Prueba de Hipótesis y estimación

Presentación del tema: "Prueba de Hipótesis y estimación"— Transcripción de la presentación:

1 Prueba de Hipótesis y estimación
Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

2 Inferencia Estadística
Estimación Estimación de un parámetro Puntual poblacional a través de un estadístico muestral Intervalos Inferencia de Estadística confianza Prueba de Hipótesis Rechazo o no rechazo de una afirmación respecto de un parámetro poblacional, a través de una muestra

3 Prueba de Hipótesis - Ejemplos
El gerente de operaciones toma muestras cada dos horas de botellas de jugos que están siendo llenadas para comprobar si el contenido promedio de las mismas es de 32 onzas. Formula una hipótesis en la dirección del status quo: “El contenido promedio de las botellas es de 32 onzas” En base a la información de la muestra se tomará la decisión de rechazar o no la hipótesis. Rechazará en caso la media muestral esté “muy alejada” de las 32 onzas, caso contrario mantendrá el supuesto que la media poblacional es de 32 onzas. Esto es, le da el beneficio de la duda al status quo.

4 Prueba de Hipótesis - Ejemplos
Para el lanzamiento de una nueva droga al mercado se requiere la aprobación del FDA. Se requiere una validación de que la droga es segura y efectiva, lo cual debe efectuarse en base a información muestral. La FDA prefiere correr el riesgo de rechazar una droga efectiva y segura, antes que aceptar como segura y efectiva una droga que no lo es; formula su hipótesis en esa dirección, la cual asume como el status quo: “La droga no es ni segura ni efectiva” En base a la data muestral tomará su decisión sobre rechazar o no la hipótesis.

5 Prueba de hipótesis - Ejemplos
En el sistema legal se da el beneficio de la duda al acusado, para lo cual se formula la hipótesis en esa dirección, la cual se considera el status quo: “El acusado es inocente” En base a las pruebas y evidencia el jurado y el juez deberán de rechazar o no esta hipótesis. Se debe concluir que “más allá de una duda razonable” el acusado cometió el crimen, rechazando la hipótesis. Si la evidencia no es suficientemente fuerte, no se rechazará la hipótesis de inocencia.

6 Esta sesión introduce los conceptos básicos en la elaboración de prueba de hipótesis. Los cuales servirán de base para el desarrollo de diferentes técnicas de pruebas de hipótesis de sesiones posteriores.

7 Objetivos Formular hipótesis nulas y alternativas concernientes a la media o proporción de una población. Saber qué es el error Tipo I y Tipo II. Formular una regla de decisión para probar una hipótesis. Saber cómo usar un estadístico de prueba, valor crítico y valor-p para rechazar o no una hipótesis nula. Calcular la probabilidad de un error Tipo II.

8 ¿Qué es Prueba de Hipótesis?
Es una técnica de inferencia estadística. -Permite el análisis de afirmaciones respecto de parámetros de la población, en base a estadísticos muestrales. Un método analítico para la toma de decisiones. A través de la recolección de evidencia estadística, un enunciado acerca de una población puede ser rechazado o no -Debe haber suficiente evidencia para rechazar el enunciado, en caso contrario no se rechaza. Un proceso que incorpora el error muestral -Considerando el error muestral, nunca probamos algo al 100%.

9 ¿Qué es Prueba de Hipótesis?
Toda información muestral está sujeta a error muestral, por lo tanto el análisis de una afirmación respecto de un parámetro poblacional no puede basarse en la simple comparación de un valor (proveniente de la afirmación) con su correspondiente estadístico muestral. Se requiere de un procedimiento que incorpore el error muestral potencial.

10 ¿Qué es Prueba de Hipótesis?
Las pruebas de hipótesis estadísticas proporcionan un método analítico estructurado para el análisis de estas afirmaciones, controlando, o midiendo, los errores que se pueden cometer. No pueden eliminar la incertidumbre ni la posibilidad de error, pero si el control del nivel de los mismos. Las técnicas que a continuación se presentan asumen información obtenida en base a muestras recolectadas según apropiados procesos estadísticos, así como que la data es de intervalo o de razón.

11 ¿Qué es una Hipótesis? Una hipótesis es un enunciado
(supuesto) respecto a un parámetro (población): Media poblacional Proporción poblacional Ejemplo: La media de las cuentas mensua-les de celulares en una ciudad es µ = $42 Ejemplo: La proporción de adultos con celulares en esa ciudad es π = 0.68

12 En la prueba de hipótesis se formulan dos hipótesis:
La Hipótesis Nula: H0 La Hipótesis Alternativa: HA En base a la data muestral se rechaza o no se rechaza la H0. HA se estima como cierta si se rechaza H0

13 La Hipótesis Nula, H0 Establece el supuesto o enunciado al cual se le desea dar el beneficio de la duda. Ejemplo: El número promedio de televisores en los hogares de US. es al menos 3: Es siempre respecto a un parámetro (población), y no respecto a un estadístico (muestra)

14 La Hipótesis Nula, H0 (continuación) Se empieza asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Similar a la noción de inocencia hasta que la culpabilidad sea probada. Referido al status quo. Siempre contiene el signo “=” , “≤” o “” Puede ser o no rechazada. Basada en la evidencia estadística recolectada

15 La Hipótesis Alternativa, HA
Es el opuesto de la hipótesis nula ej.: El número promedio de televisores en los hogares de U.S. es menor que 3 ( HA: µ < 3 ) Desafía al status quo. Nunca contiene los signos “=” , “≤” o “”. Puede ser o no “aceptada”. Es generalmente la hipótesis que es presumida correcta (apoyada por el investigador, lo que debe ser “demostrado”) es la llamada hipótesis de investigación.

16 Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis
La compañía Ford ha trabajado para reducir el ruido de carretera en la cabina de la camioneta rediseñada F150. Además desea anunciar en su publicidad que la camioneta es más silenciosa. El promedio en el diseño original fue de 68 decibeles en 60 mph. ¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?

17 Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis
Ford Motor Company ha trabajado para reducir el ruído de carretera en la cabina de la camioneta rediseñada F150. Además desea anunciar en su publicidad que la camioneta es más silenciosa. El promedio en el diseño original fue de 68 decibeles en 60 mph. ¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?

18 Ejemplo 1: Formulación de Hipótesis
(continuación) ¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada? H0: µ ≥ 68 (la camioneta no es silenciosa) status quo HA: µ < 68 (la camioneta es silenciosa) se desea probar Si la hipótesis nula es rechazada, Ford tiene suficiente evidencia para respaldar que la camioneta es más silenciosa. Se le da el beneficio de la duda a lo que se toma como status quo.

19 Ejemplo 2: Formulación de Hipótesis
El ingreso promedio anual de los compradores de las camionetas Ford F150 se considera que es $65,000. Se le desea dar el beneficio de la duda a este enunciado. ¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada?

20 Ejemplo 2: Formulación de Hipótesis
(continuación) ¿Cuál es la prueba de hipótesis apropiada? H0: µ = 65,000 (es lo considerado) status quo HA: µ ≠ 65,000 (es diferente a lo considerado) El analista creerá en lo considerado, a menos que encuentre evidencia suficiente para desacreditar esto.

21 Formulación de Hipótesis
La hipótesis alternativa carga con el peso de la prueba. En ese sentido, generalmente, en investigación lo que se quiere probar constituye la hipótesis alternativa y suele recibir la denominación de la Hipótesis de Investigación. Ejemplo. Goodyear ha desarrollado un nuevo neumático que aduce tiene una mayor durabilidad que el de la competencia que, en promedio, se sabe que dura 60,000 millas de uso. El peso de la prueba pasa a ser que el nuevo neumático dura más de 60,000 millas, por lo tanto las hipótesis se plantean así:

22 Formulación de Hipótesis
H0: El nuevo neumático, en promedio, dura igual o menos de 60,000 millas HA: El nuevo neumático dura más de 60,000 millas (Hipótesis de Investigación) Solo si la data muestral produce una media muy superior a las 60,000 millas se aceptará la hipótesis de investigación.

23 Casos de Duda Se tienen situaciones donde puede ser complicado definir a que postura cargarle el peso de la prueba. Algunas veces se desea dar el beneficio de la duda a la afirmación (Hipótesis nula), pero en otras circunstancias uno tiene dudas respecto de la afirmación y se desea que carge con el peso de la prueba (Hipótesis alternativa). Se adoptará como criterio que la hipótesis nula siempre contempla la posibilidad de igualdad.

24 Casos de Duda Ejemplo. Se afirma y desea validar que el tiempo promedio de atención en una clínica es menor a los 15 minutos. El peso de la prueba cae, en términos de mostrar evidencia suficiente, que el tiempo promedio es menor a 15 minutos. H0: μ ≥ 15 HA: μ < 15

25 Tres resultados para una prueba de hipótesis:
Errores en la Toma de Decisiones Tres resultados para una prueba de hipótesis: No hay error en la decisión. Error tipo I. Error tipo II.

26 Errores en la Toma de Decisiones
Error Tipo I Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Considerado como un error grave. La probabilidad del Error Tipo I es  Llamado nivel de significancia de la prueba. Fijado por el investigador al inicio de la prueba.

27 Errores en la Toma de Decisiones
Error Tipo II No rechazar (aceptar) la hipótesis nula cuando es falsa. La probabilidad del Error Tipo II es β β es un valor calculado, la fórmula será discutida posteriormente.

28 Pruebas de HIPóTESIS Correcto Error Tipo II Error Tipo I REALIDAD
H0 cierta H0 Falsa RESULTADO DE LA PRUEBA No Rechazo H0 Correcto El producto tiene acogida en el mercado, y resulta un éxito. Error Tipo II El producto no tiene acogida, y se comercializa. Probabilidad β Rechazo H0 Acepto Ha Error Tipo I El producto tiene potencial, pero no se comercializa. Probabilidad α El producto no tiene la acogida suficiente, y no se comercializa. MODIFICAR COLORES (SUGERENCIA SEMAFORO)

29 Proceso de Prueba de Hipótesis
Supuesto: Se cree que edad media poblacional es 50. Hipótesis Nula: H0: µ = 50 Población Seleccionar una muestra aleatoria: Muestra ¿Es x = 20 probable si µ = 50? Si no es probable, Supongamos que la edad media muestral es 20: x = 20 RECHAZAR Hipótesis Nula

30 Razón para Rechazar la H0
Distribución Muestral de x x 20 μ = 50 Si H0 es verdadera ... entonces rechazamos la hipótesis nula (μ = 50) Sería poco probable obtener una media muestral de este valor... ... si en realidad este valor fuera la media poblacional…

31 Resultados y Probabilidades
Resultados Posibles de Prueba de Hipótesis Escenario Decisión H0 Verdadera H0 Falsa No Rechazar No error ( ) Error Tipo II ( β ) Leyenda: Resultado (Probabilidad) a H Rechazar Error Tipo I ( ) No Error ( 1 - β ) H a Grave Potencia de la prueba

32 Decisiones Si la hipótesis nula no se rechaza, muchos profesionales de la estadística argumentan que no se debe usar la frase “se acepta la hipótesis nula”, dado que la prueba no puede ser así de concluyente, lo único que se tiene es que la data muestral no ha permitido rechazar la hipótesis nula, pero no dice nada respecto de su validez. Sin embargo, en muchas situaciones el no rechazo de la prueba nula implica una decisión que, implícitamente, implica la aceptación de su validez.

33 Error Tipo I y Tipo II: Relación
El error Tipo I y Tipo II no pueden suceder al mismo tiempo Error Tipo I puede ocurrir solamente si H0 es verdadera Error Tipo II puede ocurrir solamente si H0 es falsa Si la probabilidad del error tipo I () , en- tonces la probabilidad del error tipo II (β)

34 Factores que Afectan el Error Tipo II
Manteniendo todo lo demás igual, β cuando la distancia entre el supuesto parámetro y su valor verdadero β cuando  También se tiene: β cuando σ β cuando n La fórmula usada para calcular el valor de β será discutida posteriormente

35 Nivel de Significancia α y Valor Crítico
Considere la siguiente prueba de hipótesis: H0: μ ≤ 25 días HA: μ > 25 días La prueba de hipótesis se basa en la media muestral 𝑋 : Valores de 𝑋 menores o iguales a 25 días tenderán a dar sustento a H0. Valores de 𝑋 por encima de los 25 días tenderán a rechazar H0

36 Nivel de Significancia α y Valor Crítico
Pero se sabe que se tiene error muestral, entonces a partir de que valor de 𝑋 se está dispuesto a no rechazar H0 y a partir de qué valor se estará dispuesto a rechazar H0. Se requiere un punto de corte, que defina dos regiones excluyentes y exhaustivas de rechazo y de no rechazo. Este punto de corte, denominado Valor Crítico, se define en base a la definición de una probabilidad máxima que se está dispuesto aceptar para cometer el Error tipo I. Esta probabilidad recibe el nombre de Nivel de Significancia de la prueba α.

37 Nivel de Significancia α y Valor Crítico
Distribución Muestral de x H0: μ ≤ 25 HA: μ > 25 Nivel de Significancia α Prob. cometer Error Tipo I = α x μ = 25 Punto de Corte: Valor Crítico

38 Nivel de Significancia, 
Define valores poco probables para el estadístico si la hipótesis nula es verdadera Define la región de rechazo de la distribución muestral. Es identificado por , (nivel de significancia) Los valores típicos son 0.01, 0.05, ó 0.10. Es establecido por el investigador al inicio. Proporciona valor(es) crítico(s) para la prueba.

39 Hipótesis Nula de Igualdad
H0: μ = 3 HA: μ ¹ 3 Si ͞x resulta extremo, superior a ͞xmax o inferior a ͞xmin, entonces rechazar H0 y considerar HA como cierta Rechazar H0 No rechazar H0 Rechazar H0 ͞xmin µ=3 ͞xmax zmax -zmin

40 Hipótesis Nula de Desigualdad
HA: μ < 3 a Construcción de la prueba Prob deseada de rechazar H0 Rechazar H0 No rechazar H0 ͞xmin µ=¿3? Aplicación real de la prueba Uso de xmin da menor Prob de rechazar H0 Postura conservadora en términos de rechazar el status quo Error Tipo I menor que lo especificado. Suponga μ = 3.5 Menor α Rechazar H0 No rechazar H0 ͞xmin µ=3.5

41 Pruebas de Hipótesis para la Media
σ conocida σ desconocida Asumir inicialmente que la desviación estándar poblacional σ es conocida

42 Distribución normal de la media muestral
Caso a considerar: Caso de σ conocida Distribución normal de la media muestral Población con distribución normal Tamaño de muestra que permite la aplicación del Teorema de Límite Central ( n ≥ 30 )

43 Procedimiento General
Se formulan las hipótesis nula y alternativa: La hipótesis nula contiene una afirmación sobre la media poblacional μ Se toma como cierta la hipótesis nula y se considera la distribución muestral de la media en base a μ y σ/√n En base a la curva normal estandarizada se encuentra el valor o valores críticos que definirán la región de rechazo: zα, -zα, o zα/2 y -zα/2 Se toma la muestra y se calcula el estadístico de la prueba, el cual se transforma a valor z y se ve si cae o no en la región de rechazo.

44 Procedimiento General

45 Nivel de Significancia y Región de Rechazo
Prueba unilateral izquierda Prueba unilateral derecha Prueba bilateral Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: H0: μ ≥ 3 HA: μ < 3 H0: μ ≤ 3 HA: μ > 3 H0: μ = 3 HA: μ ≠ 3 a a a a /2 /2 -zα zα -zα/2 zα/2 Rechazar H0 No rechazar H0 No rechazar H0 Rechazar H0 Rechazar H0 No rechazar H0 Rechazar H0

46 Valor Crítico para Prueba Unilateral Izquierda
H0: μ ≥ 3 HA: μ < 3 El valor de corte, o , es llamado valor crítico -zα xα a Basado en a Rechazar H0 No rechazar H0 -zα xα µ=3

47 Valor Crítico para Prueba Unilateral Derecha
El valor de corte, o , es llamado valor crítico zα xα a No rechazar H0 Rechazar H0 zα µ=3 xα

48 Valores Críticos para Prueba Bilateral
H0: μ = 3 HA: μ ¹ 3 Hay dos valores de corte (valores críticos): o ± zα/2 /2 /2 xα/2 Inferior Superior Rechazar H0 No rechazar H0 Rechazar H0 xα/2 -zα/2 zα/2 µ=3 xα/2 xα/2 Inferior Superior

49 Dos Técnicas Equivalentes para Probar Hipótesis
Considerando Z: Dado , calcular el(los) valor(es) crítico(s) z: -zα o zα ,o ±zα/2 Convertir la media x a z (estadístico de prueba): Rechazar H0 si z está en la región de rechazo, en otro caso no rechazar H0 Considerando x: Dado , calcular el(los) valor(es) crítico(s): xα o xα/2(Inf.) y xα/2(Sup.) La media muestral es el estadístico de prueba. Rechazar H0 si x está en la región de rechazo, en otro caso no rechazar H0

50 Proceso de Prueba de Hipótesis
Especificar el parámetro (población) de interés. Formular la hipótesis nula y alternativa. Especificar el nivel de significancia deseado, α. Definir la región de rechazo. Tomar una muestra aleatoria y determinar si el estadístico de prueba está en la región de rechazo. Tomar una decisión e interpretar el resultado.

51 Prueba de Hipótesis: Ejemplo
Probar el enunciado que el número medio de televisores en los hogares de US. es al menos 3. (Asumir σ = 0.8) 1. Especificar el parámetro poblacional de interés El número medio de televisores en los hogares de US. 2. Formular la hipótesis nula y alternativa H0: μ  3 HA: μ < 3 (Prueba Unilateral Izquierda) 3. Especificar el nivel de significancia deseado Suponer que se elige  = 0.05

52 Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación) 4. Determinar la región de rechazo  = .05 Rechazar H0 No rechazar H0 -zα= Es una prueba unilateral con  = 0.05. Dado que σ es conocida, el valor de corte es un valor z Rechazar H0 si z < z = ; caso contrario no rechazar H0

53 Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación) 5. Tomar una muestra aleatoria y calcular el estadístico de prueba. Supongamos que el tamaño de la muestra es 100 y su media es: x = ( = 0.8 es conocida) Entonces el estadístico de prueba es:

54 Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación) 6. Tomar una decisión e interpretar el resultado  = .05 z Rechazar H0 No rechazar H0 -1.645 -2.0 Dado que z = -2.0 < , rechazamos la hipótesis nula que el número medio de televisores en los hogares de U.S. es al menos 3. Hay suficiente evidencia que el número medio es menos de 3.

55 Prueba de Hipótesis: Ejemplo
(continuación) Otra técnica equivalente de construir la región de rechazo: Ahora expresado en unidades de x y no de z  = .05 x Rechazar H0 No rechazar H0 2.8684 3 2.84 Como x = 2.84 < , rechazamos la hipótesis nula

56 Prueba de Hipótesis a través del valor p

57 Valor p: Ejemplo Ejemplo: ¿Cuán probable es obtener una media muestral de 2.84 (o menor a esta) si la media poblacional es   3?  = 0.05 valor p =0.0228 2.8684 3 x 2.84 -1.645 Z -2.00

58 Valor p: Ejemplo Compare el valor p con 
(continuación) Compare el valor p con  Si valor p <  , rechazar H0 Si valor p   , no rechazar H0  = 0.05 Aquí: valor p =  = 0.05 Como < 0.05, rechazamos la hipótesis nula valor p = 2.8684 3 2.84

59 Prueba de Hipótesis a través del valor p
Convertir el estadístico (x) al estadístico de prueba (valor z, si σ es conocida) Determinar el valor p de una tabla o computadora Comparar el valor p con  Si el valor p < , rechazar H0 Si el valor p  , no rechazar H0

60 Prueba de Hipótesis a través del valor p
(continuación) Valor p: Probabilidad de obtener una prueba estadística igual o más extrema que el valor del estadístico (muestra) observado dado que H0 es verdadera. Llamado también nivel de significancia observado. El menor valor de  para que H0 pueda ser rechazada.

61 Prueba de Hipótesis a través del valor p
(continuación) Da un nivel de significancia al resultado de la prueba de hipótesis. Informa más que un simple rechazo. Puede determinar con qué seguridad se “rechaza” o “no rechaza” la H0. Mientras más distante sea el valor p de a, la decisión es más segura.

62 Prueba Unilateral Derecha para la Media ( conocida): Ejemplo
(continuación) Un administrador de la industria de telecomu-nicaciones considera que la cuenta promedio mensual de celulares se ha incrementado, y es mayor a $52. Se desea probar este enun-ciado. (Asumir  = 10 es conocida) Formulando las hipótesis: H0: μ ≤ el promedio no es mayor que $52 HA: μ > el promedio es mayor que $52

63 Prueba Unilateral Derecha para la Media ( conocida): Ejemplo
(continuación) Hallando la región de rechazo: Para esta prueba se eligió  = 0.10 Rechazar H0  = 0.10 No rechazar H0 Rechazar H0 zα Rechazar H0 si z > zα

64 Prueba Unilateral Derecha para la Media ( conocida): Ejemplo
(continuación) Hallando el valor crítico: Dado a = ¿Cuál es el valor z crítico? 0.90 0.10 Tabla Z .08 Z .07 .09 a = 0.10 1.1 .3790 .3810 .3830 0.50 0.40 1.2 .3980 .3997 .4015 z 1.28 1.3 .4147 .4162 .4177 valor z crítico = 1.28

65 Prueba Unilateral Derecha para la Media ( conocida): Ejemplo
(continuación) Calculando el estadístico de prueba: Obtener la muestra aleatoria y calcular el estadístico de prueba Supongamos que la muestra tomada presenta los siguientes resultados: n = 64, x = 53.1(=10 conocida) El estadístico de prueba es:

66 Prueba Unilateral Derecha para la Media ( conocida): Ejemplo
(continuación) Tomando una decisión e interpretando el resultado: Rechazar H0  = 0.10 No rechazar H0 Rechazar H0 1.28 z = 0.88 No rechazar H0 dado que z = 0.88 ≤ 1.28 = zα No hay suficiente evidencia para concluir que la cuenta promedio mensual de celulares sea mayor a $52

67 Prueba Unilateral Derecha para la Media ( conocida): Ejemplo
(continuación) Probando a través del valor p: Calcular el valor p y compararlo con  valor p = Rechazar H0  = 0.10 No rechazar H0 Rechazar H0 1.28 z = 0.88 No rechazar H0 dado que el valor p = >  = 0.10

68 Caso a considerar: Caso de σ desconocida Distribución normal de los valores de la población

69 Pruebas de Hipótesis para μ,  desconocida
Cuando σ es desconocida, convertir el estadístico (x) al estadístico de prueba t Pruebas de Hipótesis para   conocida  desconocida El estadístico de prueba es: (La población debe ser aproximadamente normal)

70 Proceso de Prueba de Hipótesis para μ,  desconocida
Especificar el valor del parámetro de interés. Formular la hipótesis nula y alternativa. Especificar el nivel de significancia deseado. Determinar la región de rechazo (los valores críticos corresponden a la distribution t con n-1 grados de libertad). Obtener una muestra aleatoria y calcular el estadístico de prueba. Tomar una decisión e interpretar el resultado.

71 Prueba Bilateral para μ,  desconocida: Ejemplo
El costo promedio de una habitación (hotel) en Nueva York es $168 por noche. Una muestra aleatoria de 25 hoteles da x = $172.5 y s = $15.4. Probar para  = 0.05. (Asumir que la población tiene distribución normal) H0: μ = HA: μ ¹ 168

72 Prueba Bilateral para μ,  desconocida: Ejemplo
(continuación) Solución: H0: μ = HA: μ ¹ 168  es desconocida, usar la distribución t a/2=0.025 a/2=0.025 Rechazar H0 No rechazar H0 Rechazar H0 -tα/2 tα/2 Valores críticos: t24 = ± 1.46 2.0639 No rechazar H0: No hay suficiente evidencia para concluir que el costo promedio de una habitación (hotel) por noche en Nueva York sea diferente de $168

73 Prueba de Hipótesis: Proporciones
Se ha visto el tema de prueba de hipótesis respecto de la media de una población, se dan casos en que lo que interesa analizar son hipótesis respecto de la proporción de objetos de una población que satisfacen un atributo. El atributo puede ser una variable categórica. Ejemplos: Proporción de artículos defectuosos por hora, en una línea de ensamblaje, para decidir o no el ajuste de la misma. Evaluación del desempeño de los ejecutivos de ventas de seguros de vida según la proporción de pólizas renovadas en un año.

74 Prueba de Hipótesis para Proporciones
Considera valores categóricos Dos posibles resultados “Éxito” (posee cierta característica) “Fracaso” (no posee esa característica) La fracción o proporción de la población categorizada como “éxito” se denota por π

75 Proporciones La proporción muestral de éxitos es denotada por:
Cuando nπ y n(1- π) son mayores o iguales a 5, p se distribuye aproximadamente como una normal con media y desviación estándar:

76 Pruebas de Hipótesis para Proporciones
La distribución muestral de p es normal, entonces el estadístico de prueba es z: Pruebas de Hipótesis para π nπ  5 y n(1-π)  5 nπ < 5 o n(1-π) < 5 No será discutido

77 Prueba de Hipótesis para π: Ejemplo
Una empresa de investi-gación de mercado cree que recibe como respues-ta el 8% de los correos que envía. Para probar este enunciado, se tomó una muestra aleatoria de 500 y se obtuvo 25 respuestas. Además se ha considerado  = 0.05. Verificando: n π = (500)(0.08) = 40 n(1-π) = (500)(0.92) = 460  Como son mayores a 5 se asume distribución normal

78 Prueba de Hipótesis para π: Ejemplo
(continuación) Solución: H0: π = HA: π ¹ 0.08 a = n = 500, p = 0.05 Rechazar Rechazar 0.025 0.025 z Valores críticos: ± 1.96 -1.96 1.96 Estadístico de prueba: Decision: Rechazar H0 para  = 0.05 Conclusión: Hay suficiente evidencia para concluir que la proporción de respuestas a los correos enviados es diferente de 8%

79 Prueba de Hipótesis para π: Ejemplo
(continuación) Solución (valor p): Calcular el valor p y compararlo con  (Para una prueba bilateral el valor p es siempre a dos colas) Rechazar H0 No rechazar H0 Rechazar H0 /2 = 0.025 /2 = 0.025 0.0068 0.0068 -1.96 1.96 z = -2.47 z = 2.47 Obtención del valor p: Rechazar H0 dado que el valor p = <  = 0.05

80 ¿Pero qué del error de no rechazar H0 siendo esta falsa?
Error Tipo II: β Error Tipo I Se comete cuando se rechaza H0 siendo esta cierta. Se define a través del nivel de significancia α, la probabilidad de rechazar H0 cuando esta es cierta. El costo de cometer el Error Tipo I es un criterio para fijar el nivel de significancia. ¿Pero qué del error de no rechazar H0 siendo esta falsa? Error Tipo II: Prob(No rechazar H0 / H0 es falsa) = β A menor Error Tipo I, mayor Error Tipo II, sin embargo no son proporcionales, no suman 1. El costo de cometer este error también es un elemento en la determinación del nivel de significancia. Para cada valor de α, y un valor dado al interior del rango definido por HA, se tendrá un valor de β. Esto es, β es condicional al valor que se considere del rango definido por HA.

81 Error Tipo II El error tipo II es la probabilidad de no rechazar la H0 cuando es falsa Supongamos que no rechazamos H0: μ  52 cuando en realidad la media poblacional es μ = 50  50 52 Rechazar H0: μ  52 No rechazar H0 : μ  52

82 Error Tipo II (continuación) Supongamos que no rechazamos H0:   52 cuan-do en realidad la media poblacional es  = 50 Este es el rango de x donde H0 no es rechazada Esta es la verdadera distribución para x si  = 50 50 52 Rechazar H0:   52 No rechazar H0 :   52

83 Error Tipo II (continuación) Supongamos que no rechazamos H0:   52 cuan-do en realidad la media poblacional es  = 50 Aquí, β = P( x  “valor crítico”) si μ = 50 β  50 52 Rechazar H0: μ  52 No rechazar H0 : μ  52

84 Pasos para Calcular b Especificar el parámetro de interés.
Formular las hipótesis. Especificar el nivel de significancia. Determinar el(los) valor(es) crítico(s), prueba unilateral o bilateral. Especificar el valor estipulado del parámetro de interés. Calcular el valor z considerando el valor estipulado del parámetro. Usar la tabla Z para hallar b

85 Calculando β Suponer n = 64 , σ = 6 y  = 0.05
(para H0 : μ  52) β = P(x  ) si μ = 50)  50 50.766 52 Rechazar H0: μ  52 No rechazar H0 : μ  52

86 Calculando β Suponer n = 64, σ = 6 y  = 0.05 (continuación)
Probabilidad del error tipo II: β =  50 52 Rechazar H0: μ  52 No rechazar H0 : μ  52

87 Calculando β Ejemplo: American Lighting Company
American Lighting 1.pdf

88 Controlando α y β Una vez que se fija α, ya no se puede fijar β, queda determinado para cada posible valor en el rango de HA; para un tamaño de muestra dado. Variando el tamaño de muestra se puede influir sobre ambos valores: α y β American Lighting 2.pdf

89 Β para una Prueba de Hipótesis de dos Colas
Billiard Ball.pdf

90 β para una Prueba de Hipótesis de Proporción
NFIB.pdf

91 Potencia de una Prueba de Hipótesis
Se desea que b sea lo más pequeña posible Si la hipótesis nula es FALSA, entonces se deseará rechazarla Es decir, se desea que una prueba de hipótesis tenga alta probabilidad de rechazar una hipótesis nula falsa La potencia de una prueba queda expresada como: Potencia = 1 - b La potencia de la prueba indica la probabilidad de rechazar una hipótesis nula dado que es falsa.

92 Potencia de una Prueba American Lighting 3.pdf

93 Estimador Insesgado Estimadores que producen estadísticos tales que el promedio de todos los posibles valores muestrales (de muestras del mismo tamaño) de los mismos coinciden con el parámetro de la población. Ejemplo: La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional. Estimador Consistente Un estimador insesgado es un estimador consistente si la diferencia entre el estimador y el parámetro tiende a cero conforme el tamaño de muestra se agranda. Ejemplo: la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional.

94 Resumen Se habló de la metodología de prueba de hipótesis.
Se trabajó pruebas de hipótesis para μ (σ conocida), estadístico de prueba z. Se discutió la prueba de hipótesis a través de la técnica del valor p. Se trabajó pruebas unilaterales y bilaterales.

95 Resumen (continuación) Se trabajó pruebas de hipótesis para μ (σ desconocida), estadístico de prueba t. Se trabajó pruebas de hipótesis para π, estadístico de prueba z. Se discutió el error tipo II y se calculó su probabilidad. Se revisó la potencia de una prueba.