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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS IND 210 PLANIFICACION Y CONTROL.

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1 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS IND 210 PLANIFICACION Y CONTROL DE LA PRODUCCION I Carrera de Ingeniería Industrial

2 Planificación y Gestión de Producción Gabinete de Gestión 2004 Alex D. Choque Flores aleks2m@hotmail.com

3 PRONOSTICO DE SERIES TEMPORALES PRONOSTICO DE SERIES TEMPORALES P ROCESOS CON T ENDENCIA

4 Procesos con Tendencia TECNICAS DE PROYECCION Ajuste de Sipper Modelo de Holt Suavizamiento Exponencial Simple con Tendencia Regresión simple con tiempo Los procesos con tendencia presentan incrementos ó decrementos sostenidos en el tiempo, también se necesita una gran cantidad de registros para comprobar si cumple un proceso de este tipo.

5 Técnica: Ajuste de Sipper tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180 21329235 122528% 3143127-242457623% 418010362 384438% 5200165-3333108925% 6168132-212144119% 721211163 396936% 8254174-7777592979% 997 0,7145243935% Nuestro ejemplo: Demanda de atención de auto service en nuestro local de reparaciones 2PAC. En la tabla se tiene el registro de los últimos 8 meses.

6 Técnica: Ajuste de Sipper tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180 21329235 122528% 3143127-242457623% 418010362 384438% 5200165-3333108925% 6168132-212144119% 721211163 396936% 8254174-7777592979% 997 0,7145243935% En la técnica de Ajuste de Sipper, se divide la serie en dos partes, se calculan los promedios de cada parte y el promedio global Promedio I = 133.8 ubicado en t = 2.5 Promedio II = 208.5 ubicado en t = 6.5 Promedio G = 171.1 ubicado en t = 4.5

7 Técnica: Ajuste de Sipper tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180 21329235 122528% 3143127-242457623% 418010362 384438% 5200165-3333108925% 6168132-212144119% 721211163 396936% 8254174-7777592979% 997 0,7145243935% Se calcula la tendencia de una recta imaginaria a través de la pendiente entre los puntos, ésta línea naranja es la serie de términos lineales X Promedio I = 133.8 Promedio II = 208.5 Promedio G = 171.1

8 Técnica: Ajuste de Sipper tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180 21329235 122528% 3143127-242457623% 418010362 384438% 5200165-3333108925% 6168132-212144119% 721211163 396936% 8254174-7777592979% 997 0,7145243935% Se calcula el último valor del término lineal X en t = 8, no es nada más que la proyección en la recta dibujada de los datos reales. Tendencia = 18.7 Valor X final = X 8 = 171.1 + (84.5)*18.7 X 8 = 236.5

9 Técnica: Ajuste de Sipper tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180 21329235 122528% 3143127-242457623% 418010362 384438% 5200165-3333108925% 6168132-212144119% 721211163 396936% 8254174-7777592979% 997 0,7145243935% Confiando siempre en éste dato, proyectamos la línea naranja esperando que esta proyección será el pronóstico de los datos reales ŷ 9 = X 9 = 236.5 + 1(18.7) = 255.2 ŷ 10 = X 10 = 236.5 + 2(18.7) = 273.9 ŷ 11 = X 11 = 236.5 + 3(18.7) = 292.6

10 Técnica: Ajuste de Sipper tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180105,7 2132124,435 122528% 3143143,1-242457623% 4180161,862 384438% 5200180,5-3333108925% 6168199,2-212144119% 7212217,863 396936% 8254236,5-7777592979% 997 0,7145243935% Los pronósticos en anteriores periodos se consigue fácilmente hallando todos los puntos de la línea naranja. ŷ t = X t = 236.5 – (8 – t)*(18.7)

11 Técnica: Ajuste de Sipper tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180105,7-25,725,7661,532,1% 2132124,47,6 57,75,8% 3143143,1-0,10,10,00,1% 4180161,818,2 331,910,1% 5200180,519,5 381,59,8% 6168199,2-31,231,2970,718,5% 7212217,8-5,85,834,12,8% 8254236,517,5 305,26,9% 997 0,015,7342,810,8% Ahora, el cálculo de errores es más fácil

12 Técnica: Modelo de Holt tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180105,7-25,725,7661,532,1% 2132124,47,6 57,75,8% 3143143,1-0,10,10,00,1% 4180161,818,2 331,910,1% 5200180,519,5 381,59,8% 6168199,2-31,231,2970,718,5% 7212217,8-5,85,834,12,8% 8254236,517,5 305,26,9% 997 0,015,7342,810,8% El modelo de Holt supone que tanto el término lineal X y el término de tendencia T no tienen que ser constantes, sino que pueden suavizarse mediante fórmulas de iteración sucesiva X t = αy t + (1α)(X t - 1 +T t - 1 ) T t = β (X tX t - 1 ) + (1β) T t - 1 ŷ t +k = X t +kT t α es el coeficiente de suavizamiento lineal β es el coeficiente de suavizamiento de tendencia K es el número de periodos en el futuro

13 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180 2132 3143 4180 5200 6168 7212 8254 997 0,015,7342,810,8% Por lo tanto debemos crear dos nuevas columnas: una para el término lineal X t y otro para el de Tendencia T t, de ambos sale el pronóstico: ŷ t+1 = X t + T t

14 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180 18.7 2132 3143 4180 5200 6168 7212 8254 997 0,015,7342,810,8% Al igual que en el Suavizamiento Exponencial Simple, requerimos valores inciales para X y T, utilizaremos X 1 = y 1 y T 1 = Tendencia de Sipper = 18.7

15 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180 18,7 2132116,733,1 3143145,129,3 4180165,622,3 5200182,718,1 6168199,717,2 7212217,517,8 8254236,218,4 997 0,015,7342,810,8% Se puede iterar mediante las fórmulas para hallar los demás valores de X y T, en este ejemplo utilizaremos α = 0.7 y β = 0.8 X 2 =0,7(132)+0,3(80+18,7) T 2 =0,8(116,7-80)+0,2(18,7)

16 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180 18,7 2132116,733,198,7 3143145,129,3149,8 4180165,622,3174,4 5200182,718,1187,8 6168199,717,2200,8 7212217,517,8216,9 8254236,218,4235,3 997 0,0 254,6 342,810,8% El pronóstico de un periodo es la suma del término lineal del periodo anterior y la tendencia del anterior periodo. ŷ 3 = X 2 + T 2 =116,7+33,1

17 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180 18,7 2132116,733,198,7 3143145,129,3149,8 4180165,622,3174,4 5200182,718,1187,8 6168199,717,2200,8 7212217,517,8216,9 8254236,218,4235,3 997 0,0 254,6 342,810,8% Con esta información Usted puede verificar : Bias = +3.6 u., DMA = 16.3 u, DCM = 397.7 u 2 y PAME = 9.8% Parámetros: α = 0,7 β = 0,8 X 1 = 80 (primer dato) T 1 = 18,7 (x Sipper)

18 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180 18,7 2132116,733,198,7 3143145,129,3149,8 4180165,622,3174,4 5200182,718,1187,8 6168199,717,2200,8 7212217,517,8216,9 8254236,218,4235,3 997 0,0 254,6 342,810,8% El pronóstico para los periodos siguientes es una proyección geométrica similar al de Sipper, con los últimos valores de X y T. Pronósticos: ŷ 9 = X 8 + T 8 = 254,6 ŷ 10 = X 8 + 2T 8 = 273,1 ŷ 11 = X 8 + 3T 8 = 291,5 ŷ 12 = X 8 + 4T 8 = 309,9 Parámetros: α = 0,7 β = 0,8 X 1 = 80 (primer dato) T 1 = 18,7 (x Sipper)

19 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180171,10 2132166,5-0,9171,1 3143163,3-1,4165,5 4180161,9-1,4161,9 5200162,5-1,0160,5 6168165,3-0,2161,5 7212170,30,8165,0 8254177,72,1171,1 997 0,0 179,8 342,810,8% ¿Que pasa si cambiamos los parámetros del modelo? Probemos con otros y encontraremos el siguiente pronóstico. Parámetros: α = 0,1 β = 0,2 X 1 = 171,1 (promedio) T 1 = 0 (conservador)

20 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180171,10 2132166,5-0,9171,1 3143163,3-1,4165,5 4180161,9-1,4161,9 5200162,5-1,0160,5 6168165,3-0,2161,5 7212170,30,8165,0 8254177,72,1171,1 997 0,0 179,8 342,810,8% Los errores con estos nuevos parámetros son: Bias = +18.9 u., DAM = 36.5 u., DCM = 1862.7 u 2., PAME = 19.1%, son peores resultados que los anteriores. Pronósticos: ŷ 9 = X 8 + T 8 = 179,8 ŷ 10 = X 8 + 2T 8 = 181,9 ŷ 11 = X 8 + 3T 8 = 184,1 ŷ 12 = X 8 + 4T 8 = 186,2 Parámetros: α = 0,1 β = 0,2 X 1 = 171,1 (promedio) T 1 = 0 (conservador)

21 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 180171,10 2132166,5-0,9171,1 3143163,3-1,4165,5 4180161,9-1,4161,9 5200162,5-1,0160,5 6168165,3-0,2161,5 7212170,30,8165,0 8254177,72,1171,1 997 0,0 179,8 342,810,8% Si por cada cambio de parámetros tenemos varios resultados diferentes, entonces ¿qué combinación de parámetros nos otorgaran errores fiables? Pronósticos: ŷ 9 = X 8 + T 8 = 179,8 ŷ 10 = X 8 + 2T 8 = 181,9 ŷ 11 = X 8 + 3T 8 = 184,1 ŷ 12 = X 8 + 4T 8 = 186,2 Parámetros: α = 0,1 β = 0,2 X 1 = 171,1 (promedio) T 1 = 0 (conservador)

22 Técnica: Modelo de Holt tytyt XtXt TtTt ŷtŷt 18080,018,7 2132115,028,098,7 3143143,128,1143,0 4180165,224,7171,1 5200183,921,2189,9 6168201,419,1205,2 7212218,818,1220,4 8254236,718,0236,9 997 0,0 254,7 342,810,8% Esta es la razón por la cual es útil optimizar el modelo mediante el uso del SOLVER de Excel, observe los resultados encontrados. Pronósticos: ŷ 9 = X 8 + T 8 = 254,7 ŷ 10 = X 8 + 2T 8 = 272,6 ŷ 11 = X 8 + 3T 8 = 290,6 ŷ 12 = X 8 + 4T 8 = 308,6 Parámetros: α = 0,63278 β = 0,57456 X 1 = 80 (primer dato) T 1 = 18.7 (x Sipper) Bias = +3.4 u, DAM = 16.4 u DCM = 433.7 u 2 PAME = 9.72% (mínimo)

23 Técnica: Regresión Lineal con Tiempo tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 180 21329235 122528% 3143127-242457623% 418010362 384438% 5200165-3333108925% 6168132-212144119% 721211163 396936% 8254174-7777592979% 997 0,7145243935% Volvamos al problema original, al tener un comportamiento con tendencia ascendente y estable es tentador utilizar la regresión lineal. Modelo: ŷ t = 79.357 + 20.393 t. R 2 = 86.95%

24 Técnica: Regresión Lineal con Tiempo tytyt ŷtŷt TtTt ŷtŷt 18099,8 2132120,1 3143140,5 4180160,9 5200181,3 6168201,7 7212222,1 8254242,5 9262,9 0,015,7342,810,8% Con el modelo matemático es fácil pronosticar valores del pasado (llamado interpolación) incluso para periodos lejanos (interpolación), verifique B = 0! Modelo: ŷ t = 79.357 + 20.393 t R 2 = 86.95%

25 Técnica: Regresión Lineal con Tiempo tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 18099,8 2132120,135 122528% 3143140,5-242457623% 4180160,962 384438% 5200181,3-3333108925% 6168201,7-212144119% 7212222,163 396936% 8254242,5-7777592979% 997 0,7145243935% Las predicciones entre el t=1 y t=8 se garantizan, con cierto nivel de confianza, pero los pronósticos fuera de rango son de desconfiar!!! Modelo: ŷ t = 79.357 + 20.393 t. R 2 = 86.95%

26 Técnica: Regresión Lineal con Tiempo tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 17599,8 2158120,135 122528% 3173140,5-242457623% 4210160,962 384438% 5215181,3-3333108925% 6199201,7-212144119% 7220222,163 396936% 8218242,5-7777592979% 997 0,7145243935% Otra consideración importante: en el nuevo ejemplo se observa una tendencia que no es lineal, el mejor ajuste es el logarítmico, pero ¿es de confiar? Modelo lineal : ŷ t = 108,8 + 16,595 t. R 2 = 68,08% Modelo logarítmico : ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t). R 2 = 88.94%

27 Técnica: Regresión Lineal con Tiempo tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 17599,8 2158120,135 122528% 3173140,5-242457623% 4210160,962 384438% 5215181,3-3333108925% 6199201,7-212144119% 7220222,163 396936% 8218242,5-7777592979% 997 0,7145243935% Este es un error común en las regresiones aplicadas: el modelo lineal establece un R 2 = 68% y el logarítmico R 2 =89%, en el lineal establece que un 68% de la variabilidad del dato y t se explica por la variable t. Modelo lineal : ŷ t = 108,8 + 16,595 t. R 2 = 68,08% Modelo logarítmico : ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t). R 2 = 88.94%

28 Técnica: Regresión Lineal con Tiempo tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 17599,8 2158120,135 122528% 3173140,5-242457623% 4210160,962 384438% 5215181,3-3333108925% 6199201,7-212144119% 7220222,163 396936% 8218242,5-7777592979% 997 0,7145243935% Mientras que en el modelo logarítmico, se establece que un 89% de la variabilidad de y t se explica por la variable ln(t), ahora, ¿Esto es fácil de aplicar en la realidad? Por supuesto que no, el tiempo no se transforma. Modelo lineal : ŷ t = 108,8 + 16,595 t. R 2 = 68,08% Modelo logarítmico : ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t). R 2 = 88.94%

29 Técnica: Regresión Lineal con Tiempo tytyt ŷtŷt etet |e t |et2et2 |e t |/y t 17599,8 2158120,135 122528% 3173140,5-242457623% 4210160,962 384438% 5215181,3-3333108925% 6199201,7-212144119% 7220222,163 396936% 8218242,5-7777592979% 997 0,7145243935% Esta sencilla explicación demuestra porqué se debe enfatizar en el pronóstico mediante series temporales convencionales: el ajuste de Sipper, el Modelo de Holt ó el Suavizado exponencial con Tendencia entre otros. Modelo lineal : ŷ t = 108,8 + 16,595 t. R 2 = 68,08% Modelo logarítmico : ŷt = 95,94 + 66,52 ln(t). R 2 = 88.94%


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