Sesión 13: Técnicas Alternativas A B C F DH. Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar2 Técnicas Alternativas Se han desarrollado algunas técnicas numéricas para.

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1 Sesión 13: Técnicas Alternativas A B C F DH

2 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar2 Técnicas Alternativas Se han desarrollado algunas técnicas numéricas para manejo de incertidumbre que no siguen los axiomas de probabilidad. Entre éstas se encuentran: Métodos empíricos o ad-hoc Teoría de Dempster-Shafer Lógica difusa Métodos aproximados

3 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar3 Técnicas Alternativas Algunas técnicas se pueden ver como casos especiales o extensiones de probabilidad Técnicas que se reducen a casos especiales de probabilidad –Método de factores de certeza (MYCIN) –Método de pseudo-probabilidades subjetivas (Prospector) Técnicas que extienden a probabilidad: –Teoría de Dempster-Shafer

4 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar4 Las primeras técnicas que surgen, cuando menos dentro del área de sistemas expertos, son técnicas empíricas o ad-hoc orientadas a resolver aplicaciones específicas y sin un fuerte fundamento teórico. Las más conocidas son las que corresponden a dos de los primeros sistemas expertos: Las primeras técnicas que surgen, cuando menos dentro del área de sistemas expertos, son técnicas empíricas o ad-hoc orientadas a resolver aplicaciones específicas y sin un fuerte fundamento teórico. Las más conocidas son las que corresponden a dos de los primeros sistemas expertos: Técnicas empíricas

5 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar5 PROSPECTOR (exploración minera) PROSPECTOR (exploración minera) MYCIN (diagnóstico de enfermedades infecciosas en la sangre) MYCIN (diagnóstico de enfermedades infecciosas en la sangre)

6 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar6 Sistemas basados en reglas En sistemas basados en reglas se tiene en general una estructura similar a la siguiente:

7 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar7 Si: se observa cierta evidencia E Entonces: se concluye cierta hipótesis H con probabilidad (certeza,...) P Si: se observa cierta evidencia E Entonces: se concluye cierta hipótesis H con probabilidad (certeza,...) P ¿Cómo obtener estas medidas? ¿Cómo combinar estas medidas? ¿Cómo interpretar estas medias? ¿Cómo obtener estas medidas? ¿Cómo combinar estas medidas? ¿Cómo interpretar estas medias? De aquí surgen varias interrogantes:

8 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar8 Las técnicas desarrolladas en MYCIN y Prospector son similares, ambas consideran sistemas basados en reglas a los que se les adicionan Factores de Certeza o Probabilidades Subjetivas, respectivamente. Veremos brevemente el método de MYCIN. Las técnicas desarrolladas en MYCIN y Prospector son similares, ambas consideran sistemas basados en reglas a los que se les adicionan Factores de Certeza o Probabilidades Subjetivas, respectivamente. Veremos brevemente el método de MYCIN. MYCIN

9 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar9 Técnica de Factores de Certeza Los autores de MYCIN dicidieron no aplicar probabilidad porque: –“... requiere de grandes cantidades de datos o numerosas aproximaciones y suposiciones” Desarrollaron una técnica alternativa basada en factores de certeza (medidas no probabilistas) y técnicas para combinarlas

10 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar10 Medidas básicas MB[h,e] – incremento de la creencia en la hipótesis h dada la evidencia e MD[h,e] – incremento en la no-creencia en la hipótesis h dada la evidencia e Se pueden combinar en una sola medida, el factor de certeza: CF = MB – MD 0  MB,MD  1  CF : [-1, +1]

11 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar11 MYCIN define un Factor de Certeza que se asocia a cada regla y cada evidencia, y se definen un conjunto de reglas para combinar estos factores.

12 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar12 Redes de Inferencia Un conjunto de reglas se pueden ver como una “red de inferencia” Por ejemplo: –R1: si A y B entonces C –R2: si C entonces D –R3: si F entonces D –R4: si D entonces H A B C F DH

13 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar13 Redes de Inferencia Tipos de combinaciones: –Conjunción/disjunción –Serie –Paralelo F DH A B C C C

14 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar14 Reglas de combinación 1. Propagación (f prop ) o reglas en serie: 2. AND (conjunción), OR (disjunción) de evidencias:

15 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar15 3. Co-Conclusión (f co ) o reglas en paralelo:

16 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar16 R1: IF A and (B or C) Then H cf 0.8 R2: If D and F Then B cf 0.6 R3: If F or G Then H cf 0.4 R4: If A Then D cf 0.75 R5: If I Then G cf 0.3 R1: IF A and (B or C) Then H cf 0.8 R2: If D and F Then B cf 0.6 R3: If F or G Then H cf 0.4 R4: If A Then D cf 0.75 R5: If I Then G cf 0.3 Ejemplo Se conoce: CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 Se conoce: CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4

17 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar17 Ejemplo CF B C F D H-1 A G H-2 I 0.8 0.6 H 0.4 0.75 0.3 CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4

18 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar18 Ejemplo CF B C F D H-1 A G H-2 I 0.8 0.6 H 0.4 0.75 0.3x0=0 CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4

19 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar19 Ejemplo CF B C F D H-1 A G H-2 0.8 0.6 H 0.4 0.75 0 CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 0.7 Max[0.7,0]x0.4=0.28

20 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar20 Ejemplo CF B C F D H-1 A H-2 0.8 0.6 H 0.75 CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 0.7 0.28 0.75x1=0.75

21 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar21 Ejemplo CF B C F D H-1 A H-2 0.8 0.6 H 0.75 CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 0.7 0.28 Min[0.75,0.7]x0.6=0.42

22 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar22 Ejemplo CF B C H-1 A H-2 0.8 H CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 0.28 0.42 min[1,max[0.5,0.42]]x0.8=0.4

23 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar23 Ejemplo CF H-1 H-2 H CF(A,Ev) = 1, CF(C,Ev) = 0.5, CF(F,Ev) = 0.7, CF(I,Ev) = -0.4 0.28 0.4 0.4+0.28-(0.4)(0.28)=0.568

24 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar24 Aplicación - MYCIN Ejemplo de regla de MYCIN: SIla clase de organismo es gram positivo &la morfología del organismo es coco &la forma de crecimiento es cadenas ENTONCESla identidad del organismo es estreptococo (CF=0.7)

25 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar25 Ventajas Modularidad Simplicidad computacional Resultados comparables con expertos en aplicación médica (MYCIN) Poco sensitivo a los valores de los CF´s (variación de +/- 0.2)

26 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar26 Aunque pretendía apartarse de probabilidad, se ha demostrado [Heckerman 86] que la técnica de MYCIN corresponde a un subconjunto de probabilidad con una serie de suposiciones implícitas: Desventajas:

27 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar27 La evidencia es condicionalmente independiente de la hipótesis y su negación. La red de inferencia debe corresponder a un árbol para que los resultados sean coherentes. Las fórmulas para conjunción y disjunción (min y max ) sólo son válidas si uno de los términos es subconjunto del otro. La evidencia es condicionalmente independiente de la hipótesis y su negación. La red de inferencia debe corresponder a un árbol para que los resultados sean coherentes. Las fórmulas para conjunción y disjunción (min y max ) sólo son válidas si uno de los términos es subconjunto del otro.

28 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar28 Estas suposiciones no son válidas en muchas aplicaciones por lo que el método de MYCIN no se puede generalizar.

29 Teoría de Dempster-Shafer

30 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar30 Antecedentes Teoría para representar y combinar “grados de creencia”. Esta teoría se desarrollo básicamente como una alternativa (extensión) a teoría de probabilidad ya que los autores consideraban que ciertas situaciones no eran representadas adecuadamente con dicha teoría. En especial dos aspectos: Representación de ''ignorancia" Representación de creencia NO asignada

31 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar31 Ejemplo Se tiene una moneda y dos situaciones distintas: 1.La moneda es “normal” por lo que tiene la misma probabilidad de cada lado 2.Se sabe que la moneda esta cargada con una mayor probabilidad de uno de los lados, pero no se sabe cual ni cuanto Con probabilidades ambas situaciones se representan igual – P=0.5, no hay forma de distinguir ignorancia de igual probabilidad

32 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar32 La teoría de DS difiere en dos aspectos básicos de la teoría clásica de probabilidad: Los grados de creencia se asignan a subconjuntos en lugar de a elementos individuales del dominio de referencia. El axioma de aditividad no se forza, sino se substituye por una desigualdad. Diferencias con Probabilidad

33 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar33 Diferencias con Probabilidad Estas diferencias tiene dos importantes implicaciones: 1.- La creencia en una proposición y su complemento NO necesariamente suman “1”. 2.- Se diferencia ignorancia de probabilidades iguales, dando la creencia no asignada al conjunto de todas las hipótesis.

34 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar34 Fundamentos Teóricos La teoría de DS requiere de un conjunto de hipótesis exclusivas y exhaustivas: Θ - marco de dicernimiento 2 Θ - conjunto de todos los subconjuntos de Θ En base a esto se definen dos medidas: – asignación básica de probabilidad (bpa) –función de creencia (Bel)

35 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar35 Asignación básica de probabilidad (bpa) Representa la porción de creencia asignada exactamente a un elemento A (subconjunto de Θ), sin incluir la creencia asignada sus subconjuntos. bpa=m(A): 2 Θ ->[0,1] Debe satisfacer las siguientes propiedades: 1 >= m(A) >= 0 (1) m(ø) = 0(2) Σ m(A)=1(3)

36 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar36 Ejemplo Para el ejemplo de la moneda Θ = {águila, sol} 2 Θ = [ {águila,sol}, {águila}, {sol},  ] Caso 1: igual probabilidad m({águila}) = 0.5, m({sol}) = 0.5 Caso 2: completa ignoranica m({águila,sol}) = 1

37 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar37 Función de creencia (Bel) Es la creencia total en el conjunto A, incluyendo la creencia asignada propiamente a A, así como la de todos sus subconjuntos: Bel(A)= Σ m(B), B  A Se puede demostrar que Bel satisface las siguientes propiedades: Bel(ø) = 0 Bel(Θ) = 1 Bel(A1  A2) >= Bel(A1) + Bel(A2) - Bel(A1  A2)

38 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar38 Función de creencia (Bel) Para una hipótesis sencilla (un solo elemento) se tiene que: Bel(A)=m(A) Para el ejemplo de la moneda: –Caso 1: Bel({águila,sol}) = 0.5 + 0.5 = 1 Bel({águila}) = m({águila}) = 0.5

39 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar39 Regla de Dempster Para combinar distintas evidencias se calcula su suma ortogonal, aplicando lo que se conoce como la regla de Dempster, y obteniendo un nuevo grado de creencia (m) basado en la evidencia combinada: Esta formula la podemos interpretar de la siguiente forma: –La evidencia E1 asigna la creencia ml al subconjunto Al –La evidencia E2 asigna la creencia m2 al subconjunto B1 –Entonces el producto de ambas (ml * m2) nos da la creencia en su intersección - A

40 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar40 Regla de Dempster La creencia total en A es simplemente la suma de las creencia asignadas de esta forma, es decir, la suma de la creencia de todas la intersecciones entre los conjunto Ai y Bj que den como resultado A. Surge un problema si alguna de las intersecciones de el conjunto vacío, ya que no se puede asignar creencia a dicho conjunto (implicaría que la suma de bpa no sea l). Para resolver este caso hay que normalizar los bpa, es decir, inflar las creencias de los demás subconjuntos en forma proporcional a la creencia asignada al conjunto vacío.

41 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar41 Regla de Dempster Entonces la regla de Dempster en su forma general es: Los nuevos valores de Bel para cada hipótesis son calculados de la misma forma, sumando los bpa's.

42 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar42 Ejemplo Si hubiera dos evidencias (expertos lanza monedas) respecto a la moneda cargada: –m1(A) = 0.7, m1( Θ ) = 0.3 –m2(S) = 0.6, m2 ( Θ ) = 04 Entonces: m2 \ m1{A} 0.7{ Θ } 0.3 {S} 0.6{  } 0.42{S} 0.18 { Θ } 0.4{A} 0.28{ Θ } 0.12

43 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar43 Ejemplo Normalizando: –k = 0.42  1-k = 0.58 Entonces: –m1  m2({S}) = 0.18 / 0.58 = 0.31 –m1  m2({A}) 0.28 / 0.58 = 0.483 –m1  m2({ Θ }) 0.12 / 0.58 = 0.207

44 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar44 Posibilidad Mientras que Bel nos da la cantidad de creencia en cierta hipótesis, otra medida denominada la posibilidad (plausibility – Pl) indica la máxima creencia que pudiera asignarse a la hipótesis. La posibilidad se define como: P1(A) = 1-Bel(~A) Bel da la creencia mínima y P1 la creencia máxima. Ambas definen un intervalo de creencia: [Bel(A), P1(A)]

45 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar45 Posibilidad El rango dentro del cual estaría la creencia en A de acuerdo a la evidencia conocida. La diferencia entre Bel y Pl nos indica la ignorancia, es decir, la creencia que NO ha sido asignada ni a la hipótesis ni a su complemento (o demás hipótesis).

46 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar46 Ejemplo Para el caso anterior: –Pl({A}) = 1 – 0.310 = 0.690 –Pl({S}) = 1 – 0.483 = 0.517 Entonces: –A: [0.483 0.690] –S: [0.310 0.517]

47 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar47 Otro Ejemplo Consideremos una aplicación médica en la que hay cuatro posibles enfermedades (hipótesis): –Hepatitis (h/hep) –Cirrosis (c/cirr) –Cálculos en la vesícula (v/gall) –Pancreatitis (p/pan)

48 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar48 Ejemplo Médico Marco de dicernimiento (hipótesis) - jerarquía:

49 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar49 Ejemplo Médico - subconjuntos

50 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar50 Ejemplo Médico Evidencia 1: intrahepática – 0.6 Evidencia 2: no hepatitis – 0.7

51 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar51 Ejemplo Médico A partir de las bpa se puede calcular el grado de creencia – Bel, por ejemplo: Bel(intrahepática) = Bel({hep,cerr}) = m(hep,cerr) + m(hep) + m(cerr) = 0.18 + 0 + 0.42 = 0.60

52 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar52 Ejemplo Médico Evidencia 3: hepatitis – 0.8 - pizarrón -

53 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar53 Ejemplo Médico Cálculo de bpa: k = 0.336+0.224 = 0.56, 1-k = 0.44 m(hep) = (0.144+0.096)/0.44 = 0.545 m(cirr) = 0.084/0.44 = 0.191 m(hep,cirr) = 0.036/0.44 = 0.082 m(cirr,gall,pan) = 0.056/0.44 = 0.127 m( Θ ) = 0.024/0.44 = 0.055

54 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar54 Aplicaciones En sistemas basado en reglas, cada una se considera como una fuente de evidencia, y asigna un bpa a una o un conjunto de hipótesis. Los grados de creencia (m) de cada regla son asignados por el experto. Los grados de creencia de cada regla son combinados aplicando la regla de Dempster. Luego se calcula Bel y Pl para cada hipótesis, obteniendo así su intervalo de creencia.

55 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar55 Ventajas Intervalo de creencia Representación de ignorancia Representa “la forma en que los expertos usan la evidencia” Modular

56 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar56 Desventajas Asume fuentes de evidencia independientes Interpretación de los valores finales (Bel) Bel no se puede interpretar como frecuencias Complejidad computacional (hipótesis sencillas, redes)

57 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar57 Referencias Lucas & Van Der Gaag, Principles of Expert Systems, Addison-Wesley, 1991 – Cap. 5 Buchanan & Shortliffe, Ruled-Based Expert Systems, Addison-Weslev, 1984 - Cap 10-13. D. Heckerman, Probabilistic interpretations for MYCIN´s certainty factors, UAI, 1986 Shafer, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton Univ. Press. 1976.

58 Incertidumbre - T.A., L.E. Sucar58 Actividades Hacer ejercicios de técnicas alternativas