Nota: La forma de onda de voltaje constante o de corriente constante de DC tiene una frecuencia, f = 0. Este es un caso especial de una onda de coseno (es decir, forma de onda de tipo senoidal) donde T0 → ∞ y f0 → 0. Una onda periódica cuadrada tiene un número infinito de frecuencias armónicas impares, como muestra el ejemplo 2-12. En la mayoría de las aplicaciones prácticas la forma de onda no es periódica, así que no existe un valor de T0 para el cálculo de la frecuencia. Por consiguiente, se debe responder esta pregunta: ¿existe algún método general para encontrar las frecuencias de una forma de onda que funcionará para cualquier tipo de forma de onda? La respuesta es afirmativa: la transformada de Fourier (FT, por sus siglas en inglés), que encuentra los componentes de tipo senoidal en w(t).

Definición: La transformada de Fourier (FT) de una forma de onda w(t) es Donde [∙] denota la transformada de Fourier de [∙] y f es el parámetro de frecuencia con unidades de Hz (es decir, 1/s). 10 Esto define el término frecuencia, que es el parámetro f en la transformada de Fourier. Nota: Algunos autores definen a la FT en términos del parámetro de frecuencia ω = 2πf donde está en radianes por segundo. Dicha definición es idéntica a la ecuación (2-26) cuando ω es reemplazada con 2πf. El autor prefiere la ecuación (2-26) debido a que los analizadores de espectro están a menudo calibrados en unidades de hertz y no en radianes por segundo. W(f) es conocida también como un espectro de dos lados de w(t), debido a que componentes de frecuencia tanto positivas como negativas se obtienen a partir de la ecuación (2-26). Debe aclararse que el espectro de una forma de onda de voltaje (o de corriente) se obtiene mediante un cálculo matemático que no aparece físicamente en un circuito real; f es tan sólo un parámetro (llamado frecuencia) que determina qué punto de la función espectral será evaluado. La FT se emplea para encontrar las frecuencias en w(t). Se selecciona algún valor de f, como por ejemplo f = f0, y se calcula |W(f0)|. Si |W(f0)| es diferente de cero, entonces la frecuencia f0 está presente en w(t). En general, la integral de la FT se evalúa una y otra vez para todos los valores posibles de f sobre el rango de - ∞ < f < ∞ para encontrar todas las frecuencias en w(t).

Es fácil demostrar por qué la FT encuentra las frecuencias en w(t). Por ejemplo, suponga que w(t) = 1. Para esta forma de onda de DC, la integral de la ecuación (2-26) es 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 = cos 2πft - j sen 2πft y, por consecuencia, la integral de la FT es cero (siempre y cuando f ≠ 0), debido a que el área bajo una onda senoidal sobre múltiples periodos es de cero. Sin embargo, si se selecciona una f = 0, entonces la integral de la FT no es cero. Por lo tanto, como se espera, la ecuación (2-26) identifica f = 0 como la frecuencia de w(t) = 1. En otro ejemplo, dejemos que w(t) = 2 sen 2π f0 t. Para este caso, la integral de la ecuación (2-26) es sen 2π(f0 - f)t + sen 2 π(f0 + f)t - j cos 2 π(f0 - f)t + j cos 2 π(f0 + f)t y la integral es diferente de cero cuando f = f0 o cuando f = - f0. La FT encuentra las frecuencias en w(t) en esta manera (ver solución). Nota: La frecuencia de la onda de seno es f0, pero la FT encuentra tanto f0 como a su reflejo –f0, como se explica en la discusión seguida del ejemplo 2-4. La evaluación directa de la integral de la FT puede ser difícil, así que una lista de técnicas alternativas de evaluación es bastante útil. La integral de la FT, la ecuación (2-26), puede evaluarse mediante el uso de 1. Integración directa. (ejemplo 2-2) 2. Tablas de transformadas de Fourier o transformadas de Laplace. (Tabla 2-1 y ejemplo 2-9) 3. Teoremas de la FT. (Tabla 2-1 y ejemplo 2-3) 4. Superposición para dividir el problema en dos o más problemas simples. (ejemplo de estudio SA-5) 5. Diferenciación o integración de w(t). (ejemplo 2-6) 6. Integración numérica de la integral de la FT en la PC por medio de funciones de integración en MATLAB o MathCAD. (ejemplo 2-5 y el archivo E2_055N.M) 7. Transformada rápida de Fourier (FFT) en la PC por medio de funciones de FFT en MATLAB o MathCAD. (figura 2-21, archivo FIG2_21.M y la figura 2-22, archivo FIG2_22.M.)

A partir de la ecuación (2-26), y debido a que 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 es complejo, entonces W(f) es una función compleja de frecuencia. W(f) puede descomponerse en dos funciones reales X(f) y Y(f) tal que lo cual es idéntico a escribir un número complejo en términos de pares de números reales que pueden graficarse en un sistema de coordenadas cartesianas de dos dimensiones. Por esta razón, la ecuación (2-27) a veces se conoce como forma en cuadratura, o forma cartesiana. De la misma manera, la ecuación (2-26) puede escribirse equivalentemente en términos de un sistema de coordenadas polares, en donde el par de funciones reales denota la magnitud y la fase: Esto es, Esto se conoce como la forma de magnitud-fase o forma polar de la transformada de Fourier. A la transformada de Fourier, W(f) se le llama también espectro de w(t). Para determinar la presencia de ciertos componentes de frecuencia, se examina el espectro de magnitud |W(f)|. A θ(f) se le llama espectro de fase.

La forma de onda de tiempo puede calcularse a partir del espectro empleando la transformada inversa de Fourier Se dice que las funciones w(t) y W(f) constituyen un par de transformada de Fourier, donde w(t) es la descripción en el dominio del tiempo y W(f) es la descripción en el dominio de frecuencia. En este curso, la función en el dominio del tiempo se denota con una letra minúscula, mientras que la función en el dominio de frecuencia está representada por una letra mayúscula. La nomenclatura abreviada para el emparejamiento entre los dos dominios se denotará mediante una doble flecha: w(t) ↔ W(f). La forma de onda w(t) es transformable por Fourier (es decir, cumple con las suficientes condiciones) si satisface ambas condiciones de Dirichlet: Sobre cualquier intervalo de tiempo finito, la función w(t) es de valor único con un número finito de máximos y mínimos y el número de discontinuidades (si existen) es finito. w(t) es absolutamente integrable. Es decir,

Aunque estas condiciones son suficientes, no son necesarias. De hecho, algunos de los ejemplos dados a continuación no satisfacen las condiciones de Dirichlet, pero aun así la transformada de Fourier puede encontrarse. Una condición suficiente más débil para la existencia de la transformada de Fourier es donde E es la energía normalizada [Goldber, 1961]. Esta es la condición de energía finita que todas las formas de onda físicamente realizables satisfacen. Por lo tanto, todas las formas de onda físicas encontradas en la práctica de la ingeniería son transformables por Fourier. Debe notarse que los matemáticos a veces emplean otras definiciones para la transformada de Fourier en lugar de la ecuación (2-26). Sin embargo, en estos casos, la ecuación para las transformadas inversas correspondientes, equivalentes a la ecuación (2-30), también serían diferentes, tal que cuando la transformada y su inversa se utilizan en conjunto, la w(t) original podrá recuperarse. Esta es una consecuencia del teorema de la integral de Fourier, el cual es

La ecuación (2-33) puede descomponerse en las ecuaciones (2-26) y (2-30), así como en otras definiciones para los pares de transformada de Fourier. El teorema de la integral de Fourier es estrictamente verdadero sólo para funciones bien comportadas (es decir, formas de onda físicas). Por ejemplo, si w(t) es una onda cuadrada ideal, entonces un punto de discontinuidad de w(λ), denotado por λ0, entonces w(t) tendrá un valor el cual es el promedio de dos valores obtenidos para w(λ) a cada lado del punto de discontinuidad λ0. Regresar a problema 2-3

Ver solución completa

Propiedades de las Transformadas de Fourier A partir de la definición del espectro dada por la ecuación (2-26) surgen muchos teoremas útiles e interesantes. Uno de particular interés es producto de trabajar con formas de onda reales. En cualquier circuito físico que puede construirse, las formas de onda de voltaje (o de corriente) son funciones reales (a diferencia de funciones complejas) de tiempo. TEOREMA: La simetría espectral de señales reales. Si w(t) es real, entonces Donde el asterisco de superíndice (*) denota la operación de complejo conjugado. Demostración: A partir de la ecuación (2-26) se tiene que y el conjugado de la ecuación (2-26) resulta en Dado que w(t) es real, entonces w(t) = w*(t), por lo tanto, de las ecuaciones (2-36) y (2-37), se determina que W(-f) = W*(f) (ver demostración completa).

Puede también mostrarse que si w(t) es real y resulta ser una función par de t, entonces W(f) también es real. De manera similar, si w(t) es real y es una función impar de t, entonces W(f) es imaginaria. Ver demostración Otro corolario útil de la ecuación (2-35) es que, para una w(t) real, el espectro de magnitud es par alrededor del origen (es decir, de f = 0), o y el espectro de fase es impar alrededor del origen: Esto puede demostrarse fácilmente escribiendo el espectro en forma polar: y entonces y también Utilizando la ecuación (2-35) se observa que las ecuaciones (2-38) y (2-39) son verdaderas.

En resumen, con base en la discusión previa, las siguientes son algunas propiedades de la transformada de Fourier: f, llamada frecuencia y con unidades de hertz, es sólo un parámetro de la FT que especifica cuál es la frecuencia que se desea encontrar en la forma de onda w(t). La FT busca la frecuencia f en la w(t) sobre todo el tiempo, es decir, sobre el rango de -∞ < t < ∞ W(f) puede ser compleja, aun cuando w(t) sea real. Si w(t) es real, entonces W(-f) = W*(f).

Teorema de Parseval y Densidad Espectral de Energía Teorema de Parseval Si w1(t) = w2(t) = w(t), entonces el teorema se reduce al Teorema de Releigh El cual es Demostración: Trabajando con el lado izquierdo de la ecuación (2-40) y utilizando la ecuación (2-30) para reemplazar w1(t), resulta en

Intercambiando el orden de integración sobre f y t se tiene que Utilizando la ecuación (2-26) se produce la ecuación (2-40). El teorema de Parseval presenta un método alternativo para la evaluación de la energía empleando la descripción en el dominio de frecuencia en lugar de la definición en el dominio del tiempo. Esto lleva al concepto de la función de densidad espectral de energía. Definición: La densidad espectral de energía (ESD, por sus siglas en inglés) está definida para las formas de onda de energía mediante Donde w(t) ↔ W(f). E tiene unidades de joules por Hertz (joules por ciclos por segundo). Empleando la ecuación (2-41) se observa que la energía total normalizada está dada por el área bajo la función de ESD: Una función similar llamada densidad espectral de potencia (PSD, por sus siglas en inglés) puede definirse para formas de onda de potencia.

Además del de Parseval, existen muchos otros teoremas de las transformadas de Fourier. La tabla 2-1 resume algunos de ellos. Estos teoremas pueden demostrarse sustituyendo la función de tiempo correspondiente en la definición de la transformada de Fourier y reduciendo el resultado a aquel dado en la columna más a la derecha de la tabla. Por ejemplo, el teorema de cambio de escala se demuestra sustituyendo w(at) en la ecuación (2-26). Así tenemos que

Los otros teoremas en la tabla 2-1 se demuestran de una manera similar y directa, excepto el teorema de la integral, el cual es más difícil de derivar debido a que el resultado de la transformada involucra una función delta de Dirac δ(f). Este teorema puede demostrarse empleando el teorema de convolución. Posteriormente se discutirá el teorema de señal pasabanda con mayor detalle. Éste es la base para las técnicas de modulación digital y analógica. Como se observará en los ejemplos que siguen, estos teoremas pueden simplificar bastante los cálculos requeridos para resolver problemas de transformada de Fourier. El estudiante debe estudiar la tabla 2-1 y prepararse para utilizarla cuando sea necesario. Después de evaluar la transformada de Fourier, debe asegurarse que sus propiedades, que son fáciles de verificar, se han satisfecho; de otra manera se cometerá un error. Por ejemplo, si w(t) es real,

Ver problema anterior (2-2)

Función delta de Dirac y función escalón unitario Definición: La función delta de Dirac δ(x) está definida por donde w(x) es cualquier función que es continua a un valor x = 0. En esta definición, la variable x puede ser de tiempo o de frecuencia, dependiendo de la aplicación. Una definición alternativa para δ(x) es donde ambas ecuaciones, (2-46a) y (2-46b), deberán satisfacerse. La función delta de Dirac no es una función verdadera, de ahí que se dice ser una función singular. Sin embargo, δ(x) puede definirse como una función en un sentido más general y tratada de tal manera en un ramo de las matemáticas llamado funciones generalizadas y la teoría de distribuciones.

A partir de la ecuación (2-45), la propiedad de corrimiento (sifting, en inglés) de la función δ es Esto es, la función δ obtiene el valor w(x0) de la integral. En algunos problemas es también útil el empleo de la integral equivalente para la función δ, la cual es donde se puede utilizar el signo de + o de - como sea necesario. Esto asume que δ(x) es una función par: δ(-x) = δ(x). La ecuación (2-48) puede verificarse tomando la transformada de Fourier de la función delta y después tomando la transformada inversa de Fourier para ambos lados de esta ecuación; la ecuación (2-48) lo muestra. ver demostración completa

Definición: La función escalón unitario u(t) está definida por Debido a que δ(λ) es cero, excepto cuando λ = 0, la función delta de Dirac está relacionada con la función escalón unitario mediante y por consecuencia

Desde un punto de vista matemático, la figura 2-4 demuestra que dos frecuencias están presentes en la onda de seno, una a f = + f0 y la otra a f = - f0. Esto puede también observarse a partir de la expansión de la forma de onda de tiempo; esto es lo cual implica que la onda senoidal consiste de dos fasores en rotación, uno en rotación con una frecuencia de f = + f0 y otro en rotación con f = - f0. Desde el punto de vista de la ingeniería, se dice que una frecuencia está presente, es decir, f = f0, porque para cualquier forma de onda física (en otras palabras, real), la ecuación (2-35) muestra que para cualquier frecuencia positiva presente existe también una frecuencia matemática negativa. El fasor asociado con v(t) es c = 0 – jA = A . Tabla 2-1

Otra observación interesante es que el espectro de magnitud consiste en líneas (es decir, funciones delta de Dirac). Como la ecuación (2-109) muestra, las líneas son una consecuencia de que v(t) es una función periódica. Si la senoide se enciende y se apaga, entonces la forma de onda resultante no es periódica y su espectro es continuo, como se comprueba en el ejemplo 2-9. Una senoide amortiguada también tiene un espectro continuo, como demuestra el ejemplo 2-3.

Pulsos rectangulares y triangulares Las siguientes formas de onda ocurren con frecuencia en problemas de comunicación, así que se definirán símbolos especiales para abreviar la nomenclatura. Definición: Asumiendo que П(∙) denote un solo pulso rectangular. Entonces Definición: Sa(∙) denota la función14 Definición: Considerando que Λ (∙) denote la función triangular. Entonces 14 Que está relacionada con la función sinc por medio de Sa(x) = sinc(x/π) debido a que sinc(λ) = (sen πλ) /πλ. La notación de Sa(x) y sinc(x) representan el mismo concepto, pero pueden confundirse debido a la escala. En este curso a menudo se utilizará (sen x)/x para evitar confusión y no abarcar mucho espacio textual.

ver demostración completa

El pulso rectangular es una de las formas de pulso más importantes y generalizadas porque su uso es muy conveniente en la representación de los datos binarios uno y cero. Por ejemplo, los circuitos de lógica TTL emplean pulsos rectangulares de 5 volts para representar los unos binarios y cero volts para representar los ceros binarios. Puls Rect Tabla 2-1 Sa (πfT)

El ancho de banda nulo para la señalización digital por pulso rectangular se obtiene de las ecuaciones (2-55) o (2-59). Esto es, si el ancho de pulso de una señal digital es de T segundos, entonces el ancho de banda (es decir, el ancho de la banda de frecuencias donde la magnitud espectral no es pequeña) es de aproximadamente 1T Hz. Ec (2-55) Ec (2-59) Pulso Triangular

Tabla 2-1 ver demostración completa

Convolución La operación de convolución, como aparece en la ,es muy útil. Posteriormente se verá cómo se aplica la operación de convolución cuando se evalúa la forma de onda a la salida de un sistema lineal. Definición: La convolución de una forma de onda w1(t) con una forma de onda w2(t) y que produce una tercera forma de onda w3(t) es donde w1(t) * w2(t) es una nomenclatura abreviada para esta operación de integración y el * se lee como “convolucionada con”. Cuando se examina esta integral se observa que t es un parámetro y λ es la variable de integración. Si se requiere la convolución de formas de onda discontinuas, es generalmente más fácil la evaluación de la integral equivalente Por lo tanto, los componentes en la integral de la ecuación (2-62b) se obtienen mediante: La inversión de tiempo de w2 para obtener w2(λ), El desplazamiento en el tiempo de w2 por t segundos para obtener w2(t-λ) = w2(-(λ-t)) y Multiplicando este resultado por w1 se obtienen los componentes de la integral w1(λ) w2(t-λ) o, lo que es lo mismo w1(λ) w2(-(λ-t)). Tabla 2-1

Figura 2-8 Tabla 2-1 Tabla 2-2

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