Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006  I. Señales.

Presentación del tema: "Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006  I. Señales."— Transcripción de la presentación:

1 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006  I. Señales 2D : Imágenes  Propiedades básicas de las imágenes.  Representación de las imágenes en las bases de Dirac y de Fourier  II. Teoría General de Señales y Sistemas 2D  Sistemas LSI (Linear Shift Invariant)  Sistemas Formadores de imágenes  Máscaras  III. Mejora de la Imagen  Mejora en el dominio espacial  Mejora en el dominio de las frecuencias espaciales  IV. El Procesador Óptico  La lente convergente como procesador óptico de Fourier  Sistema 4F ANÁLISIS DE SEÑALES Y SISTEMAS 2D Imágenes 1

2 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Propiedades básicas de las imágenes Señal temporal (1 D) Señal espacial (2 D) intensidad 2

3 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Propiedades básicas de las imágenes Si y son continuas la imagen es ANÁLOGA Si y son discretas la imagen es DIGITAL En las imágenes digitales se habla de dos conceptos fundamen- tales:  Muestreo: Pixeles  Cuantización: Niveles de gris discretización de x,y discretización de I (x,y) • pixel • el valor es el nivel de gris La digitalización de una imagen análoga comprende los dos procesos: Muestreo y Cuantización 3

4 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Propiedades básicas de las imágenes Muestreo • Para no perder información en la digitalización de una imagen análoga, es necesario aplicar con sumo cuidado el denominado Teorema del Muestreo (… más adelante) • El efecto del muestreo de una imagen, varía su resolución espacial. A medida que la resolución espacial va decreciendo, se va aumentando el tamaño del pixel y los detalles de la imagen se van perdiendo. 128 x 128 64 x 6432 x 32 4

5 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Propiedades básicas de las imágenes Cuantización • El efecto de la cuantización viene dado por la imposibilidad de tener un rango infinito de valores para la intensidad de los pixeles. • La representación de los niveles de gris con números enteros dependerá del número de bits (n) empleados (2 n ). Si se em- plean 8 bits, se dispondrá de 256 niveles de gris (0 a 255), obteniéndose imágenes con un rango dinámico de 48 db. 1 bit2 bit3 bit8 bit 5

6 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Propiedades básicas de las imágenes Histograma • Un histograma de una imagen informa sobre el número de pixeles que hay para cada nivel de gris. Normalizado a la unidad, puede entenderse como la probabilidad de que un valor determinado de gris aparezca en la imagen: r k es el k-ésimo nivel de gris, n es el número total de pixeles, n k es el número de pixeles con valor de gris r k y k= 0,.., L-1, donde L es el número de niveles de giris. • Analizando el histograma se pueden obtener conclusiones sobre el contraste de la imagen. 6

7 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Dirac Una imagen se puede considerar como una colección de puntos dispuestos en un arreglo matricial, cada uno con un nivel de gris determinado por f(x,y). En otras palabras la imagen se puede representar como una superposicón de deltas de Dirac (impulsos) modulados por f(x,y). Caso Continuo: Caso Digital: 7

8 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Una imagen f(x,y) se puede considerar como una superpo- sición de perfiles de ondas planas armónicas: Caso Continuo: Imagen Análoga es decir, en donde F(fx,fy) es la trasnformada de Fourier de f(x,y), aunque para el caso de imágenes f(x,y) es real, F(fx,fy) es compleja en genral: 8

9 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Interpretación Física de la Transformada de Fourier y de las frecuencias espaciales • Si en c la separación entre máximos es de 1 cm., decimos que el período fundamental espacial  x  es igual a 1 cm y que la frecuencia espacial fundamental es igual a 1 cm -1 9

10 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Interpretación Física de la Transformada de Fourier y de las frecuencias espaciales Si la escena de la figura fuera infinita en extensión, sería periódica con período espacial 2L, y se podría representar como una serie de Fourier bidimensional. El hecho de ser finita implica que su represen- tación se debe realizar con la transformada de Fourier bidimensional. 10

11 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Interpretación Física de la Transformada de Fourier Ideas fundamentales: • Cada componente del espectro de Fourier corresponde a un perfil de onda plana armónica. • La componente confrecuencia CERO (componente CD) es la que aporta la información del background (fondo) de la imagen. Es decir corresponde al promedio en nivel de gris de la imagen. • La componente con menor frecuencia espacial-diferente de CERO- es el armónico fundamental. • Las componentes con frecuencias espaciales bajas son las responsables de los cambios suaves de la imagen. • Las componentes con frecuencias espaciales altas son las responsables de los cambios bruscos de la imagen (bordes). 11

12 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Caso Discreto: Imagen Digital Para su calculo computacional se suele utilizar algoritmos Denominados FFT (Fourier Fast Transform). 12

13 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Importancia de la Fase: Experimento de Oppenheim con 13

14 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon) • Es la base de la digitalización. • ¿Cuál es el mínimo número de muestras y cómo deben estar espaciadas para que no se pierda la información? En otras palabras, ¿cuál debe ser el período de muestreo o la frecuencia de muestreo, para digitalizar una señal análoga? LA RESPUESTA CORRECTA LA DA EL DENOMINADO TEOREMA DEL MUESTREO 14

15 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): UNIDIMENSIONAL En general hay un conjunto infinito de señales que pueden generar un conjunto dado de muestras. Sin embargo, si la señal es de banda limitada y si las muestras son tomadas lo suficientemente cercanas, las muestras representarán unívocamente a la señal y la podremos reconstruir perfectamente. 15

16 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): UNIDIMENSIONAL Muestreo de una señal: (A) Función. (B) Transformada. C)Función muestreadora. (D) Transformada, (E) Función muestreada (F) Transformada, Frecuencia de Nyquist 16

17 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): UNIDIMENSIONAL Recuperación de la señal: A) Colección de espectros de : (A)Transformada inversa : (C) Filtro: D) Transformada inversa del filtro: (E) Filtrado: (F) Transformada inversa : 17

18 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): BIDIMENSIONAL muestreo recuperación 18

19 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 I.Señales 2D : Imágenes Representación de las imágenes en la base de Fourier Teorema del Muestreo (Teorema de Whitaker-Shannon): BIDIMENSIONAL •El teorema de muestreo tiene una interpretación física muy simple en el análisis de imágenes: El intervalo de muestreo debe ser escogido de un tamaño menor o igual a la mitad del menor detalle de interés en la imagen. •Es interesante anotar que la DFT (Transformada Discreta de Fourier) se aprovecha del teorema de muestreo para realizar la TF (Transformada de Fourier). 19

20 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 II.Sistemas 2D Sistemas LSI (Linear Shift Invariant) Lineal: Si Entonces En donde, Invariante bajo desplazamiento 20

21 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 II.Sistemas 2D La Función de Punto Esparcida (PSF): h(x,y) Si se conoce el PSF de un sistema LSI, se podrá fácilmente calcular la señal g(x,y) de salida para cualquier entrada f(x,y) 21

22 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 II.Sistemas 2D Sistemas Formadores de imágenes: La Función de Punto Esparcida (PSF): h(x,y) Ejemplo: Sistema Óptico (lente) La imagen sería la superposición de discos de Airy. El disco de Airy es la respuesta de la lente a un objto puntual. Imágenes obtenidas de: http://micro.magnet.fsu.edu/primer/anatomy/numaperture.html 22

23 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 III.Sistemas 2D Mejora de la Imagen en el dominio espacial: el empleo de máscaras: h(x,y) 23

24 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 III.Sistemas 2D Mejora de la Imagen en el dominio espacial: el empleo de máscaras: h(x,y) Filtros Paso-Bajo: Difumina la imagen Media 7x7 Gauss 4 Filtros Paso-Alto: Acentúa los bordes Sharpen 5 Laplaciano 3 24

25 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 III.Sistemas 2D Mejora de la Imagen en el dominio de las frecuencias: H(fx,fy) 25

26 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 III.Sistemas 2D Mejora de la Imagen en el dominio de las frecuencias: H(fx,fy) 26

27 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico Luz laserLentes

28 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico El espectro electromagnético

29 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 •La función de tramitancia del elemento óptico (filmina) es una función arbitraria f(x,y). •f(x,y) se puede expresar como la suma de un conjunto de funciones armónicas de diferentes frecuencias espaciales. Es decir: •Por tanto, U(x,y,z) puede expresarse como una superposición de ondas planas: con : Propagación de una onda en términos de la transformada de Fourier IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico

30 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 La onda incidente normal se ha convertido en una onda plana cuyo vector de onda presenta unos ángulos de inclinación, es decir, la filmina se ha comportado como una red de difracción: Propagación de una onda en términos de la transformada de Fourier IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico

31 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 U(x,y,z) expresado como una superposición de ondas planas: IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico Propagación de una onda en términos de la transformada de Fourier

32 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 Descomposición IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico

33 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 Lente: Procesador Óptico IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico

34 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 Procesamiento óptico: Sistema 4f IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico

35 Pregrado en Ingeniería Física: Análisis de Señales y Sistemas Escuela de Física Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Semestre 02-2006 Procesamiento óptico: Sistema 4f : filtraje IV Análisis de Imágenes: Computador Óptico