Interpolación de Lagrange

Presentación del tema: "Interpolación de Lagrange"— Transcripción de la presentación:

1 Interpolación de Lagrange
Interpolar: estimar el valor desconocido de una función en un punto, tomando un valor aproximado de la función en puntos cercanos al dado. Interpolación lineal: se utiliza un segmento que pasa por dos puntos conocidos (xo,yo) (x1,y1). La pendiente que pasa por los dos puntos es m=(y1-yo)/(x1-xo). La recta que pasa por los dos puntos es Si reemplazamos x por xo y x1 P(xo)=yo P(x1)=y1 Lagrange descubrió que este polinomio se puede escribir de la siguiente manera:

2 L1,0(x0)=1 L1,1(x1)=1 L1,0(x1)=0 L1,1(xo)=0
Llamaremos L1,0(x0)=1 L1,1(x1)=1 L1,0(x1)=0 L1,1(xo)=0 Usando esta notación, podemos escribir:

3 Ejemplo: Consideremos y=f(x)=cos(x) en [0. 0,1
Ejemplo: Consideremos y=f(x)=cos(x) en [0.0,1.2] vamos a usar x0=0 x1= para interpolar linealmente >> x=[0.0:0.1:1.2]' >> y=cos(x) >> x0=0.0 >> x1=1.2 >> y0=cos(x0) >> y1=cos(x1) >> z=y0*(x-x1)/(x0-x1)+y1*(x-x0)/(x1-x0) >> plot(x,y,x,z)

4 La forma de generalizar la fórmula de Lagrange para construir un polinomio PN(x) que tenga grado menor o igual que N y pase por los N+1 puntos dados (xo,yo)(x1,y1)…..(xn,yn) es la fórmula

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6 clear fprintf('Interpolación de Lagrange\n') n=input('Ingrese el número de puntos : '); for i = 1:n fprintf('x%d = ',i) x(i)= input(' '); % Ingreso por pantalla de los valores x(i) fprintf('f(x(%d)) = ',i) f(i)= input(' '); % ingreso por pantalla de los valores de % la función evaluada en los x(i) end a=input('Ingrese el valor de x donde se quiere evaluar el polinomio interpolante : '); for k=1:n for i=1:n if k==i I(i)=1; else I(i)=(a-x(i))/(x(k)-x(i)); fI(k)=f(k)*prod(I); % La función prod calcula el producto de los elementos % del vector I fa=sum(fI); % La función sum calcula la suma de los elementos % del vector fI fprintf('f(%1.2f) = %3.6f',a,fa)

7 Polinomio interpolador de Newton
% La sintaxis de presentación indica que dentro del % argumento de la función se escribirá un número punto flotante % por lo menos 1 carácter y dos dígitos decimales %1.2f % El valor de la función se escribirá en una amplitud de por lo menos % tres caracteres y seis dígitos decimales %3.6f Polinomio interpolador de Newton (1)

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9 DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Definición: las diferencias divididas de una función f se definen como:

10 Ejemplo: construir la tabla de dif.divididas. Para f(x)=cos(x).
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 P1(x)= (x-0) P2(x)= (x-0) (x)(x-1) P3(x)= (x-0) (x)(x-1) x(x-1)(x-2) P4(x)= (x-0) (x)(x-1) x(x-1)(x-2) x(x-1)(x-2)(x-3)

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12 Ejemplo: X = >> Y=cos(X) Y = >> newpoly(X,Y) >> [C,D]=newpoly(X,Y) C = D = >> polyval(C,X) ans =