Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Profesor: Claudio Gutiérrez Soto Página Web:

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1 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Profesor: Claudio Gutiérrez Soto Página Web: http://www.dcc.uchile.cl/~clgutier e-mail: cjoelg@ona.fi.umag.cl Fono: 207 122

2 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 General Esencialmente la asignatura está orientada al análisis de algoritmos. Se le dará énfasis en el desarrollo de ejercicios y tareas por parte del alumno, esto en la resolución de análisis de algoritmos clásicos y avanzados. Teoría Clases expositivas orales y escritas. Desarrollo de ejercicios durante y al final de cada unidad, por parte del profesor y alumnos.

3 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Contenido: Inducción matemática. Relaciones y Funciones Digrafos Teorema de Dilworth Relaciones y Grafos Árboles Sumatorias Series especiales (harmónicas, stirling) Notación Asintótica Repaso análisis algoritmos Ecuaciones de recurrencia Permutaciones y factoriales Probabilidad Discreta Algoritmos sobre grafos Algoritmos probabilísticos

4 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 ¿Cuál es la diferencia entre las matemáticas discretas y las matemáticas continuas? En realidad no existe diferencia, las matemáticas discretas se utilizan para el análisis de colecciones finitas de objetos, en contraste con las matemáticas continuas, que estudian procesos continuos. En las ciencias de la computación los elementos con los cuales se trabajan son elementos finitos, tale como: memoria, los programas, las sentencias que se ejecutan en dichos programas etc.

5 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Valores y Datos Problemas (Pre-condición /Post-Condición) Definición de Algoritmo Definición Intuitiva ( Finitud, definibilidad, generalidad,efectividad) Observaciones (procesador, problemas) Métodos de Calculo (MT) Tesis de Charch Análisis de Algoritmo (tiempo y espacio) Estrategias de Análisis (Empírica, teórica e híbrida) Principio de Invarianza (Mejor,Peor y Medio)

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13 Propiedades : 1. 1.- f ( n )  O ( f ( n ) ) 2. 2.- a ) O ( f ( n ) )  O ( g ( n ) )  f ( n )  g ( n ) b ) O ( f ( n ) ) = O ( g ( n ) )  f ( n )  g ( n ) y g ( n )  f ( n ) 3.- Si t ( n )  O ( f ( n ) ) y t’ ( n )  O ( g ( n ) ) a ) c * t ( n )  O ( f ( n ) ) b ) t ( n ) + t ‘ ( n )  O ( f ( n ) + g ( n ) ) = O [ max ( f ( n ), g ( n ) ) ] si f ( n ) es comparable asintóticamente con g ( n ) c ) t ( n ) * t’ ( n )  O ( f ( n ) g (n ) ) Ej. : t ( n ) = 3n² + 6n  = ( 3n² + 6n ) = { 1º prioridad } = O [ max ( 3n², 6n ) ] = { 3º } = O ( 3n² ) ; ; 3n²  O ( n² ) = { 3º a } Ej. : t ( n ) = 4 log n + 6n = O ( log n + n ) = O [ max ( log n, n ) ] = O ( n ) 4 log n  O ( log n ) 6n  O ( n )

14 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Operaciones Conjuntísticas : 1. O ( f ( n ) ) + O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) + g ( n ) ) = 0 [ max ( f ( n ), g ( n ) ) ] si f y g son comparables El conjunto suma esta formada por funciones se la forma t ( n ) + t’ ( n ) que pertenece respectivamente al 1º y 2º sumando. 2. O ( f ( n ) ) * O ( g ( n ) ) = O ( f ( n ) g ( n ) ) Producto conjustístico esta formado por funciones del tipo t ( n ) * t‘ ( n ) que pertenecen respectivamente al primer factor y al segundo factor. Ej. : t ( n ) = ( n² + n ) + log n  (1ª) O [ ( n² + n ) log n ] = O [ ( n² + n ) O ( log n )] = max ( n², n ) = O ( n² ) O ( log n ) = O ( n² log n )

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17 1.1. Análisis de Algoritmos Iterativos 1 La complejidad de toda asignación, lectura o escritura de variables simples es constante es decir O ( 1 ). 2 El tiempo de ejecución de una secuencia de proposiciones se determina por la regla de la suma. 3. El tiempo de ejecución de una proposición if, es el costo de las proposiciones que se ejecutan condicionalmente, Proposiciones verdaderas+ proposiciones falsas, más el tiempo para evaluar la condición 4. El tiempo para ejecutar un ciclo, corresponde a la suma de las proposiciones que contiene dicho ciclo. 5. Si existen ciclos anidados, el tiempo de ejecución del ciclo mas externo corresponde a la multiplicación de todos los ciclos.

18 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Análisis de Algoritmos Iterativos

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24 Análisis de Algoritmos Recursivos

25 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Function Factorial : Begin if n<= 1 then fact:=1 else fact:=n* fact(n-1) End T(n)= c+T(n-1) si n>1 d si n<=1

26 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Ordenación por Mezcla : MezclaOrd ( L [ 1.. n ] ) : array [ 1.. n ] Inicio Si n = = 1 entonces devolver ( L ) Sino DividirEnDos ( L, L1, L2 ) Devolver ( mezcla ( MezclaOrd ( L1 [ 1.. n/2 ] ), MezclaOrd ( L2 [ 1.. n/2 ] ) Finsi Fin T(n)= c si n=1 2T(n/2)+c 2 n si n>1

27 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Ordenación por Mezcla : MezclaOrd ( L [ 1.. n ] ) : array [ 1.. n ] Inicio Si n = = 1 entonces devolver ( L ) Sino DividirEnDos ( L, L1, L2 ) Devolver ( mezcla ( MezclaOrd ( L1 [ 1.. n/2 ] ), MezclaOrd ( L2 [ 1.. n/2 ] ) Finsi Fin T(n)= c si n=1 2T(n/2)+c 2 n si n>1

28 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Ecuaciones de Recurrencia

29 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Método de Sustitución Método de Iteración Teorema Maestro Método de la Ecuación Característica

30 Matemáticas para Ciencias de la Computación MCC3182 Método de Sustitución Método de Iteración Teorema Maestro Método de la Ecuación Característica

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37 Árboles de Recursión, visualizando la Iteración

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