CÁLCULO Nadia Gutiérrez Acebo Beatriz Fernández García 1º BH.

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1 CÁLCULO Nadia Gutiérrez Acebo Beatriz Fernández García 1º BH

2 ÍNDICE DEFINICIÓN HISTORIA MATEMÁTICOS CONCEPTO GENERAL
MÉTODOS DIFERENCIALES E INTEGRALES NEWTON LEIBNIZ POLÉMICA

3 DEFINICIÓN ÍNDICE La acción o el resultado correspondiente a la acción de calcular. Calcular por su parte consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida. La palabra castellana cálculo se deriva del latín calculus que significa piedra, ya que se utilizaban guijarros para auxiliarse en la resolución de los problemas de cálculo, existen sin embargo personas que efectúan operaciones de esta naturaleza sin el auxilio de ningún instrumento y se conocen como calculistas.

4 HISTORIA ÍNDICE El cálculo no adquiere su importancia hasta que los árabes introducen en Europa el sistema decimal, introduciendo el 0 que ya consideraban en la India. Al Khwarizmi s. IX, es el primero que presenta un sistema decimal de forma elaborada. La palabra algoritmo se introdujo en matemáticas en honor a este matemático árabe. El surgir del álgebra, introduciendo un sistema de símbolos por un lado, y la resolución de problemas por medio de las ecuaciones, de la mano de los grandes matemáticos renacentistas, Tartaglia, Stévin, Cardano, Vieta, perfeccionados finalmente en el siglo XVII por Descartes, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo. En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del XX, a partir del intento de formalización de todo el sistema matemático, y el intento de matematizar la lógica, (Bolzano, Boole, Frege, Whitehead, Russell) se hizo posible la generalización del concepto como cálculo lógico. Se lograron métodos muy potentes de cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar como “objeto” conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los números transfinitos de Cantor. Los intentos de axiomatizar el cálculo como cálculo perfecto Hilbert, Poincaré llevaron, como consecuencia de diversas paradojas (Cantor, Russell etc.) a la demostración de Gödel de la imposibilidad de un sistema de cálculo perfecto: consistente, decidible y completo Teorema de Gödel en 1931, de grandes implicaciones lógicas, matemáticas y científicas. En la actualidad, el cálculo en su sentido más general, como cálculo lógico interpretado matemáticamente como sistema binario, y físicamente hecho material mediante la lógica de circuitos eléctrónicos, ha adquirido una dimensión y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas máquinas hace lo que humanamente sería imposible absolutamente: millones de operaciones/seg. El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

5 MATEMÁTICOS Eudoxo de Cnidos Diofanto de Alejandría
ÍNDICE Eudoxo de Cnidos Diofanto de Alejandría Niccolo Fontana Tartaglia

6 Eudoxo de Cnidos ANTERIOR
Fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego pupilo y amigo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias, como el poema de Arato sobre astronomía. En matemáticas, fue discípulo de Arquites de Tarento, en Atenas. Su fama en astronomía matemática se debe a la invención de la esfera astronómica y a sus precoces aportaciones para comprender el movimiento de los planetas, que recreó construyendo un modelo de esferas homocéntricas que representaban las estrellas fijas, la Tierra, los planetas conocidos, el Sol y la Luna, y dividió la esfera celeste en grados de latitud y longitud. Su trabajo sobre la teoría de la proporción denotan una amplia comprensión de los números y permite el tratamiento de las cantidades continuas, no únicamente de los números enteros o números racionales. Cuando esta teoría fue resucitada por Tartaglia y otros estudiosos en el siglo XVI, se convirtió en la base de cuantitativas obras de ciencias durante un siglo, hasta que fue sustituida por los métodos algebraicos de Descartes. Eudoxo también invento un método para calcular áreas y volúmenes, utilizado magistralmente por Arquímedes. El trabajo de ambos como precursores del cálculo fue únicamente superado en sofisticación y rigor matemático por Newton. Una curva algebraica lleva su nombre (la kampyle de Euxodo). Estudió también medicina con Filistrón. Estuvo largo tiempo en Egipto estudiando astronomía. Enseñó en Cícico y otras ciudades del Asia Menor. A su regreso a Atenas figuró como uno de los miembros más brillantes de la Academia. Filóstrato lo incluye en el Libro I de su obra Vidas de los Sofistas en razón del ornato de su lenguaje y su facilidad para la improvisación.

7 Diofanto de Alejandría
ANTERIOR Se considera a Diofanto el padre del álgebra. Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega: Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió. Si es el mismo astrónomo Diofanto que comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores. El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Arithmetica. Este libro, que constaba de trece libros de los que sólo se han hallado seis, fue publicado por Guilielmus Xylander en 1575 a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. Los libros faltantes parece que se perdieron tempranamente ya que no hay razones para suponer que los traductores y comentaristas árabes dispusieran de otros manuscritos además de los que aún se conservan. En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.).

8 Niccolo Fontana Tartaglia
ANTERIOR FOTO Matemático italiano apodado Tartaglia (el tartamudo) desde que de niño recibiera una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia, por Gastón de Foix. Huérfano y sin medios materiales para proveerse una instrucción, llegó a ser uno de los principales matemáticos del siglo XVI. Explicó esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que falleció en 1557 en la misma pobreza que le acompañó toda su vida. Se cuenta que Tartaglia sólo aprendió la mitad del alfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacta. Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore discípulo de Scipione del Ferro quien anteriormente había descubierto una fórmula para resolver ciertos tipos de ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta. En las dos horas que dura el duelo, Tartaglia consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia. El éxito de Tartaglia en el duelo llega a oídos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula, a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicará. Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su fórmula, y que según parece llega a manos de Cardano un escrito inédito de otro matemático fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acreditó la autoría de Tartaglia, éste quedó profundamente afectado, llegando a insultar públicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicación de las matemáticas a la artillería en el cálculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos confirmados posteriormente por los estudios acerca de la caída de los cuerpos realizados por Galileo), así como por la expresión matemática para el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una generalización de la fórmula de Herón usada para el cálculo del área del triángulo)

9 ANTERIOR

10 CONCEPTO GENERAL ÍNDICE
El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significación alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de expresiones bien formadas , así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías. Expresado más brevemente, un cálculo es un lenguaje meramente formal en el que los símbolos se expresan únicamente en sus relaciones sintácticas definidas previamente por reglas estrictas, así como las reglas que hacen posible la transformación de unas expresiones en otras equivalentes. Estrictamente un cálculo es: 1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema. 2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas” que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no. 3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo. Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático. Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto: 1. Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, f, y su negación, no-f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema. 2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema. 3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración de que es un teorema del sistema.

11 MÉTODOS DIFERENCIALES E INTEGRALES
ÍNDICE Con la introducción de la variable compleja se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación en variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales diferenciales. Ya e el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias reconocidas en ámbito de las matemáticas, como la Academia de Londres y París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemáticas actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales, y el cálculo de probabilidades. Alrededor del año 1636 Apolonio comienza sus estudios en geometría analítica, descubriendo el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". Con esto después formulo e identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 como la hipérbola, parábola, circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicaron rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. A nivel de los métodos integrales, la mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la integración definida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver. En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvían por los métodos más diversos, Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de recursos de resolución de estos problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación.

12 ISAAC NEWTON ÍNDICE Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones. Poco después regresó a la granja familiar a causa de una epidemia de peste bubónica. Retirado con su familia durante los años , conoció un período muy intenso de descubrimientos, entre los que destaca la ley del inverso del cuadrado de la gravitación, su desarrollo de las bases de la mecánica clásica, la formalización del método de fluxiones y la generalización del teorema del binomio, poniendo además de manifiesto la naturaleza física de los colores. Sin embargo, guardaría silencio durante mucho tiempo sobre sus descubrimientos ante el temor a las críticas y el robo de sus ideas. En 1667 reanudó sus estudios en Cambridge. Desarrollo del Cálculo De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemáticas, puesto en el que Newton le sucedería hasta El mismo año envió a John Collins, por medio de Barrow, su "Analysis per aequationes numero terminorum infinitos". Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral. Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis. Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de las matemáticas. Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. La polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, sin embargo esta separación no fue tan profunda como para que Newton y Leibniz dejaran de intercambiar resultados. Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la Geometría Analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano. Después de 1666 Newton abandonó sus trabajos matemáticos sintiéndose interesado cada vez más por el estudio de la naturaleza y la creación de sus Principia.

13 GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ
ÍNDICE Fue un filósofo, matemático, jurista y político alemán, de origen sorbio, nacido en Leipzig en julio de 1646. Educado en leyes y filosofía, Leibniz jugó un rol mayor en la política y diplomacia europea de su época. Ocupa un lugar igualmente grande en la historia de la Filosofía y en la de las Matemáticas. Descubrió el cálculo, independientemente de Newton, y su notación es la que se halla desde entonces en uso general. También inventó el sistema binario, en que se basan casi todas las arquitecturas de computación actuales. En Filosofía es más recordado por el optimismo; por ejemplo, su conclusión de que nuestro universo es el mejor mundo posible que Dios podría haber creado. Junto con René Descartes, y Baruch Spinoza es uno de los tres grandes filósofos racionalistas del siglo XVII. Su filosofía se enlaza con la tradición escolástica y anticipa la lógica moderna y la filosofía analítica. Leibniz también hizo contribuciones importantes a la Física y a la tecnología, y anticipó nociones que aparecieron mucho más tarde en biología, medicina, geología, teoría de la probabilidad, psicología, ingeniería, y ciencias de la información. También escribió sobre política, leyes, ética, teología, historia y filología, incluso versos ocasionalmente. Sus contribuciones a esta vasta lista de asuntos está desperdigada en diarios y en decenas de miles de cartas y manuscritos no publicados. Hasta el momento, no se ha realizado una edición completa de sus trabajos, y por ello dar cuenta de todos sus logros no es aún posible.

14 POLÉMICA ENTRE NEWTON Y LEIBNIZ
ÍNDICE Newton y Leibniz van a ser los protagonistas de unos de los litigios más lamentables en la historia de las Matemáticas, sobre la paternidad del cálculo. Una polémica subida de tono, con acusaciones de plagio y descalificaciones por ambas partes que va significar la ruptura de las matemáticas británicas con las del continente durante casi dos siglos. Leibnitz quedó definitivamente cautivado por las series infinitas. En 1676 Newton le mandará por carta su fórmula del binomio para potencias fraccionarias y negativas.