Didáctica de la geometría

Presentación del tema: "Didáctica de la geometría"— Transcripción de la presentación:

1 Didáctica de la geometría
La inferencia figural Conjunto de inferencias de Duval,R.(1995) Resumen del artículo de Richard,P.R(2004): La inferencia figural : Un paso de razonamiento discursivo-gráfico Pruebas visuales- Información visual y razonamiento válido. Cuestiones relacionadas con la inferencia figural y la educación. Bibliografía.

2 Conjunto de inferencias de Duval(1995)
Análisis funcional del razonamiento. El razonamiento se puede definir como una forma de expansión discursiva orientada hacia un enunciado-objetivo con el fin de : - modificar el valor epistémico,semántico o teórico que el enunciado-objetivo tiene en un estado de conocimiento dado o medio social. -y, como consecuencia, modificar el valor de validez cuando ciertas condiciones particulares de organización discursiva se cumplen.

3 Análisis estructural del razonamiento discursivo
El razonamiento discursivo tiene dos vertientes: Razonamiento argumentativo Razonamiento deductivo Aparecen dos tipos dos tipos de estructura interna en la progresión de cada razonamiento

4 Análisis estructural del razonamiento discursivo
El razonamiento discursivo tiene dos vertientes: Razonamiento argumentativo Razonamiento deductivo El discurso argumentativo responde a criterios de diálogo. Se somete principalmente a principios lógicos

5 Análisis estructural del razonamiento discursivo
Razonamiento argumentativo Razonamiento deductivo -Inferencia semántica Tiene lugar por asociación u oposición de sentidos entre unidades discursivas dejando al interlocutor el hecho de comprender la justificación de la inferencia y aceptarla El silogismo (x) ( A(x) => B(x) ) A( C ) B(C) - Inferencia discursiva La justificación de la inferencia aparece explícita. - La deducción Regla de deducción: propiedad carácterística o definición Antecedente Consecuente deducción

6 Ejemplos de razonamiento de alumnos
B C O Se puede saber que el triángulo BOC es isósceles porque se ve en el dibujo. La asociación de las 2 unidades discursivas tiene una justificación implícita J “ lo que se ve en el dibujo se puede saber ” La comprensión y aceptación de la inferencia pasa por la aceptación y comprensión de J.

7 Ejemplos de razonamiento de alumnos
B C O Podemos saber que el triángulo BOC es isósceles porque si cortamos el triángulo ABC en dos por los puntos A yO ,coincide.: también corta por la mitad el triángulo BOC.Entonces si el triángulo ABC es isósceles ,el triángulo BOC también es isósceles. Se basa en una propiedad empírica como justificación de la inferencia

8 Ejemplos de razonamiento de alumnos
B C O Se ve en el dibujo que BOC es isósceles. Todo lo que se ve en el dibujo se sabe. Por tanto sabemos que BOC es isósceles. La estructura recuerda la forma de un silogismo.

9 Ejemplos de razonamiento de alumnos
B C O Como los ángulos <CBO y <OCB tienen la misma medida , entonces,el triángulo BOC es isósceles. La regla de deducción es la propiedad P :” si los ángulos de la base de un triángulo son iguales,entonces el triángulo es isósceles.”

10 Resumen del artículo de Richard,P.R :
La inferencia figurativa: un paso de razonamiento discursivo gráfico. La noción de figura La inferencia figurativa

11 La noción de figura Aspectos semióticos Aspectos cognitivos Expansión gráfica, razonamiento gráfico Razonamiento discursivo-gráfico

12 Aspectos semióticos Se recurre a varios registros semióticos de representación. Los objetos matemáticos no son accesibles por la percepción.(Duval 1995) ¿Cómo se aprende a no confundir un objeto con la representación propuesta? “falsas intuiciones” Unidades significantes Sintagmas gráficos Proposiciones gráficas Propiedades espaciales (dibujo – modelo ) Propiedades geométricas (“ ideal geométrico”)

13 Aspectos semióticos Dos perpendiculares por el punto A a la recta (CD)
(paradoxes and fallacies-B.Bunch)

14 El tratamiento figurativo en un proceso de prueba ,supone un control
Aspectos cognitivos Concepto figural de Fischbein(1993) Distingue el concepto figural de su definición formal y de su imagen ( proceso de construcción del concepto figural ) Concepto de procepto -proceso -concepto -Símbolo que sugiere el concepto o el proceso El tratamiento figurativo en un proceso de prueba ,supone un control cognitivo y semiótico de la imagen mental que se mueve.

15 Expansión gráfica, razonamiento gráfico
Se introduce la noción de expansión gráfica como expresión de un razonamiento.(el registro figural puede puede probar visualmente una propiedad fijando “momentos significativos” del desarrollo de una imagen mental) Razonamiento discursivo-gráfico Extensión del razonamiento discursivo de Duval. (prop.discursivas y gráficas)

16 La inferencia figurativa
Aparición: En el marco de un diágnóstico de las estrategias de prueba y sobre el razonamiento empleados en geometría por alumnos de secundaria (Richard,2004) A partir del análisis de la estructura discursiva de las pruebas escritas se identifica un paso de razonamiento basado en las propiedades intrínsecas y extrínsecas de la figura geométrica.

17 Ejemplo1: Problema propuesto:
Pour paver le plancher d´une navette spatiale en construction à l’ aide de tuiles identiques, le docteur Vavite a rendu au responsable du projet une esquisse avec des indications et ensuite il est parti en vacances pour deux semaines.

18 Ejemplo1: Problema propuesto:
Parce que la tuile doit être fabriquée avec grande précision, que les matériaux el le coût de production sont très élevés et que le travail doit être terminé au plus tard dans une semaine, le responsable du projêt doit s´assurer à tout prix de la nature du quadrilatère ABCD sans pouvoir compter sur une aide éventuelle du docteur Vavite.

19 Estructura discursiva de la prueba

20 Q: cambio de valor epistémico y semántico respecto a la conjetura
Inferencia 1: (estructura ternaria: A => F1 B) A B Q: cambio de valor epistémico y semántico respecto a la conjetura Inferencia 2 Inferencia semántica P R Inferencia 3 Sin F2 la prop. R seria una paradoja semántica (estructura binaria: F2 => R )

21 Ejemplo2: Problema propuesto:
Optimización del área de un rectángulo inscrito en un triángulo cualquiera.

22 Ejemplo 2. Problema propuesto:
Optimización del área de un rectángulo inscrito en un triángulo cualquiera. Los alumnos tienen acceso al Cabri-géomètre II como ayuda para formular una conjetura (experimentación para formular una conjetura, confirmarla o refutarla mediante la función “área”)

23 Ejemplo 2. Problema propuesto:
Optimización del área de un rectángulo inscrito en un triángulo cualquiera. Para evitar sugerirles una heurística basada en consideraciones analíticas, se introduce el problema mediante comunicación oral

24 Ejemplo 2. Problema propuesto:
Optimización del área de un rectángulo inscrito en un triángulo cualquiera. Los alumnos no conocen la derivada ,pero han trabajado problemas de optimización cuando el modelo es una función cuadrática.

25 Experimenta sobre el efecto
de la conjetura Inferancia figurativa ternaria (F1) Inferencia figurativa binaria (F2)

26 Inferencia ternaria F3,F4,F5 Confirmación de la conjetura

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28 Función, estructura y calidad
La inferencia figurativa se basa en : - razonamiento gráfico - coordinación de un tratamiento entre registros Consecuencia discursiva Se reconocen dos tipos de estructuras: Estructura binaria: Proposiciones gráficas Proposiciones verbales Estructura ternaria: Prop. gráficas Proposiciones verbales Proposiciones verbales

29 Calidad de la inferencia
Cuando la justificación utiliza propiedades espaciales de la figura, la inferencia figurativa es funcionalmente y estructuralmente válida. dibujo modelo implícito del alumno La calidad de la inferencia está relacionada con :

30 Calidad de la figuración : - Calidad interpretativa
- Calidad de visualización (discernir entre tratamiento visual e interpretación de la información (Bishop,1996)) Fidelidad del dibujo: propiedades espaciales – propiedades geométricas (Laborde, Capponi, 1994) Fiabilidad: objeto – representación Valor epistémico de una proposición verbal(Duval,1995) Relevancia de la proposición gráfica: en relación con la proposición verbal

31 La inferencia figurativa es un paso de razonamiento dicursivo-
gráfico que modifica el valore epistémico,semántico o teórico de la consecuencia discursiva. Añadiendola las formas de razonamiento discursivo , se completa el conjunto de inferencias de Duval (1995)por una extensión que respeta el fundamento de la definición funcional delrazonamiento.

32 Consecuencias didácticas :
Comprensión de textos y redacción de soluciones Ayuda a estructurar un proceso cognitivo Ayuda a estructurar soluciones (lemas ocultos) fomenta la coordinación entre registros de representación (no congruentes) Puede ser útil para trabajar conceptos previos (concepto de límite por ej.) Ayuda en la formulación de conjeturas La intención del alumno puede ser difícil de interpretar Podría ocasionar obstáculos didácticos si se abusa En algunos casos podría encubrir problemas de lenguaje (necesidad de demostrar)

33 Problema de la espiral Dificultad cognitiva: paso al límite

34 Pruebas visuales - Información visual y razonamiento válido

35 Cuerdas y tangentes de igual longitud
Si la circunferencia c1 pasa por el centro o de la circunferencia c2, la longitud de la cuerda común PQ es igual a la del segmento PR sobre la tangente. c2 , c1 -Roland H.Eddy

36 Área bajo un arco de cicloide

37 Cuestiones relacionadas con la inferencia figural y la educación

38 Cuestiones relacionadas con la inferencia figural y la educación
El concepto de demostración en los alumnos de secundaria ¿hay en la estrategia de prueba de los alumnos elementos recuperables para una iniciación al razonamiento deductivo o a la demostración?¿Qué papel tienen las figuras en las en las estrategias de prueba?¿Qué papel debería tener el razonamiento deductivo en el currículum de secundaria?

39 Cuestiones relacionadas con la inferencia figural y la educación
El concepto de demostración en los alumnos de secundaria ¿hay en la estrategia de prueba de los alumnos elementos recuperables para una iniciación al razonamiento deductivo o a la demostración?¿Qué papel tienen las figuras en las en las estrategias de prueba?¿Qué papel debería tener el razonamiento deductivo en el currículum de secundaria? Pensamiento visual : una forma de hacer geometría. ¿Cómo desarrollar el pensamiento visual en los alumnos? ¿Cómo educar en el uso de figuras? ¿cómo valorar y evaluar el razonamiento visual ?

40 Cuestiones relacionadas con la inferencia figural y la educación
El concepto de demostración en los alumnos de secundaria ¿hay en la estrategia de prueba de los alumnos elementos recuperables para una iniciación al razonamiento deductivo o a la demostración?¿Qué papel tienen las figuras en las en las estrategias de prueba?¿Qué papel debería tener el razonamiento deductivo en el currículum de secundaria? Pensamiento visual : una forma de hacer geometría. ¿Cómo desarrollar el pensamiento visual en los alumnos? ¿Cómo educar en el uso de figuras? ¿cómo valorar y evaluar el razonamiento visual ? El uso de registros representativos y el aprendizaje en la resolución de problemas secundaria.”Enseñar a conjeturar: material diseñado por ordenador versus material clásico.”

41 Bibliografía (1) Alsina,C.,Fortuny,J.M y Pérez,R.(1997):¿ Por qué geometría? Propuestas didácticas para la ESO.Ed Síntesis Madrid (2) Brown,J.R : 1999, Philosophy of mathematics.An introduction to the world of proofs and pictures, Routledge, London (3) Guzmán,M.de:1995, Aventuras matemáticas. Una ventana hacia el caos y otros episodios. Ed PirámideMadrid (4) Nelsen,R.B: 2001, Demostraciones sin palabras. Ejercicios de pensamiento visual, Proyecto Sur de Ediciones, S.L. (5) Richard,P.R(2000): Modélisation du comportement en situation de validation. Diagnostique sur les estratégies de preuve et sur leur raisonement employé en géométrie par des élèves de niveau secondaire. Tesis. (6) Richard, P.R.: 2004 , L’inférence figurale: un pas de raisonnemet discursivo-graphique, Educational studies in mathematics 57,