Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto

Presentación del tema: "Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto"— Transcripción de la presentación:

1 Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto A Metodo Grafico Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un punto Método Grafico. Circulo de Mohr 3a.Parte MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

2 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto A Metodo Grafico 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr (1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de Mohr. Pag 11 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

3 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr
UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto A Metodo Grafico 3.5 Método grafico. Circulo de Mohr Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1: (3.1 y 3.2) MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

4 UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico
Elevando al cuadrado, sumando y simplificando, (3.11) sx, sy, txy son valores conocidos que definen el estado plano de esfuerzo, mientras que s y t son variables. MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

5 UT3 Analisis de esfuerzos en un Punto 3A Metodo Grafico
Por lo tanto (sx +sy)/2 es una constante C, y el segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos como otra constante R. sustituyendo, la ecuación (3.11) se transforma en: (3.12) Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia: (x-c)2 + y 2= R2 MC. Daniel Ramirez Villarreal Ingenieria de Materiales. FIME-UANL

6 Por lo que la circunferencia será de radio y centro:
(3.13) Construcción del circulo de Mohr 11

7 La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.
El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA. Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2).

8 Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional

9 Construcción del circulo de Mohr
Dado el estado de esfuerzos biaxial: sx > sy, sy tyx b txy a) (sx , -txy ) sx a b) (sy , tyx )

10 t s n b Y 1’ t max 2 1 o - s c + s a t xy’ t min s min X 2’ x’ s x’
a) (sx , -txy ) b) (sy , tyx ) t s n b Y 1’ t max 2q1’ 2q2 2 1 o - s c + s 2q1 a t xy’ t min 2q = -120 s min 2q2’ X 2’ x’ s x’ s max -t

11 Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) :
Caso 1 Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar : a) Los esfuerzos componentes sx’, txy’ para q x’ = -30o b) Los esfuerzos principales normales s1, s2 . c) Su dirección y orientación d) Los esfuerzos principales cortantes t1, t2 y sn e) Su dirección y orientación sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa

12 Método Gráfico: Circulo de Mohr
Identificar el estado de esfuerzos sx = + 500MPa (T) sy = - 300MPa (c) txy = - 100MPa tyx = 100MPa 2. Hacer escala MPa: 1cm. 3. Pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centímetros; (10,-2) y (-6, 2). 4 Trazar los ejes s vs. t en el papel milimétrico Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea. Indicar el eje X de Ca y el y de Cb Marcar el origen O y el centro C sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa a b t Y b s C - s o X a - t

13 s n, tmax -tmin smin smax t
8. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes: midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen: s Max =10.3cmx50=515MPa(+) s Min = -6.3cm x50=-315MPa t Max = 8.3cm x50= 415MPa t Min = -8.3cm x50= -415MPa sn = 2cm x50 = 100MPa (s n, tmax ,) 1’ tmax Y b -s (s1 ,0) 1 s (s2 ,0) 2 o C -tmin X a 2’ (s n ,tmin,) smin smax -t

14 s n, tmax -tmin smin smax t (s n, tmax ,) Y b (s1 ,0) -s s (s2 ,0) o a
1’ tmax Y b (s1 ,0) -s C s 2 1 (s2 ,0) 2’ o -tmin a X smin (s n ,tmin,) smax -t 14

15 Los ángulos en el circulo son el doble del valor real.
Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes Los ángulos en el circulo son el doble del valor real. 2q Max = +15o q 1 =+ 7o 2qMin = º q 2 = o 2q ’Max = + 105o q 1’ =+52.5o 2q ’Min = - 75o q 2’ = o t (t1 , s n) 1’ Y b 2q 1’ (s1 ,0) -s 2 1 s o C 2q 1 (s2 ,0) a 2q 2 2q 2’ X 2’ (t2 , s n) -t

16 Obtención de las orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes.
Con los ángulos anteriores se inicia la orientación con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la dirección: q1 considerando su signo y aplicando la convención; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X……. ver orientación del probl. Método analítico sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa

17 Obtención de las componentes de esfuerzos sx’, txy’ para qx’=-30o y sus correspondientes componentes a 90o ; sy’, tyx’ . Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2q trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección será el punto cuyas coordenadas son: sx’, txy’ luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas sy’, tyx’ . sx= 500 MPa sy = 300 MPa txy= 100 MPa q = - 30

18 t s y’ y’ y b t yx’ o c - s + s t xy’ a x x’ a’ -t
Calculo de: sx’ , txy’ para q= -30o y sy’ y t xy’ para q’ = = 60o sx’ =+4.4cmx50=220MPa t txy’ =-8cmx50=-400MPa s y’ sy txy sx y’ b’ y b t yx’ b a 2q’=120o 2 1 o c - s + s t xy’ 2q=-60o a a) (sx , -txy ) b) (sy , tyx ) x x’ a’ s x’ -t 5A-P