Control Estadístico de Calidad

Control Estadístico de Calidad
Carlos Viesca González Agosto – diciembre de 2004 Carlos Viesca González

Conceptos básicos y variabilidad.
CAPÍTULO 1 Conceptos básicos y variabilidad. Carlos Viesca González

Carlos Viesca González
CALIDAD (ISO 9000:2000) Grado en el que un conjunto de características (rasgos diferenciadores) inherentes (existen en algo, especialmente como características permanentes) cumple con los requisitos (necesidad o expectativa establecida, generalmente implícita u obligatoria). Carlos Viesca González

Dimensiones de la calidad (Garvin, 1987)
La calidad de un producto se puede evaluar de varias formas: Desempeño. ¿Desempeñará el producto la función para la cual fue creado? Confiabilidad. ¿Con qué frecuencia falla el producto? Durabilidad. ¿Cuánto dura el producto? Disponibilidad del servicio. ¿Qué tan fácil es reparar un producto? Carlos Viesca González

Dimensiones de la calidad (Garvin 1987)
Estética. ¿Cómo se ve el producto? Características distintivas. ¿Qué más hace el producto? Calidad percibida. ¿Cuál es la reputación de la compañía o de sus productos? Conformancia o cumplimiento con los estándares. ¿Está hecho el producto conforme el diseñador lo pretendía? Carlos Viesca González

Calidad significa adecuación para el uso.
Calidad de diseño. Un producto o servicio se produce con un grado o nivel de calidad, el cual es intencional. Carlos Viesca González

Adecuación para el uso Calidad de conformancia. Qué tan bien cumple un producto o servicio con las especificaciones de diseño. Se ve afectada por: el proceso de manufactura, el entrenamiento y la supervisión, el sistema de calidad, el grado al cual se aplican los procedimientos del sistema de calidad y la motivación de la fuerza de trabajo, entre otros factores. Carlos Viesca González

Algunas definiciones de calidad
Adecuación para el uso o para la función. El grado al cual un producto específico satisface los deseos de un cliente en particular. Proveer productos y servicios que cumplan con las expectativas de los clientes a lo largo de la vida del producto o servicio a un costo que represente valor para el cliente. Carlos Viesca González

El grado al cual un producto es conforme a las especificaciones del diseño. Las características o atributos que distinguen a un artículo de otro. Conformancia con los requerimientos de ingeniería aplicables, de acuerdo con las especificaciones, dibujos y demás documentos de ingeniería relacionados. Carlos Viesca González

Las definiciones anteriores no han sido muy útiles por alguno o varios de los siguientes aspectos: Están basados en atributos y son de naturaleza cualitativa. Están basados en manufactura y no en diseño (se ve la calidad hasta el final del proceso de manufactura) Carlos Viesca González

No establecen claramente la relación apropiada entre deseos, necesidades, expectativas del cliente y la función del producto. Un producto se puede vender por un atributo pero perderá mercado por su función, por su calidad. Carlos Viesca González

Función de pérdida de Taguchi.
La pérdida impartida a la sociedad durante el uso de un producto es un resultado de la variación funcional y de los efectos dañinos derivados del uso del mismo (efectos colaterales que no están relacionados con la función del producto). Carlos Viesca González

Función de pérdida de Taguchi.
Ejemplo de las agendas: Pérdidas ($) Longitud del corte del forro por agenda 21.7 22.3 Pérdidas menores mayores Para este ejemplo: Valor nominal u objetivo= 22 cm Especificaciones o tolerancias= 22 ± .3 cm Límite inferior de especificación (LIE) = 21.7 cm Límite superior de especificación (LSE) = 22.3 cm Carlos Viesca González

Actualmente función de pérdida
Pérdida de calidad Características de calidad Valor nominal Se comporta de forma exponencial en las pérdidas Carlos Viesca González

Actualmente función de pérdida
En algunos estudios empíricos se ha encontrado: Pérdidas ($) Valor nominal Pérdida de calidad Característica de calidad Tendencia Actualmente la tendencia de control de calidad es la reducción de variabilidad Carlos Viesca González

Variabilidad (Devor, 1992) No existen dos productos exactamente iguales. La falla de un producto para alcanzar la función que se pretende, según el cliente, puede surgir de alguna o de las dos siguientes fuentes: Falla para lograr el desempeño nominal requerido por el diseño. Variación excesiva alrededor del nivel de desempeño nominal pretendido. Carlos Viesca González

Variabilidad Las fuentes de variación son fuentes de desperdicio e ineficiencias y por cada fuente de variación identificada y removida se experimentarán incrementos en calidad y productividad. La variabilidad se puede describir en términos estadísticos y aquí es dónde encaja el uso de métodos estadísticos en el mejoramiento de la calidad. Carlos Viesca González

Mejoramiento de la calidad (Montgomery, 1997)
Reducción de la variabilidad en procesos y productos. Excesiva variabilidad en el desempeño de un proceso se traduce frecuentemente en desperdicio. ¿Y en servicios? Reducción de desperdicio. Carlos Viesca González

Ingeniería de Calidad Conjunto de actividades operacionales, gerenciales e ingenieriles que emplean las compañías para asegurar que las características de calidad de un producto están en el valor nominal o en los niveles requeridos. (Montgomery, 1997.) Carlos Viesca González

Administración para la Calidad Total
La administración para la calidad total aporta a estos conceptos una estrategia de gestión global a largo plazo, así como la participación de todos los miembros de la organización para el beneficio de la organización misma, de sus miembros, de sus clientes y de la sociedad considerada en su conjunto, ISO 8402. Carlos Viesca González

ACT, CTC, CWQC o TQM Es una forma de administrar una organización centrada en la calidad basada en la participación de todos sus miembros, y orientada al éxito a largo plazo a través de la satisfacción del cliente y en beneficio de todos los miembros de la organización y la sociedad, ISO 8402. Carlos Viesca González

Administración de la Calidad
Conjunto de actividades de la función general de administración que determina la política de calidad, los objetivos, las responsabilidades, y la implantación de éstos por medios tales como planeación de la calidad, el control de calidad, aseguramiento de la calidad y el mejoramiento de la calidad, dentro del marco del sistema de calidad. Carlos Viesca González

Sistema de Calidad Es la estructura organizacional, los procedimientos, los procesos y los recursos necesarios para implantar la administración de la calidad, ISO 8402. Carlos Viesca González

Control de Calidad Técnicas y actividades de carácter operacional, utilizadas para cumplir los requisitos para la calidad. Concierne a los medios operacionales utilizados para satisfacer los requisitos de calidad; con estas técnicas y actividades se supervisa un proceso y se eliminan las causas de funcionamiento no satisfactorio en todas las fases del ciclo de calidad a fin de alcanzar la efectividad económica, ISO 8402. Carlos Viesca González

Aseguramiento de la Calidad
Conjunto de actividades planeadas y sistemáticas implantadas dentro del sistema de calidad, y demostradas según se requiera para proporcionar confianza adecuada de que un elemento cumplirá los requisitos para la calidad. Tiene por meta proporcionar confianza de este cumplimiento tanto dentro de la organización como externamente a clientes y autoridades, ISO 8402. Carlos Viesca González

Control estadístico de la Calidad (Besterfield, 1995)
Consiste en el acopio, análisis e interpretación de datos para su uso en el control de calidad. Dos elementos importantes del CEC son el Control Estadístico de Procesos (CEP) y el Muestreo de Aceptación. Carlos Viesca González

CAPÍTULO 2 Gráficas de Control Carlos Viesca González

Gráficas de control Característica de calidad tiempo Límite superior de control (LSC) Límite inferior de control (LIC) Línea central (LC) Dónde el tiempo representa la muestra o subgrupo Carlos Viesca González

Gráficas de control Las gráficas de control nos muestran cómo se compara una característica a través del tiempo. Si todos los puntos están dentro de los límites y no siguen un patrón específico, se dice que el proceso está bajo control o bajo control estadístico. Los límites de control dependen del comportamiento de los datos. Carlos Viesca González

Gráficas de control Concepto de control estadístico de Shewhart: Se dice que un fenómeno está controlado cuando, a través del uso de la experiencia pasada, se puede predecir al menos dentro de ciertos límites como se espera que varie el fenómeno en el futuro. Si un proceso no está en estado controlado, la productividad o el éxito económico no se garantiza. Carlos Viesca González

Gráficas de control Límites de especificación: dependen del diseño o del cliente. Límites de control: los determina el proceso. Carlos Viesca González

Zonas de una gráfica de control
Zona A= media + 3= 99% de los datos Zona B= media + 2= 95% de los datos Zona C= media +  = 68% de los datos Carlos Viesca González

Gráficas de control Ocho pruebas para verificar que una gráfica está bajo control estadístico: Prueba # 1: un dato fuera del límite de control Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Carlos Viesca González

Gráficas de control Prueba # 2: Ocho puntos en forma consecutiva por arriba o por debajo del promedio Prueba # 3: Cinco puntos consecutivos en forma ascendente o descendente Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Carlos Viesca González

Gráficas de control Prueba # 4: Catorce puntos alternándose en forma consecutiva arriba y abajo. Prueba # 5: Dos o tres puntos en la zona A o más allá Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Carlos Viesca González

Gráficas de control Prueba # 6: Cuatro de cinco puntos consecutivos en la zona B o más allá Prueba # 7: Quince puntos consecutivos en la zona C Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Carlos Viesca González

Gráficas de control Prueba # 8: Ocho puntos consecutivos que no caigan en la zona C Característica de calidad tiempo LSC LIC LC A B C Carlos Viesca González

Gráficas de control Cuando una gráfica no está en control estadístico, se puede deber a: Causas comunes de variación: fuentes de variación dentro de un proceso que tienen una distribución estable y repetible en el tiempo. Causas especiales de variación: factores que causan variación y que no están actuando siempre sobre el proceso. Carlos Viesca González

Estadística de las gráficas de control
Prueba de hipótesis: Ho: El proceso está bajo control vs Ha: El proceso no está bajo control Error tipo I: Rechazar Ho cuando Ho es verdadero. Se concluye que “el proceso no está bajo control, cuando realmente si lo está”. P(Error tipo I)=  Carlos Viesca González

Error tipo II: Aceptar Ho cuando Ho es falsa. Se concluye que “el proceso está bajo control, cuando realmente no lo está”. P(Error tipo II)=  Para fines de cálculo de  y , suponga que el proceso no está bajo control si hay un cambio en la media del mismo. Carlos Viesca González

Fórmulas: Carlos Viesca González

LSC LIC La media cambia El error tipo II se obtiene con la nueva media Carlos Viesca González

Curva característica de operación
Es una medida de de la bondad de una gráfica de control para detectar cambios en los parámetros de los procesos (, ). P(no detectar cambios)= Cambios en la media del proceso Carlos Viesca González

ARL (Average run length)
Denota el número de muestras que en promedio se requieren para detectar una señal fuera de control. Si el proceso está bajo control: Entre más grande sea el ARL es mejor, ya que no se tienen muchas falsas alarmas. Carlos Viesca González

ARL (Average run length)
Si el proceso no está bajo control: Entre más pequeño sea el ARL necesito menos muestras para calcular el error tipo II Carlos Viesca González

Efectos de los límites de control sobre  y 
si los límites de control son más anchos:  se reduce  se incrementa si los límites de control son más angostos:  se incrementa  se reduce si se toman muestras más grandes: Carlos Viesca González

Tasa global de error tipo II
Donde: K= # de reglas independientes usadas como criterios para situaciones fuera de control. i= P(error tipoI) con la regla Carlos Viesca González

Tipos de gráficas de control
Para valores continuos: Gráfica de medias y desviación estándar. Gráfica de medias y rangos. Gráfica de observaciones individuales y rangos móviles. Carlos Viesca González

Tipos de gráficas de control
Para valores discretos (atributos): Gráfica de proporción de artículos defectuosos (p) Gráfica de número de artículos defectuosos (np) Gráfica de número de defectos o disconformidades (C) Gráfica de número de defectos por unidad (U) Carlos Viesca González

Beneficios de las gráficas de control
Son herramientas efectivas para entender la variación del procesoy ayudan a lograr el control estadístico. Si un proceso está en control estadístico su desempeño es predecible y tanto el fabricante como el cliente pueden confiar en niveles consistentes de calidad y en costos estables para lograr la calidad. Un proceso bajo control estadístico se puede mejorar a través de la reducción de variación y el centrado en un valor objetivo; esto reduce costos y mejora la productividad. Carlos Viesca González

Beneficios de las gráficas de control
Las gráficas de control proporcionan un lenguaje común para comunicar información sobre el desempeño de un proceso entre muy diversas personas dentro y fuera de la empresa. Las gráficas de control indican dónde está o quien tiene la posible solución de un problema, con lo cual se minimiza la confusión, frustración y el costo de los esfuerzos mal dirigidos para la solución de un problema. Carlos Viesca González

Gráficas para variables
CAPÍTULO 2.1 Gráficas para variables Carlos Viesca González

Gráfica de medias y rangos
Carlos Viesca González

Gráficas de medias y rangos
El procedimiento es el mismo que en las gráficas de medias y desviación estándar. La forma de obtener los límites de control y la línea central es la siguiente: Carlos Viesca González

Gráfica de rangos: Carlos Viesca González

Gráfica de medias: antes de calcular los límites es necesario que esté bajo control la gráfica de rangos. Carlos Viesca González

= se puede obtener a partir de los datos recopilados, pero generalmente se obtiene de la información proporcionada por la gráfica de un proceso bajo control. Carlos Viesca González

Interpretación de gráfica de rangos
Esta gráfica se debe analizar primero, ya que el comportamiento de los promedios y de los rangos de los subgrupos depende de la variabilidad estimada de las piezas. Se deben verificar las ocho pruebas Verificar que no haya tendencias Carlos Viesca González

Interpretación de gráfica de medias
Si la gráfica de rangos está bajo control, la dispersión del proceso está estable y por lo tanto se puede analizar la gráfica de los promedios; los límites de control de esta gráfica se basan en la cantidad de variación de los rangos. Con la gráfica de medias se determina si el centro del proceso está cambiando con el tiempo y si ese es el caso, entonces existen causas especiales de variación que están ocasionando esos problemas. Carlos Viesca González

Gráfica de medias y desviación estándar

Procedimiento para elaborar una gráfica x - S
Defina cuál será la característica de la calidad: Otorgar la máxima prioridad a aquellas variables o características medibles y expresables mediante números y que causen problemas en producción o costos. Escoja el subgrupo racional: Los elementos que conformen cada subgrupo deberán de haberse producido básicamente dentro de las mismas condiciones. Carlos Viesca González

Recolectar los datos: Recoger información de 25 subgrupos con más de 10 datos en cada subgrupo. Regístrelos en una hoja de datos. Calcular los promedios para cada subgrupo Calcular : dividiendo el total de los promedios de cada subgrupo por el número de subgrupos. Carlos Viesca González

Calcular S: Calcular la desviación estándar de cada subgrupo. Calcular : dividiendo el total de las S de cada subgrupo por el número de subgrupos. Carlos Viesca González

Calcular las líneas de control: Calcular cada una de las líneas de control para la gráfica y la gráfica S con las siguientes fórmulas: Carlos Viesca González

Gráfica S: Línea central: Límite superior de control: Límite inferior de control: Nota importante: En estas gráficas de control la desviación estándar se estima con la expresión Carlos Viesca González

Línea central: Límite superior de control: Límite inferior de control: Carlos Viesca González

Dibujar las líneas de control: Preparar una hoja de papel cuadriculado; dividirla en dos partes iguales para las dos gráficas, colocando en la parte inferior la de desviaciones estándar y en la parte superior la de medias; marcar cada eje vertical de la izquierda con los valores de las media y de las desviaciones estándar, según sea el caso, y el eje horizontal con los números de los subgrupos. Dibuje una línea sólida para la línea central y una línea punteada para los límites. Carlos Viesca González

Localizar los puntos: Registrar los valores de la media y de la desviación estándar de cada subgrupo, por partes, según el número del subgrupo. Registrar los datos que puedan ser de utilidad: Escriba el tamaño del subgrupo (n) en el extremo superior izquierdo de la gráfica de medias. Carlos Viesca González

Interpretación de gráfica S
Primero se debe analizar esta gráfica, ya que si no está bajo control estadístico los límites de la gráfica de medias no tendrán sentido. En caso de que no este bajo control estadístico, se deberán encontrar las causas especiales de variación y eliminar los puntos fuera de control y recalcular los límites. Carlos Viesca González

Interpretación de gráfica de medias
Después de haber revisado la gráfica S, es cuando se interpreta la de medias. Nunca se deben relacionar los puntos en una gráfica de medias con los límites de especificación, ya que los puntos en la gráfica son promedios y las especificaciones corresponden a valores individuales, presentando una variabilidad mayor que los subgrupos. Carlos Viesca González

Para ambas gráficas Se deben verificar las ocho pruebas Verificar que no se presente ningún patrón. Datos normales. Carlos Viesca González

Límites de tolerancia natural
Estos límites se basan en observaciones individuales. Carlos Viesca González

Capacidad del proceso Cp Cpk Carlos Viesca González

Índices de capacidad del proceso
Los índices de capacidad del proceso intentan en un solo número si un proceso puede cumplir consistentemente con los requerimientos impuestos sobre un proceso por clientes internos o externos. Estos índices no tienen unidades, lo cual permite comparar dos procesos completamente diferentes. Carlos Viesca González

La limitante principal de estos índices es que no tienen significado si los datos analizados provienen de un proceso fuera de control y la razón es que la capacidad del proceso es una predicción y solo se puede predecir algo que es estable. Carlos Viesca González

Para estimar la capacidad de un proceso, es necesario que se cumplan dos condiciones: Proceso bajo control estadístico Que los datos se distribuyan normalmente Carlos Viesca González

Generalmente se usan dos índices para evaluar la capacidad del proceso para producir dentro de especificaciones: Cp: índice de capacidad potencial del proceso. No toma en cuenta la media observada del proceso. Cpk: índice de capacidad o habilidad real del proceso. Si toma en cuenta la media observada en el proceso. Carlos Viesca González

Antes de ver como calcular el Cp y el Cpk, es necesario revisar algunos conceptos. Carlos Viesca González

Dónde: LSTN = límite superior de tolerancia natural LITN = límite inferior de tolerancia natural LSE = límite superior de especificación LIE = límite inferior de especificación Carlos Viesca González

6 se puede considerar como la dispersión real del proceso. Puesto que ambos límites se disponen a una distancia de la media  3 respectivamente, entonces la proporción de observaciones entre ambos límites es del 99.73% Carlos Viesca González

La diferencia LSE – LIE se puede considerar que es la dispersión permitida del proceso. Si no se conoce la , la x doble barra es la media estimada del proceso, la cual se obtiene como la línea central de un gráfica de medias. Carlos Viesca González

La  es la desviación estándar del proceso, la cual si no se conoce, se estima de la gráfica de control de la variabilidad del proceso. Carlos Viesca González

Límites de especificación o tolerancias
Son característicos de una parte o artículo determinado. Están basados en consideraciones funcionales. Están relacionados con una medición de una sola parte. Carlos Viesca González

Límites de control de una gráfica de control
Son característicos de un proceso determinado. Están basados en la media y en la variabilidad de un proceso. Dependen de los parámetros de muestreo, como tamaño de muestra y el riesgo alfa. Se usan para identificar la presencia o ausencia de causas especiales de variación en el proceso. Carlos Viesca González

Cálculo del Cp Carlos Viesca González

Interpretación del Cp Antes de hacer algo sobre ese punto, cerciorese de que el proceso esté bajo control estadístico, si es así, entonces: Cp > 1; el proceso es potencialmente capaz de producir dentro de los límites de especificación y genera un porcentaje de defectuosos menor del .27% Carlos Viesca González

Interpretación del Cp Cp = 1; el proceso es apenas capaz, la proporción de defectuosos es .27%. Los límites de especificación son iguales a los límites de tolerancia natural. Cp < 1; el proceso no es potencialmente capaz, la proporción de defectuosos es mayor a 27 en 10, 000. Carlos Viesca González

Nivel de habilidad de un proceso
% producto fuera de especificaciones  3 2700 ppm  4 64 ppm  5 6 partes en 10 millones  6 Menos de 1 parte en 10 millones * Considerando un proceso centrado y media fija Carlos Viesca González

Cálculo del Cpk Es un índice o medida del desempeño real del proceso que toma en cuenta la media del mismo. Un proceso con su media centrada puede tener un Cp de 2, mientras que otro proceso con su media cercana al LSE también puede tener un Cp de 2, siempre que su disposición sea la misma. Si se compara el desempeño de ambos proceso con base en el Cpk, los resultados serían muy diferentes. Carlos Viesca González

Cálculo del Cpk Carlos Viesca González

Interpretación del Cpk
Cpk > 1.33; el proceso es capaz y es comúnmente usado como una meta para muchas compañías. 1 < Cpk < 1.33; el proceso es marginalmente capaz. Cpk < 1; el proceso no es capaz Carlos Viesca González

Gráfica de observaciones individuales y rangos móviles

Se usa para procesos lentos que conducen a bajas tasas de producción o cuando es muy costoso tomar muestras grandes o bien, en procesos automatizados. Carlos Viesca González

Gráfica de rangos móviles: está gráfica no tiene interpretación, debido a la forma en que se obtienen los rangos. Carlos Viesca González

Gráficas de observaciones individuales y rangos móviles
Gráfica de observaciones individuales: para ser interpretada necesita estar bajo control. Carlos Viesca González

Gráficas para atributos: p, np C, U
CAPÍTULO 2.2 Gráficas para atributos: p, np C, U Carlos Viesca González

Gráficas para atributos
Algunas características de calidad recolectadas como datos de atributos sólo toman dos valores: Conforme, no conforme Pasa, no pasa Presencia, ausencia de algo Carlos Viesca González

Gráficas para atributos
Tales disconformidades o defectos se observan frecuentemente de manera visual y ocasionan que un producto o una parte de un producto sea considerado como defectuoso. En estos casos, la calidad se evalúa por atributos. Carlos Viesca González

Importancia Se pueden aplicar tanto en procesos técnicos como administrativos. En muchas ocasiones se dipone de datos que son de atributos y no se requiere incurrir en gastos adicionales. Si no existe información disponible, se recolecta rápidamente y a un bajo costo. Carlos Viesca González

Importancia Muchos reportes, resúmenes que maneja la administración son atributos y se pueden aprovechar más si se analizan como gráficas de control. El uso de las gráficas de control de atributos en medidas de calidad globales claves, frecuentemente puede indicar a áreas específicas del proceso que pueden requerir un análisis más detallado. Carlos Viesca González

Definiciones importantes
Defecto: falla o no conformidad que ocasiona que un artículo no satisfaga los requerimientos especificados. Artículo defectuoso: artículo que tiene uno o más defectos. Fracción defectuosa: es la razón del número de artículos defectuoso en la muestra (d), respecto al total de los artículos de la muestra (n) Carlos Viesca González

Gráfica para la proporción de piezas defectuosas

La gráfica p, miden la proporción de piezas disconformes en un grupo de artículos que se inspeccionan. Esto puede aplicar a una muestra de 100 piezas. Las muestras pueden constantes o variables. Carlos Viesca González

Para muestras constantes: Carlos Viesca González

Para muestras variables: Carlos Viesca González

Interpretación Para interpretar la gráfica p, se hace de la misma manera que las otras gráficas, se debe: Verificar que los puntos no excedan los límites de control. Los puntos se deben distribuir aleatoriamente dentro de los límites de control. No deben mostrar tendencias Los puntos debe apareceren orden aleatorio en el tiempo. Carlos Viesca González

Gráfica para el número de piezas defectuosas
Gráfica np Carlos Viesca González

En algunas ocasiones es conveniente hacer una gráfica de control, en la que se grafique el número de defectuosos en la muestra en lugar de la proporción de defectuosos. Para hacer esto se requiere que el tamaño de la muestra sea constante. En esencia proporciona la misma información que una gráfica p. Carlos Viesca González

Para muchas personas este tipo de gráficas es más fácil de interpretar que la p. La desventaja que presenta la gráfica np es que no es fácil manejar e interpretar el número de dectuosos si se desconoce el tamaño de la muestra. Tanto la gráfica p y np, tienen fundamento en la distribución binomial, la interpretación es la misma que la gráfica p. Carlos Viesca González

Gráfica para proporciones y piezas defectuosas
Cuando se tienen diferentes tamaños de muestras se debe usar una gráfica de proporciones adecuada al caso. Carlos Viesca González

Gráfica de número de defectos en la muestra
Gráfica C Carlos Viesca González

Es posible desarrollar gráficas de control ya sea para el número total de no conformidades en una unidad o el número promedio de no conformidades por unidad. Estas gráficas de control usualmente asumen que la ocurrencia de una no conformidad en una muestra es bien modelada por una distribución Poisson. Carlos Viesca González

Para poder realizar esta gráfica se requiere que el tamaño de la muestra sea constante. Carlos Viesca González

Gráfica de número de defectos por unidad
Gráfica U Carlos Viesca González

Esta gráfica se basa en el número promedio de no conformidades por unidad inspeccionada. Si encontramos x cantidad de no conformidades en la muestra de n unidades inspeccionadas, entonces podemos obtener el número promedio de no conformidades por unidad inspeccionada de la siguiente manera: Carlos Viesca González

Se utiliza para unidades de longitud, área, volumen, etc. n puede ser constante o variable. Con n variable: n promedio Límites para cada n Límites para ciertas n Límites estandarizados Carlos Viesca González

CAPÍTULO 2.3 Gráficas CUSUM y EWMA Carlos Viesca González

Gráfica CUSUM La gráfica CUSUM, se usa para detectar pequeños cambios en la media del proceso. Carlos Viesca González

Gráfica CUSUM Carlos Viesca González

Construcción de una gráfica CUSUM
Proceso tabular: Se basa en los cálculos de los CUSUM unilaterales, superior e inferior: Carlos Viesca González

El procedimiento se inicia haciendo: K es un valor de referencia o de holgura y frecuentemente se determina como: Carlos Viesca González

El proceso está fuera de control si C+ o C- exceden el valor de H, un valor razonable para H es .5. Para esta gráfica no se realizan las 8 pruebas, ya que los datos dependen unos de otros. Carlos Viesca González

Cuando el ajuste que se debe hacer en el proceso tiene por objetivo hacer que la media regrese al valor objetivo puede ser útil estimar la media actual del proceso. Carlos Viesca González

Gráfica EWMA La gráfica EWMA, constituye una buena alternativa a las gráficas de control de Shewart para el caso en que interesa detectar pequeños cambios en la media del proceso. Se usa típicamente para muestras de tamaño 1, aun cuando se puede usar con tamaños de muestra mayores. Carlos Viesca González

Gráfica EWMA La gráfica EWMA para la media del proceso: Un promedio móvil exponencialmente ponderado se define de la siguiente forma: donde: 0<  1 es una constante El valor de inicio (que se requiere con la primera muestra cuando i = 1) es el objetivo del proceso, con lo cual z0 = 0 En ocasiones z0 = promedio de los datos preliminares Carlos Viesca González

Gráfica EWMA Los límites de control para una gráfica EWMA están dados por las siguientes expresiones: Carlos Viesca González

Gráfica EWMA Dónde: L es la anchura de los límites de control, el múltiplo de sigma. Es común tomar L = 3, proporciona buenos resultados sobre todo cuando lambda es grande. En general, cuanto más pequeños sean los cambios que se desea detectar, más pequeños serán los valores de lambda. Carlos Viesca González

Gráfica EWMA La gráfica se elabora colocando en el eje horizontal el número de la muestra i (tiempo) y en el eje vertical el valor de la z que le corresponde. Carlos Viesca González

Muestreo para aceptación de lotes
CAPÍTULO 3 Muestreo para aceptación de lotes Carlos Viesca González

Objetivos: Comprender y aplicar los conceptos básicos del muestreo de aceptación. Identificar y diferenciar los sistemas de muestreo de aceptación para atributos, particularmente el MIL - STD - 105E. Comprender el funcionamiento de un sistema de muestreo de aceptación para variables. Carlos Viesca González

Introducción: El muestreo para aceptación es un campo importante del control estadístico de la calidad, es otra herramienta para evaluar la calidad de un producto. Los fundamentos de muestreo para aceptación se desarrollaron en 1925 a 1927 en los Laboratorios Bell; después sólo se aplica esporádicamente y no es sino hasta la Segunda Guerra Mundial cuando se incorpora en los estándares militares de calidad. A partir de ese momento se difunde el uso masivo del muestreo de aceptación, el cual se aplica hasta la fecha. Carlos Viesca González

Conceptos generales: Aspectos importantes en el muestreo: El propósito del muestreo de aceptación es juzgar lotes, no estimar su calidad. Los planes de muestreo para aceptación no proporcionan alguna forma directa de control de calidad, sólo admite o descarta lotes. El uso más eficiente del muestreo para aceptación no es “inyectar calidad al producto mediante la inspección”, sino más bien como una herramienta de verificación para asegurar que la producción o salida de un proceso está conforme a los requisitos. Carlos Viesca González

Enfoques para juzgar un lote: Aceptarlo sin inspección: Útil en casos en que el proceso del proveedor es tan adecuado (relación de capacidad de proceso de 3 ó 4) que casi nunca genera artículos defectuosos, o en los que no existe una justificación económica para juzgar artículos defectuosos. Carlos Viesca González

Efectuar una inspección al 100%: esto es inspeccionar cada artículo en el lote, quitar todas las unidades defectuosas encontradas (se pueden devolver al proveedor, retrabajarlas, cambiarlas por artículos conformes o rechazarlas). Se usa cuando el componente es muy crítico y dejar pasar un artículo defectuoso daría como resultado un costo inaceptablemente alto de una falla en etapas sucesivas, o cuando la capacidad del proceso del abastecedor es inadecuada para satisfacer las especificaciones. Carlos Viesca González

Utilizar el muestreo para aceptación: Es muy probablemente útil cuando: La prueba es destructiva Es muy alto el costo de una inspección al 100% una inspección al 1005 no es tecnológicamente factible, o cuando se necesitaría tanto tiempo que la planeación de la producción se vería seriamente afectada. Carlos Viesca González

Hay que inspeccionar muchos artículos y la tasa de errores de inspección es lo suficientemente alta como para que una inspección al 100% pudiera dejar pasar un mayor porcentaje de artículos defectuosos que un plan de muestreo. El proveedor tiene un excelente historial de calidad, y se desea alguna reducción en la inspección al 100%, pero la relación de capacidad de su proceso es lo suficientemente baja como para que la no inspección no sea una buena alternativa. Existen riesgos potencialmente serios respecto a la posibilidad legal por el producto, y aunque es satisfactorio el proceso del abastecedor, se requiere aplicar un proceso de vigilancia continua. Carlos Viesca González

Ventajas del muestreo por aceptación: Es menos costoso, pues requiere menor inspección. Menor daño del producto, al haber menor manejo del mismo. Menos inspectores y por lo tanto menos capacitación. Reducción de los errores de inspección. Puede aplicarse en el caso de pruebas destructivas. El rechazo de lotes completos, en lugar de la simple devolución de los artículos defectuosos, constituye una motivación más fuerte para que el proveedor mejore la calidad de sus productos. Carlos Viesca González

Desventajas del muestreo para aceptación: Existe el riesgo de aceptar lotes “malos” y rechazar lotes “buenos”. Hay que agregar planeación y documentación. Generalmente la muestra proporciona menor información acerca del producto Carlos Viesca González

¿Porqué es válido el muestreo? Una pieza da rápida información sobre la calidad de las piezas de un lote. Pero además, de la muestra se pueden obtener conclusiones acerca de lo bien o mal que se desarrolló un proceso en el momento de extraer una muestra (aplicación en gráficas de control). Así, el proceso puede hablar del producto. El muestreo de aceptación también es válido para las piezas no inspeccionadas obtenidas del mismo proceso que las inspeccionadas. Carlos Viesca González

Razones para usar muestreo de aceptación: No se puede asumir que el proceso sea estable, ni es siempre posible que a la larga lo sea. En operaciones que se realizan bajo trabajo intensivo, las causas asignables no siempre se pueden conocer. Aún cuando se puedan conocer las causas asignables, existen procesos que no se pueden parar y ajustar de inmediato. Es común una gran variación entre operadores y el manejo de las gráficas de control para cada operador no es tan sencillo. Carlos Viesca González

Formación de lotes: El muestreo por aceptación puede desarrollarse en una base de lote por lote o en un flujo continuo de productos, aunque los planes de muestreo más comúnmente usados se basan en muestreo por lotes. Entre los diferentes tipos de lotes que se pueden formar (de manufactura, de embarque, etc.), los lotes de inspección son los que se utilizan en muestreo de aceptación. Carlos Viesca González

Frecuentemente los lotes de inspección se constituyen por la forma en que el producto se maneja o se embarca; en otras ocasiones se puede influir en el tamaño y en la forma en que se constituyen estos lotes, en cuyo caso se deben aplicar los siguientes dos principios: Es deseable que haya homogeneidad dentro del lote. Si los lotes son homogéneos, son mejores lotes grandes que pequeños. Carlos Viesca González

Si se tienen lotes grandes, los tamaños de muestra también serán grandes y se obtendrá una determinación más confiable de la aceptabilidad del lote, siempre que el lote en cuestión sea homogéneo. Carlos Viesca González

Muestreo aleatorio: Las tablas de muestreo publicadas suponen que las muestras se obtienen al azar, esto es, que cada una de las unidades de producto no inspeccionadas tienen la misma probabilidad de ser la siguiente seleccionada para la muestra. Para realizar un muestreo aleatorio, se requiere numerar las piezas de un lote y seleccionar números aleatorios que indiquen cuáles unidades serán seleccionadas. Carlos Viesca González

Selección de números aleatorios: Usando una tabla de números aleatorios A través de una calculadora que incluye esta opción Un recipiente de bolas o papeles numerados El método de selección influye en los resultados del muestreo, buscándose obtener una “muestra representativa” de un lote. Carlos Viesca González

Sesgo del muestreo: Tomar una muestra de la misma localización dentro de cajas, estantes, etc. Echar un vistazo al producto y seleccionar sólo aquellas piezas defectuosas o no defectuosas. Ignorar las partes del lote difíciles de muestrear. Carlos Viesca González

Clasificación de los planes de muestreo: Planes por atributos: Un lote se acepta o se rechaza según el número de defectuosos que se presentan en el mismo. Planes por variables: Un lote se acepta o se rechaza según el valor de la media (por ejemplo) de la característica de calidad en la muestra; la media se compara con un valor admitido que define el plan. Carlos Viesca González

Planes de muestreo de aceptación por atributos
Errores de inspección: En la implantación de un muestreo de aceptación se supone que el inspector sigue el plan de muestreo que debe aplicar y que la inspección se hace sin errores. Carlos Viesca González

Terminología: Defecto: Alejamiento de una característica de la calidad del nivel o estado deseado que se presenta con gravedad suficiente para dar un producto que no satisface los requisitos de utilización normales o razonablemente previstos. Disconformidad: Alejamiento de una característica de la calidad del nivel deseado, que se presenta con gravedad suficiente para dar un producto o servicio que no cumple con los requisitos de la especificación. Carlos Viesca González

Clasificación de los defectos según su gravedad: El muestreo sea distinto para cada clase de defecto (tamaños de muestra). Sea común el plan de muestreo. pero que el número de defectos permitidos sea diferente para cada clase, según su gravedad. Carlos Viesca González

Tipos de planes de muestreo de aceptación por atributos: Planes de muestreo simple Planes de muestreo doble: Carlos Viesca González

Curva Característica de Operación (Curva CO): Gráfica en la que se muestra la probabilidad de que el plan de muestreo acepte el lote en función de la fracción defectuosa de un lote, con base en la cual se observa cómo reaccionará el plan a cualquier nivel de disconformes en el lote. Con la curva CO para un plan de muestreo (determinado por el valor de n y de c) se puede evaluar si este proporciona un buen grado de control sobre la calidad del lote; de no ser así entonces se busca otro plan que corresponda con las necesidades del usuario. Carlos Viesca González

Probabilidad de aceptar un lote: Para calcular la probabilidad de aceptar un lote (Pa), primero se debe definir qué tipo de plan de muestreo se aplicará. Así tenemos planes de muestreo tipo A (planes que seleccionan piezas de lotes simples de tamaño N y que se basan en el modelo Hipergeométrico) y planes tipo B (planes para seleccionar piezas de una serie de lotes, se extraen muestras aleatorias de tamaño n de una población infinita, y que están fundamentados en el modelo probabilístico Binomial). Carlos Viesca González

Riesgos y parámetros de muestreo: Riesgo del vendedor o del productor se conoce como riesgo alfa y es la probabilidad de que un “buen” lote (de lata calidad) sea rechazado por el plan de muestreo. Se fija en 0.01, 0.05 ó 0.10. Riesgo del comprador (empresa o quién usará un producto). También llamado riesgo beta. Es la probabilidad de que un lote “malo” o de baja calidad sea aceptado por el plan de muestreo. Carlos Viesca González

Planes, esquemas y sistemas de muestreo: Plan de muestreo: Plan específico que establece el tamaño o tamaños de muestra a utilizar y el correspondiente criterio de aceptación o no aceptación. Esquema de muestreo: Conjunto específico de procedimientos que, habitualmente, consisten en planes de muestreo para aceptación en los que se establecen los tamaños de los lotes, los tamaños de las muestras y los criterios de aceptación, o el alcance de la inspección y muestreo al 100%. Carlos Viesca González

Sistema de muestreo: Con el uso de un sistema de muestreo se evita el trabajo de calcular la curva CO para diferentes valores de n y c y seleccionar el que cumpla con los riesgos del comprador y del vendedor preestablecidos. Los sistemas de muestreo incluyen las curvas CO, con base en las cuales se selecciona el plan de muestreo que proporcione el nivel de protección que el usuario desea. Carlos Viesca González

Medidas de desempeño: Nivel de Calidad Aceptable (NCA o AQL). El porcentaje de Defectuosos Tolerados en el Lote (PDTL o LTPD). El límite de Calidad Media de Salida (LCMS o AOQL), y La inspección Total Promedio (ITP o ATI). Carlos Viesca González

El Nivel de Calidad Aceptable: El AQL es el nivel de calidad o porcentaje de defectuosos que, para los fines de inspección, es el límite de una medida satisfactoria del proceso. El promedio del proceso es el porcentaje promedio de defectuosos o número promedio de defectuosos por 100 unidades de producto enviado por el proveedor para la inspección original. Carlos Viesca González

La inspección original es la primera inspección de una cantidad particular de un producto. El AQL es un valor designado del porcentaje de defectuosos, para el cual los lotes serán aceptados la mayor parte de las veces por el procedimiento de muestreo utilizado. El AQL especifica un valor del nivel de calidad del productor. Carlos Viesca González

Porcentaje de unidades defectuosas toleradas en el lote (PDTL): El LTPD es un valor numérico específico para el nivel de calidad del consumidor; generalmente se refiere a un punto en la curva CO en el cual el Pa es 0.10 y la mayoría de los sistemas basados en el PDTL se basan en ese valor de Pa. Carlos Viesca González

El Límite de Calidad Media de Salida (LCMS o AOQL): Se aplica sólo al muestreo en el que a los lotes rechazados se les hace una inspección al 100% para sustituir los artículos defectuosos encontrados por piezas buenas, que es lo que se denomina inspección rectificadora. Carlos Viesca González

La inspección Total Promedio (ITP o ATI): Se puede graficar la ITP esperada para cualquier nivel de calidad de un lote (p) contra el valor de p y usar esta gráfica para determinar los costos asociados a la inspección rectificadora. Carlos Viesca González

El sistema de muestreo MIL - STD - 105E: El manejo de normas publicadas como ésta (entre las más comunes también está la ANSI/ASQC Z1.4), presenta la ventaja de que facilita la negociación entre vendedor y comprador. Es el más conocido de los planes de muestreo que utilizan como índice de calidad el NCA; proporciona una gran seguridad en la aceptación de los lotes cuando la proporción de defectuosos es menor o igual al NCA. Carlos Viesca González

Tipos de inspección: La MIL . STD - 105E incluye planes para muestreo de aceptación simple, doble y múltiple basados en el AQL. Los AQL contenidos en los planes varían de 0.01% hasta 10% (para el conteo de disconformes) y de arriba del 10% hasta 1000% (para el conteo de disconformes en 100 unidades). Carlos Viesca González

Dado un AQL el sistema proporciona varios planes de muestreo con el fin de motivar al proveedor en función de la calidad del producto que envía; así, es posible aplicar tres tipos de inspección para cada uno de los tres tipos de muestreo señalados líneas arriba: normal, estricta y reducida. Carlos Viesca González

La inspección normal se utiliza al inicio del proceso de inspección y continúa aplicándose durante el tiempo que el vendedor esté produciendo aparentemente piezas con el NCA o mejores. La inspección estricta se aplica cuando hay evidencia de que la calidad del producto se ha deteriorado, lo cual forzará al productor a enviar productos que sean tan buenos o mejores que el NCA. Si la historia reciente de la calidad de un producto ha sido excepcionalmente buena, se puede adoptar la inspección reducida, con lo cual se obtiene una reducción de costos de inspección al revisarse una muestra más pequeña. Carlos Viesca González

Reglas para el cambio de tipos de inspección: De normal a estricta. Si se realiza una inspección normal, se establece la inspección estricta cuando dos de cinco lotes consecutivos se han rechazado en la inspección original. De estricta a normal. Cuando se ha estado aplicando una inspección estricta, la inspección normal se establece si se han presentado cinco lotes aceptables consecutivos en la inspección original. Carlos Viesca González

De normal a reducida. Se puede pasar de la aplicación de una inspección normal a una reducida si se satisfacen las siguientes cuatro condiciones: A los diez lotes anteriores se les ha aplicado inspección normal y ninguno ha sido rechazado en la inspección original. Carlos Viesca González

El número total de defectuosos en las muestras de los diez lotes anteriores es menor o igual al número límite. Si la autoridad responsable lo aprueba. Si la producción está en fase estable. Carlos Viesca González

De reducida a normal. Se puede pasar de la inspección reducida a la normal si ocurre alguna de las siguientes situaciones en la inspección original: Se rechaza un lote. Se acepta un lote al que se aplicó inspección reducida, pero el número de defectuosos encontrado es mayor que el número de aceptación y menor que el número de rechazo. Carlos Viesca González

La producción ha venido a menos o ha sido irregular. Otras condiciones que propicien el establecimiento de la inspección normal. Carlos Viesca González

Los niveles de inspección: En la MIL - STD - 105E, el tamaño de muestra se determina con base en el tamaño del lote, el tipo de inspección y el nivel de inspección; existen tres niveles de inspección generales para cada uno de los tipos ya mencionados anteriormente: el I, el II y el III. Carlos Viesca González

Al nivel II le corresponde una inspección normal y es el que generalmente se usa. El nivel I se usa cuando se permite una menor discriminación en el proceso de muestreo y requiere cerca de la mitad de la cantidad a inspeccionar del nivel II. Carlos Viesca González

El nivel III se adopta cuando se requiere una mayor discriminación y usualmente requiere dos veces la cantidad a inspeccionar del nivel II. El nivel de inspección se establece en un contrato o por la autoridad responsable. Carlos Viesca González

Los niveles especiales S-1, S-2, S-3 y S-4 se usan cuando se requiere tamaños de muestra pequeños (se involucran pruebas destructivas o muy caras) y pueden o deben tolerarse grandes riesgos en el muestreo (menor poder discriminatorio). Carlos Viesca González

Operación del sistema de muestreo MIL - STD - 105E: Seleccionar los planes apropiados de las tablas publicadas en el estándar. Usar las reglas de cambio del nivel de inspección, cuando la calidad del lote cambia. Carlos Viesca González

Procedimiento para el uso estándar: Determinar el NCA aceptable (basado en un acuerdo entre el productor y el cliente) Decidir el nivel de inspección a usar. Determinar el tamaño del lote. Usar la tabla de Letras de Código del Tamaño de Muestra para seleccionar la letra código apropiada (anexo). Carlos Viesca González

Decidir el tipo de procedimiento de muestreo: simple, doble o múltiple. Usar la tabla correspondiente al procedimiento de muestreo seleccionado y al nivel de inspección para encontrar el tamaño de muestra y los números de rechazo y aceptación para el plan. Empiece usando el plan seleccionado y lleve un registro de las aceptaciones y rechazos para que pueda aplicar las reglas de cambio. Carlos Viesca González

CAPÍTULO 4 Confiabilidad Carlos Viesca González

Confiabilidad Se basa en la distribución normal, exponencial y weibull. Tasa de falla tiempo Etapa de madurez Carlos Viesca González

Confiabilidad La confiabilidad se define como la probabilidad de que un producto desempeñe la función para la cual fue elaborado , bajo condiciones dadas y durante un periodo de tiempo determinado. La confiabilidad es un aspecto de la calidad que específicamente considera el comportamiento de la calidad a lo largo del tiempo. Carlos Viesca González

Confiabilidad Sistema en serie: todos los componentes están relacionados de manera que el sistema deja de funcionar si alguno de sus componentes falla. Carlos Viesca González

Confiabilidad Sistema en paralelo: todos sus componentes están relacionados de manera que el sistema deja de funcionar si todos sus componentes fallan. Carlos Viesca González

Confiabilidad Ejemplo: Entonces la confiabilidad del sistema es:
RA= .90 RB= .95 Entonces la confiabilidad del sistema es: Carlos Viesca González

Distribución del tiempo de falla
Tasa de falla tiempo 2.- Etapa de madurez 1.- periodo inicial 3.- envejecimiento Los artículos de mala calidad son eliminados. Periodo de vida útil. Etapa de reemplazo. Carlos Viesca González

Tiempo entre fallas t= variable aleatoria que representa el tiempo de vida del producto, tiempo entre fallas de un producto. f(t)= función de probabilidad o función de densidad. Carlos Viesca González

Tiempo entre fallas F(t)= función de probabilidad o densidad acumulada (probabilidad de que un producto falle hasta antes del tiempo t) Carlos Viesca González

Tiempo entre fallas Confiabilidad (R(t))= confiabilidad de que un producto no falle antes del tiempo t. f(t) tiene una varianza y una media. Carlos Viesca González

Tiempo entre fallas Media: puede ser el tiempo media hasta que el producto falla (MTTF) es decir, que no se puede reparar. Carlos Viesca González

Tiempo entre fallas Tiempo medio entre fallas (MTBF): se aplica para productos que se puedan reparar, es el tiempo medio entre fallas. Carlos Viesca González

Tiempo entre fallas Tasa de fallas: Carlos Viesca González

Funciones de probabilidad
Exponencial: Cuando la tasa de fallas es constante, la función de probabilidad que describe la vida de un producto es exponencial. Carlos Viesca González

Funciones de probabilidad exponencial
= número de fallas por ud. de tiempo. = tiempo medio por fallas (MTBF) o tiempo medio para fallas. Carlos Viesca González

Esta distribución es útil para representar la tasa de fallas en la etapa de madurez en la gráfica similar a la tina de baño. Carlos Viesca González

 f(t) tiempo 1 R(t) tiempo Carlos Viesca González

Tasa de fallas Z(t) tiempo Carlos Viesca González

Normal: Esta distribución puede representar situaciones en las cuales no se presentan fallas durante un periodo de tiempo, y repentinamente muchas o todas las pzas. comienzan a fallar, alrededor de cierto tiempo que coincide con la media . Carlos Viesca González

Funciones de probabilidad normal
Como la tasa de fallas tiene un comportamiento creciente, la distribución puede modelar algunas situaciones en el periodo de envejecimiento. Carlos Viesca González

f(t) tiempo f(t) tiempo Carlos Viesca González

Z(t) tiempo Tasa de fallas Carlos Viesca González

Weibull: Esta distribución es la más utilizada en estudios de confiabilidad, ya que puede modelar casi cualquier situación ya sea en periodos con tasa creciente, constante o decreciente. Carlos Viesca González

Funciones de probabilidad weibull
La tasa de falla es: Carlos Viesca González

Confiabilidad: La media es: Carlos Viesca González

Los parámetros de la distribución son: m: representa la forma de la distribución : representa la magnitud de la media to: es un parámetro de posición La combinación apropiada de valores de los tres, es lo que facilita su uso en diversas condiciones. Carlos Viesca González

f(t)  2 m =.5 m =1 m =2 m =4 Carlos Viesca González

R(t)  2 m =.5 m =1 m =2 m =4 Carlos Viesca González

Z(t)  2 m =.5 m =1 m =2 m =4 Carlos Viesca González

Para m<0 la tasa de falla es decreciente y para m>0 creciente. Con m=1 la tasa de falla es constante y la distribución weibull es identica a la exponencial. El efecto del parámetro to es desplazar la función hacia la derecha, ya que se supone que no ocurren fallas para un periodo t<to Carlos Viesca González

Modelo exponencial en confiabilidad
Confiabilidad del sistema en serie: Carlos Viesca González

Modelo exponencial en confiabilidad
Confiabilidad del sistema en paralelo: Carlos Viesca González

Pruebas de vida fallas observadas
En base a fallas observadas se selecciona de un lote una muestra aleatoria de n pzas y es sometida a pruebas bajo condiciones ambientales determinadas, observándose los tiempos de falla de los componentes individuales, los tiempos de falla observados son: Carlos Viesca González

Si el tamaño de la muestra es n, la vida acumulada por las uds probadas hasta la falla r, sera Tr. Si en la prueba se reemplazan los elementos que fallan, entonces: Carlos Viesca González

Si las piezas que fallan no se reemplazan, entonces: Para ambos casos, el estimador de vida normal será: Carlos Viesca González

Un intervalo de confianza para vida media, se puede encontrar ya que el estadístico 2Tr/ tiene una distribución ji – cuadrada con 2r grados de libertad. Carlos Viesca González

Pruebas de vida tiempo transcurrido
En base al tiempo transcurrido, otro porcedimiento de prueba de vida consiste en suspender la prueba después de transcurrido cierto tiempo fijo T y considerar el número de fallas observadas k como una variable aleatoria. Carlos Viesca González

En el caso de que la prueba se realice con reemplazo, entonces: Carlos Viesca González

Si las pruebas se realizan sin reemplazo, entonces: Carlos Viesca González

El estimador y el intervalo de confianza para la vida media será: Carlos Viesca González

Modelo Weibull en confiabilidad
Confiabilidad en componentes: Carlos Viesca González

Modelo Weibull en confiabilidad
En relación a la expresión vista anteriormente: Carlos Viesca González

Función gamma Resultados conocidos: Carlos Viesca González

Función weibull Si =1 y =3.5, la tasa de falla aumenta y la distribución weibull es útil para modelar la vida de productos en la etapa de envejecimiento. También en este caso la distribución weibull se aproxima a la distribución normal. Carlos Viesca González

Función weibull Si =1 y =.5, la tasa de fallas decrece y la distribución es útil para modelar el tiempo de vida de los componentes en la etapa inicial o depuración. Carlos Viesca González

Función weibull Si =0 y =1, entonces la distribución weibull se convierte en la exponencial. Carlos Viesca González

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