Yadira María Alvarado Salas I Cuatrimestre 2014 – UNED 4 ta Tutoría

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1 Yadira María Alvarado Salas I Cuatrimestre 2014 – UNED 4 ta Tutoría
XS-104 Estadística I Yadira María Alvarado Salas I Cuatrimestre 2014 – UNED 4 ta Tutoría

2 Capítulo 9 Medidas de variabilidad o dispersión

3 1. La variabilidad y su importancia
Es casi tan importante conocer un promedio, como la variabilidad de los datos a su alrededor. La validez de un promedio para resumir, depende en grado sumo, de si los datos individuales se dispersan o concentran alrededor de él. Cuanto más se concentren los datos alrededor de la media aritmética, mucha más confianza se tendrá en este valor para caracterizarlos. La variabilidad juega un papel clave dentro de la estadística. Si los fenómenos no se repitieran o lo hicieran sin variaciones, la estadística casi no tendría razón de ser.

4 1. La variabilidad y su importancia
Los tres conjuntos de datos tienen la misma media aritmética y, sin embargo, su dispersión es muy diferente.

5 2. La medición de la variabilidad. El recorrido y la desviación media
Diferencia entre el valor mayor y el valor menor. Ej: Recorrido = 10 – 2 = 8 No es muy usado, debido a ciertas limitaciones: No considera todas las observaciones del grupo. Depende sensiblemente del número de datos, ya que es posible que entre las nuevas observaciones haya alguna más pequeña o más grande a las existentes. Se utiliza cuando: Se desea una medida simple de variabilidad. Por falta de tiempo no se puede emplear otra medida. El número de casos es pequeño. Se utiliza en aplicaciones de control estadístico de procesos.

6 2. La medición de la variabilidad. El recorrido y la desviación media
Hay que recordar que la suma de las desviaciones respecto a la media aritmética siempre es igual a cero. Por ello se emplean valores absolutos en las diferencias.

7 2. La medición de la variabilidad. El recorrido y la desviación media
Ejemplo:

8 3. La desviación estándar y la variancia: Concepto, definición y cálculo en datos simples y agrupados La desviación media casi no se utiliza porque: Requiere el manejo de valores absolutos. Existe otra medida, basada también en las desviaciones respecto a la media aritmética que: Es mucho más cómoda y útil. Tiene numerosas utilidades prácticas y teóricas. La desviación estándar o típica emplea los cuadrados de las desviaciones.

9 3. La desviación estándar y la variancia: Concepto, definición y cálculo en datos simples y agrupados La desviación estándar indica cuánto se alejan, en promedio, las observaciones de la media aritmética. Es la medida de dispersión más usada en estadística. El cuadrado de ella, la variancia, también es muy importante. Es más cómodo trabajar sin el radical, por lo que se calcula primero la variancia y luego se extrae la raíz cuadrada.

10 3. La desviación estándar y la variancia: Concepto, definición y cálculo en datos simples y agrupados Uso de la desviación estándar y la variancia en muestras y poblaciones: Tienen símbolos diferentes: En población: se usan letras latinas mayúsculas o griegas. En muestras: se usan letras latinas minúsculas (estimadores).

11 3. La desviación estándar y la variancia: Concepto, definición y cálculo en datos simples y agrupados Fórmulas de la variancia en muestras:

12 3. La desviación estándar y la variancia: Concepto, definición y cálculo en datos simples y agrupados El cálculo de la variancia en datos sin agrupar con ambas fórmulas:

13 3. La desviación estándar y la variancia: Concepto, definición y cálculo en datos simples y agrupados El cálculo de la variancia en datos agrupados en una distribución de frecuencias Donde:

14 3. La desviación estándar y la variancia: Concepto, definición y cálculo en datos simples y agrupados Ejemplo:

15 4. Variabilidad relativa El coeficiente de variación
Necesidad de comparar dos o más conjuntos de datos en cuanto a su variabilidad. Cuando las unidades de medida son diferentes (kilogramos, centímetros, minutos). Cuando aún siendo la misma unidad de medida, sus promedios están muy alejados (peso de conejos y caballos). Para ello se utilizan medidas de dispersión relativa. La más importante es el Coeficiente de Variación.

16 4. Variabilidad relativa El coeficiente de variación
Para la población Para una muestra Ejemplo: Interpretación: La desviación estándar representa un 14,62% de la media aritmética.

17 5. Estandarización de notas
Permite dar posiciones relativas dentro de un grupo. Por ejemplo: Cecilia obtuvo una nota de 85 y Efraín un 70.

18 6. Media y variancia de variables dicotómicas
Variable dicotómicas: sólo tienen 2 posibles resultados (sexo, ocupado-desocupado, tenencia de celular). Valores a utilizar: 0 = Ausencia (no tiene la característica). 1 = Presencia (sí tiene la característica). La sumatoria de los “1” ( N1 ) da el número de personas con la característica de interés. N – N1 representa a quienes no la tienen. N1 / N = P es la proporción de personas con la característica de interés. 1 – P = Q es la proporción de personas que no tienen esa característica.

19 6. Media y variancia de variables dicotómicas
Para la población: Para una muestra:

20 6. Media y variancia de variables dicotómicas
Ejemplo: tenencia de computadora en 8 familias. ¿Cuál es la media y la variancia?

21 7. Ilustración integrada de distribuciones de frecuencias y medidas de tendencia central y variabilidad Interpretar Me = 7,4 La mitad de las familias de la zona central consumen menos de 7,4 Kg de mariscos al año, y la otra mitad más de esa cantidad. ¿Dónde consumen más mariscos? Es parecido en ambas zonas: aunque la moda es un poco mayor en la Central, las medianas son similares. Consumo promedio para todo el país: Consumo total de mariscos del país: N =

22 8. Medidas de posición o cuantilos
Cuantilos: describen la posición de un valor específico de la distribución, cuando todos los valores han sido ordenados. Cuantilos más usados: Percentiles ( P ): dividen al conjunto en 100 partes. Deciles ( D ): dividen al conjunto en 10 partes. Cuartiles ( Q ): dividen al conjunto en 4 partes.

23 8. Medidas de posición o cuantilos
Ejemplos: Mediana = P50 = D5 = Q2 La mitad de los valores son inferiores a este valor y la otra mitad son superiores. Cuartil 1 = P25 = Q1 Una cuarta parte de las observaciones son menores que él y ¾ partes mayores. Cuartil 3 = P75 = Q3 ¾ partes de las observaciones son menores que él y ¼ parte es mayor. Con la fórmula de los percentiles, se puede calcular cualquier cuantilo.

24 8. Medidas de posición o cuantilos
Procedimiento para calcular percentiles: 1. Ordenar los datos de menor a mayor. 2. Determinar la posición: 3. Buscar el valor, de acuerdo con la posición encontrada.

25 8. Medidas de posición o cuantilos
Ejemplo: calcular el percentil 86 con los datos de los pesos de los 60 estudiantes. 1. Ordenar los datos de menor a mayor.

26 8. Medidas de posición o cuantilos
2. Determinar la posición del P86 n = 60 y m = 86 3. Buscar el valor, de acuerdo con la posición encontrada. El término 52,46 no existe, por lo que habrá que hacer una interpolación lineal, entre los valores adyacentes.

27 8. Medidas de posición o cuantilos
El valor P86 = 75,92 significa que un 86% de los estudiantes tiene un peso inferior a 75,92 Kg y un 14% más de ese peso.

28 8. Medidas de posición o cuantilos
Recorrido intercuartil ( RIC ). Es la diferencia entre el cuartil 3 y el 1: Q3 – Q1 Ventajas de esta medida: Da una idea de la dispersión del 50% central de los datos. Excluye el efecto de los valores extremos. Resulta muy útil cuando se tienen clases abiertas y no es posible calcular la variancia.

29 9. Diagrama de caja Es un procedimiento gráfico basado en los cuartilos. Permite visualizar en una forma organizada, un grupo de datos. Está compuesto por la caja, dos brazos y los bigotes. Se necesitan 5 medidas para construirla: valor mínimo, valor máximo y los cuartiles Q1 , Q2 y Q3.

30 9. Diagrama de caja Diagrama de caja de la variable
peso en los 60 estudiantes: Mínimo = 45 Q1 = 57,75 Q2 = 63 Q3 = 70,75 Máximo = 88 El 50% central de los pesos está entre los 57,75 y 70,75 kilos. El recorrido intercuartil, distancia entre el Q1 y Q3, es igual a 70,75 – 57,75 = 13 La distribución es asimétrica, hacia la derecha, o sea tiene asimetría positiva (el bigote superior es más grande que el bigote inferior). La mediana (Q2) está más cerca de Q1.

31 Capítulo 10 Introducción a las probabilidades

32 1. Inferencia estadística y probabilidad
Cuando se trabaja con muestras, la información es parcial, y las decisiones se toman en condiciones de incertidumbre. Es decir, existe el riesgo de equivocarse al hacer una inferencia (generalización de la parte al todo). Surge la necesidad de disponer de algún procedimiento objetivo que permita tratar con la incertidumbre y los riesgos. Esta función la cumple la teoría de las probabilidades, la cual se convierte en la base de la estadística inferencial. Esta teoría suministra los elementos para medir, analizar y minimizar los riesgos de error presentes en el proceso de inferencia.

33 2. Concepto de probabilidad
Las probabilidades se refieren a acontecimientos cuya ocurrencia es incierta. Esto es, se sabe que pueden presentarse pero no es posible conocer con certeza cuándo. La probabilidad es, en realidad, un valor numérico que: Debe cumplir con ciertas condiciones o propiedades matemáticas. Se asocia a un evento o suceso determinado para expresar el grado de confianza que se tiene en su verificación futura. Históricamente se han presentado 3 enfoques o definiciones: La clásica. La frecuencial. La personalista.

34 3. Eventos y espacio muestral
La estadística trabaja con datos que provienen de observaciones, experimentos o procesos repetitivos, reales o imaginarios: Anotación de pesos de niños recién nacidos. Registro de las calificaciones de un curso. Análisis de datos sobre consumo general de leche. Imaginar lo que sucede si se lanza un dado “normal” 20 veces. Eventos o sucesos: son los resultados de este tipo de experiencias reiteradas. Se representan con las letras x o E.

35 3. Eventos y espacio muestral
Eventos simples: se representa cada uno de los valores posibles. Ejemplo: se tiene el peso (Kg) de 12 estudiantes: Cada peso obtenido representa una observación o un evento simple. Se pueden representar gráficamente como puntos sobre una línea horizontal: Eventos compuestos: agrupación de eventos simples. Ejemplo: número de estudiantes que pesan más de 60 Kg ( x > 60 ). Estos serían:

36 3. Eventos y espacio muestral
Evento simple: lanzamiento de un dado normal: Valores posibles: Representación gráfica: Cada punto representa un evento simple, y el total, que son todos los posibles eventos, representan el espacio muestral de la experiencia. Espacio muestral: conjunto de todos los posibles eventos simples. Evento compuesto: que el resultado del lanzamiento sea número par.

37 3. Eventos y espacio muestral
Ejemplo: se lanzan dos dados normales, uno azul y otro rojo, pero iguales en sus otras características: El espacio muestral está formado por 36 eventos simples. Representación gráfica:

38 3. Eventos y espacio muestral
Ejemplo: se lanzan dos dados normales. Si los eventos simples se combinan de determinadas formas, se obtienen eventos compuestos. Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y = 8 Este evento compuesto lo conforman 5 eventos simples: ( x = 2, y = 6 ) ( x = 3, y = 5 ) ( x = 4, y = 4 ) ( x = 5, y = 3 ) ( x = 6, y = 2 )

39 3. Eventos y espacio muestral
Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y = número par Este evento compuesto lo conforman 18 eventos simples.

40 3. Eventos y espacio muestral
Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y < 5 Este evento compuesto lo conforman 6 eventos simples.

41 3. Eventos y espacio muestral
Evento compuesto en relación con la suma de sus caras. x + y = número par menor que 5 Este evento compuesto lo conforman 4 eventos simples. En teoría de conjuntos, éstos constituyen la intersección de los conjuntos definidos en los dos casos anteriores.

42 3. Eventos y espacio muestral
Espacio muestral bidimensional para variables continuas. Ejemplo: un grupo de estudiantes universitarios, con: Espacio muestral: Rectángulo ABCD Evento simple: Un estudiante que pese 65 Kg y mida 170 cm (punto H) Evento compuesto: Estudiante que pese más de 70 Kg y mida más de 175 cm (rectángulo verde).

43 3. Eventos y espacio muestral
Espacios muestrales en lanzamiento de monedas:

44 3. Eventos y espacio muestral
Espacios muestrales en lanzamiento de dados:

45 3. Eventos y espacio muestral
Espacio muestral en juego de naipes (baraja inglesa): Son 52 cartas. Hay 4 palos con 13 cartas cada uno: Diamantes (oros) Corazones Tréboles Espadas (picas o bastos) Hay 4 cartas de cada rango (4deK, 4deQ, 4deJ, 4de10, 4de9, 4de8, 4de7, 4de6, 4de5, 4de4, 4de3, 4de2, 4 Ases). Hay 2 colores (26 cartas rojas y 26 cartas negras).

46 4. La definición de probabilidad. Enfoque clásico
¿Cómo asignar probabilidades a los eventos de una experiencia aleatoria? Se debe pensar en términos de un experimento ideal, que pueda repetirse un gran número de veces, en condiciones similares. Luego se debe anticipar todos los posibles resultados (espacio muestral). En procesos como lanzar monedas, lanzar dados, extraer cartas de un juego de naipes, girar la ruleta, se intuye que todos los resultados (eventos simples) tienen la misma oportunidad de suceder, o sea, son “igualmente posibles”.

47 4. La definición de probabilidad. Enfoque clásico
Definición clásica de probabilidad Usada por Pascal, Fermat y Laplace. Proviene de la experiencia con juegos de azar. Supone que: El espacio muestral es finito. La variable es discreta. Los resultados son: Mutuamente excluyentes (no pueden suceder en forma simultánea), e Igualmente posibles (misma oportunidad de suceder). Si un suceso puede ocurrir de n maneras mutualmente excluyentes e igualmente posibles, y si n(A) de ellas posee un atributo A, la probabilidad de A es la fracción:

48 5. Propiedades básicas de las probabilidades
Sea Ei el evento simple o el punto muestral i. La probabilidad es positiva o nula. La suma de las probabilidades de los eventos simples es igual a la unidad. Si un evento compuesto A abarca los eventos simples E1, E2, … , Ek, su probabilidad es igual a la suma de las probabilidades de los eventos simples. El número de casos favorables no puede ser mayor a los posibles, por lo que: Cuando el evento A es imposible, la probabilidad es cero. Cuando el evento A es seguro o cierto, la probabilidad es uno.

49 6. La ley de la suma Si se tienen dos eventos A y B, la probabilidad de que suceda por lo menos uno de ellos es: Donde:

50 6. La ley de la suma El evento contrario
El evento contrario o complemento lo conforman todos los eventos simples que no tienen el atributo que se busca ( A ). Como la suma de las probabilidades de todos los eventos simples es la unidad, entonces:

51 7. Probabilidad condicional
Es la probabilidad de que un cierto evento suceda, dado que otro ya sucedió.

52 8. La regla del producto Si los resultados de un suceso aleatorio pueden tener, a la vez, los atributos A y B, la probabilidad de ocurrencia de ambos es igual a la de que suceda A multiplicada por la probabilidad de que suceda B, dado que pasó A.

53 8. La regla del producto Eventos mutuamente independientes
Si la ocurrencia de A no afecta la de B o viceversa, entonces se dice que los eventos A y B son mutuamente independientes y se tiene que:

54 8. La regla del producto Resumen

55 9. Probabilidad estadística o frecuencial y personalista
Las probabilidades calculadas con la definición clásica se conocen como a priori. Se llega por un razonamiento totalmente deductivo. Limitaciones de la definición clásica: No es aplicable la definición clásica cuando: El número de casos favorables, y aún el de posibles se desconoce, ya que es imposible calcular el cociente. El total de resultados posibles es infinito. Se sabe que los eventos no son igualmente posibles o, por lo menos, no se está seguro de que lo sean. Por ello se ha buscado una definición que satisfaga las necesidades teóricas y prácticas.

56 9. Probabilidad estadística o frecuencial y personalista
Enfoque estadístico o frecuencial Se basa en los resultados empíricos, y utiliza el concepto de frecuencia relativa. Si se tienen n observaciones de una misma clase y el evento A ocurre en n(A) de ellas, el cociente ( n(A) / n ) se denomina frecuencia relativa del evento A. Conforme sea mayor el número de observaciones, mayor será la estabilidad de las frecuencias relativas. La frecuencia relativa, de una cierta experiencia n, tiende como límite a un valor cierto, generalmente desconocido.

57 9. Probabilidad estadística o frecuencial y personalista
Enfoque estadístico o frecuencial Ejemplo: Se inoculan 20 ratas con una disolución tóxica. Si de las 20 ratas inoculadas, 14 mueren e interesa el evento muerte o supervivencia de ellas, entonces:

58 9. Probabilidad estadística o frecuencial y personalista
El enfoque personalista o subjetivo Se orienta a tratar el caso de eventos históricos o específicos que no pueden repetirse, por lo que no se puede aplicar la definición clásica, ni la interpretación frecuencial. Se concibe la probabilidad como una medida de creencia personal de que un cierto evento particular es susceptible de suceder o ha sucedido. Es frecuente entre los empresarios, los militares, los politólogos y los líderes políticos. Ejemplos: Un detective indica que: P( x = asalto por banda de extranjeros ) = 0,80. Un cafetalero estima que: P( x = alza sostenida en precio café por 5 años ) = 0,40.

59 EJERCICIOS Suceso mutuamente excluyente, operador suma:
En suma: el operador es "o", es decir, quiero que ocurra uno, u otro, o ambos sucesos (me da lo mismo cuál de ellos ocurra)

60 EJERCICIOS Suceso mutuamente excluyente, operador suma:

61 EJER- CICIOS Suceso mutuamente excluyente, operador suma:

62 EJERCICIOS Suceso mutuamente excluyente, operador suma:

63 EJERCICIOS Suceso independiente, operador multiplicación:
En multiplicación: el operador es "y", es decir, quiero ambos sucesos a la vez.

64 EJERCICIOS Suceso independiente, operador multiplicación:

65 EJERCICIOS Sucesos dependientes (condicional), multiplicación:

66 EJERCICIOS Combinados

67 EJERCICIOS Combinados

68 EJERCICIOS Frecuencial

69 EJERCICIOS Frecuencial

70 MUCHAS GRACIAS