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SISTEMAS BINARIOS UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA DE SISTEMAS CARRERA DE LICENCIATURA EN INFORMATICA.

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1 SISTEMAS BINARIOS UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA DE SISTEMAS CARRERA DE LICENCIATURA EN INFORMATICA 1

2 COMPUTADORES DIGITALES Y SISTEMAS DIGITALES La propiedad mas impactante de un computador es su generalidad. El computador digital de uso general es el ejemplo mas conocido de sistema digital. 2

3 NUMEROS BINARIOS Si tenemos un numero decimal: 6872 Se lo puede representar de la siguiente manera: 6 unidades de mil 8 centenas 7 decenas 2 unidades Es decir se lo puede representar del siguiente modo: 6x x x x10 0 3

4 Esto es la representación de un numero en base 10, debido a que usa diez dígitos y donde los coeficientes son multiplicados por potencias de 10. En general, un numero expresado en un sistema de base r tiene coeficientes multiplicados por potencias de r: a n r n + a n-1 nr n a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0 r 0 + a -1 r -1 + a -2 r -2 +… a -m r -m a n,m = varían entre 0 y r – 1 Ejemplo: los coeficientes de un numero en base 6 serán: 0,1,2,3,4,5 4

5 La representación de un numero en base 5 en decimal será de la siguiente forma : (4021.2) 5 = 4 x x x x x 5 -1 = (511.4) 10 La representación de un número en base 8 será como se muestra a continuación mostrando su valor decimal equivalente,para ello expandimos el número como una serie de potencias con base 8: (127.4) 8 = 1 x x x x 8 -1 = (87.5) 10 5

6 La representación de un numero en base16 será así: (B65F) 16 = 11 x x x x 16 0 = (46.687) 10 6

7 Los dígitos de los números binarios se llaman bits y son 0 o 1, por tanto, la conversión de binario a decimal puede efectuarse sumando los números con potencias 2 correspondientes a los bits que son 1. Por ejemplo: (110101) 2 = = (53) 10 7

8 Las operaciones aritméticas con números base r siguen las mismas reglas que los números decimales: SUMA: RESTA: MULTIPLICACION: 1011 x

9 CONVERSIONES ENTRE NUMEROS DE BASE DIFERENTE De Binario a Decimal: (1010,01) 2 = = (10,375) 10 De Octal a Decimal: (630,4) 8 = 6x x8 + 4x8 -1 = (408,5) 10 De Decimal a Binario: (47) 10 = (101111) 2 9

10 De Decimal a Octal: 153 (153) 10 = (231) = (231) 8 De Decimal con fracción a Binario: (0,6875) 10 = (0,1011) 2 0,6875 x 2 =1+ 0,3750a -1 = 1 0,3750 x 2 =0+ 0,7500a -2 = 0 0,7500 x 2 =1+0,5000a -3 = 1 0,5000 x 2 =1+0,0000a -4 = 1 10

11 De Decimal con fracción a Octal: (0,513) 10 = (0,406517…..) 8 0,513 x 8 = 4,104 0,104 x 8 = 0,832 0,832 x 8 = 6,656 0,656 x 8 = 5,248 0,248 x 8 = 1,984 0,984 x 8 = 7,872 Combinando los dos anteriores ejemplos: (153,513) 10 = (231,406517) 8 11

12 De Binario a Octal: ( ) 2 = (26153,7406) 8 De Binario a Hexadecimal: ( ) 2 = (2C6B,F2) 16 De Octal a Binario: (673,124) 8 = ( ) 2 De Hexadecimal a Binario : (306,D9) 16 = ( ) 2 12

13 Tabla 1-1 Números con diferentes bases DecimalBinarioOctalHexadecimal A B C D E F

14 COMPLEMENTOS Se usan en los computadores digitales para simplificar la operación de sustracción y para manipulaciones lógicas. Hay dos clases de complementos para cada sistema de base r: 1.-El complemento de r 2.-El complemento de (r-1) 14

15 El Complemento de r Se Define: r n – N para N 0 y 0 para N = 0 Donde N es un numero positivo en base r, con parte entera de n dígitos. Ejemplos: El comp. de 10 de (52520) 10 es 10 5 – = El comp. de 10 de (0,3267) 10 es 1 – = El comp. de 10 de (25,639) 10 es = El comp. de 2 de (101100) 2 es (2 6 ) 10 – (101100) 2 = ( – ) 2 =

16 El Complemento de r - 1 Se Define: r n – r -m - N Donde N es un numero positivo en base r, con parte entera de n dígitos y una parte fraccionaria de m dígitos. Ejemplos: El comp. de 9 de (52520) 10 es 10 5 – = El comp. de 9 de (0,3267) 10 es 1 – ,3267 = 0,6732 El comp. de 9 de (25,639) 10 es = 74,360 El comp. de 1 de (101100) 2 es (2 6 -1) 10 – (101100) 2 = ( – ) 2 = El comp. de 1 de (0,0110) 2 es ( )10 – (1,0110) 2 = (0,1111 – 0,0110) 2 = 0,

17 SUSTRACCION CON COMPLEMENTO DE r La sustracción de dos números positivos (M –N), ambos en base r puede hacerse de la siguiente manera: 1.Se suma el minuendo M al complemento de r del sustraendo N. 2.Se inspeccionan los datos obtenidos en el paso 1 para una lleva final. a. Si ocurre una lleva final, se debe descartar. b. Si no ocurre una lleva final, se toma el complemento de r del numero obtenido en el paso 1 y se coloca un signo negativo al frente. 17

18 Ejemplos: 1. Usando el complemento de 10, sustraer – 3250 M = N = 03250complemento de 10 de N = Lleva final Respuesta: Sustraer: (3250 – 72532)10 M = N = 72532complemento de 10 de N = ninguna lleva30718 Comp. de 10 de Respuesta =

19 3.Usar el complemento de 2 para sustraer M – N con los números binarios dados: a.-M = N = complemento de 2 de N = lleva final Respuesta = b.-M = N = complemento de 2 de N = ninguna lleva comp. de 2 de Respuesta =

20 SUSTRACCION CON COMPLEMENTO DE r - 1 La sustracción de dos números positivos (M –N), ambos en base r puede hacerse de la siguiente manera: 1.Se agrega el minuendo M al complemento de (r – 1) del sustraendo N. 2.Se inspeccionan los datos obtenidos en el paso 1 para una lleva final. a. Si ocurre una lleva final, se agrega 1 al digito menos significativo (lleva final de reinicio). b. Si no ocurre una lleva final, se obtiene el complemento de (r – 1) del numero obtenido en el paso 1 y se coloca un signo negativo al frente. 20

21 Ejemplos: 4. Usando el complemento de 9, sustraer – 3250 M = N = 03250complemento de 9 de N = Lleva final (lleva final de reinicio) Respuesta: Sustraer: (3250 – 72532)10 M = N = 72532complemento de 9 de N = ninguna lleva30717 Comp. de 9 de Respuesta =

22 6.Usar el complemento de 1 para sustraer M – N con los números binarios dados: a.-M = N = complemento de 1 de N = lleva final (lleva final de reinicio) Respuesta = b.-M = N = complemento de 1 de N = ninguna lleva comp. de 1 de Respuesta =

23 NÚMEROS BINARIOS CON SIGNO Los enteros positivos (incluído el cero) se representan como números sin signo, sin embargo, para representar enteros negativos se necesita una notación que distinga a los valores negativos. En la aritmética ordinaria, indicamos un número negativo con un signo de menos, y uno positivo, con un signo de más. 23

24 Por limitaciones del hardware, las computadoras deben representar todo con dígitos binarios. Se acostumbra representar el signo con un bit colocado en la posición extrema izquierda del número, la convención es que el bit sea cero si el número es positivo, y uno si es negativo. 24

25 Existen dos formas de representar los números con signo: -Magnitud con signo -Complemento con signo 25

26 Magnitud con signo.- En esta notación, el número consiste en una magnitud y un símbolo ( + o - ) o un bit ( 0 o 1 ) que indica el signo, esta es la representación de números con signo que se emplea en la aritmética ordinaria. 26

27 Ejemplo: Representación del numero 9 con signo: se considera como 9 (binario sin signo) o +9 (binario con signo) representa el equivalente binario de 25 cuando se le considera un número sin signo, o -9 cuando se le considera un número con signo. 27

28 Complemento con signo.- En este sistema, los números negativos se indican con su complemento, mientras que el sistema de magnitud con signo hace negativo a un número cambiando su signo, el sistema de complemento con signo hace negativo a un número convirtiéndolo en su complemento. Puesto que los números positivos siempre inician con cero (más) en la posición de extrema izquierda, el complemento siempre iniciará con uno, lo que indica un número negativo. El sistema de complemento con signo puede utilizar el complemento a uno o a dos, aunque este último es el más común. 28

29 Sólo hay una forma de representar +9, pero existen tres formas de representar -9 con ocho bits: Representación de +9: Magnitud con signo: Comp. a uno con signo : Comp. A dos con signo : La representación de números con signo se emplea en la aritmética ordinaria, al implementar operaciones aritméticas en una computadora, es mas conveniente usar un sistema distinto para representar números negativos la cual es el complemento con signo. 29

30 COMPARACION ENTRE LOS COMPLEMENTOS DE 2 Y DE 1 El complemento de 1 es muy útil en los manipuladores lógicos, ya que el cambio de unos a ceros y viceversa es equivalente a la operación de inversión lógica. El complemento de 2 se usa solamente en asocio de las aplicaciones aritméticas. En la sustracción, usando complementos, es ventajoso emplear el complemento de 2 en el cual solamente se requiere una operación aritmética de suma. El complemento de 1 requiere dos sumas aritméticas cuando sucede una lleva final de reinicio. El complemento de 1 tiene la desventaja adicional de poseer dos ceros aritméticos: uno con todos los ceros y otro con todos los unos. 30

31 Para ilustrar este hecho, consideremos la sustracción de dos números binarios iguales 1100 – 1100 = 0 Usando el complemento de 1: Complementar de nuevo para obtener – 0000 Usando el complemento de 2:

32 Tabla 1-2 Números binarios con signo Decimalcomplemento a dos con signoComplemento a uno con signoMagnitud con signo

33 CODIGOS BINARIOS Los sistemas digitales representan y manipulan no solamente los números binarios sino también muchos otros elementos discretos de información. Cualquier elemento discreto de información específico entre un grupo de cantidades puede ser representado por un código binario. Por ejemplo el rojo es un color específico del espectro, la letra A es una letra específica del alfabeto. Un bit por definición es un dígito binario, para representar un grupo de 2 n elementos diferentes en código binario se requiere un mínimo de N bits. Ello es posible a que es posible arreglar r bits en 2 n maneras diferentes 33

34 Códigos Decimales: Los códigos binarios para dígitos decimales requieren un mínimo de cuatro bits. Se obtiene numerosos códigos diferentes al ordenar cuatro o mas bits en diez distintas combinaciones. Tabla 1-3Cuatrocódigosbinariosdistintospara losdigitos dsdecimales 34

35 Código BCD (Decimal Codificado en Binario): Es una forma directa asignada a un equivalente binario. Es posible asignar cargas a los bits binarios de acuerdo a sus posiciones. Las cargas en el código BDC son 8,4,2,1. Convertir un número decimal a binario: 13 = 1101 Codificación binaria de un número decimal: En BDC el número 13 = (185) 10 = ( ) BCD = ( ) 2 Suma BCD.- Considere la suma de dos dígitos decimales en BCD, junto con un posible acarreo de un par de dígitos anteriores, menos significativos. Puesto que ningún dígito es mayor que 9, la suma no puede ser maror que = 19, donde el 1 que se suma es el acarreo que se llevaba. 35

36 La suma de 6 = (01001) 2 a la suma binaria la convierte en el dígito correcto y también produce el acarreo necesario. Ello se debe a que la diferencia entre un acarreo en la posición de bit más significativa de la suma binaria y un acarreo decimal es de 16 – 10 = 6.Consideremos estas tres sumas BCD:

37 La suma de dos números BCD de n dígitos sin signo se efectúa siguiendo el mismo procedimiento. Consideremos la suma de = 760 en BCD 37

38 Código Reflejado (Código Gray): Los sistemas digitales pueden diseñarse para procesar datos solo en una forma discreta. Muchos sistemas físicos suministran salida de información continua. Esta información puede convertirse en forma digital o discreta antes de que se aplique a un sistema digital. La información continua o analógica se convierte en forma digital mediante un convertidor de analógico a digital. Hay ocasiones en que conviene usar el código Gray que se muestra en la tabla siguiente para representar los datos digitales obtenidos por conversión de datos analógicos. La ventaja del codigo Gray sobre la sucesión contínua de números binarios es que la diferencia entre dos números consecutivos cualesquiera en codigo Gray es de un solo bit. 38

39 Tabla Código Reflejado de cuatro Bits (Código Gray) Código ReflejadoEquivalente Decimal

40 Códigos Alfanuméricos: Muchas de las aplicaciones de las computadoras digitales requieren la manipulación de datos que constan no solo de números, sino también de letras. Por ejemplo, una compañía de seguros con millones de tenedores de póliza debe usar una computadora digital para procesar sus archivos. Para representar el nombre del tenedor de póliza en forma binaria, es necesario tener un código binario para el alfabeto. Además, el mismo código binario debe representar números decimales y algunos otros caracteres especiales. Un código alfanumérico (algunas veces abreviado alfamerico) es un código binario de un grupo de elementos que consta de diez dígitos decimales, las 26 letras del alfabeto y cierto numero de símbolos especiales como $. El numero total de elementos en un grupo alfanumérico es mayor de 36. Por lo tanto, debe codificarse con un mínimo de 6 bits (2 6 =64, pero 2 5 =32 no es suficiente). 40

41 Tabla 1 – 5 Códigos Alfanuméricos: 41

42 42

43 43

44 44

45 Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange o Código Estándar Americano para el Intercambio de Información): Esquema de codificación que asigna valores numéricos a las letras, números, signos de puntuación y algunos otros caracteres. Al normalizar los valores utilizados para dichos caracteres, ASCII permite que los ordenadores o computadoras y programas informáticos intercambien información. ASCII incluye 256 códigos divididos en dos conjuntos, estándar y extendido, de 128 cada uno. Estos conjuntos representan todas las combinaciones posibles de 7 u 8 bits, siendo esta última el número de bits en un byte. El conjunto ASCII básico, o estándar, utiliza 7 bits para cada código, lo que da como resultado 128 códigos de caracteres desde 0 hasta 127 (00H hasta 7FH hexadecimal). El conjunto ASCII extendido utiliza 8 bits para cada código, dando como resultado 128 códigos adicionales, numerados desde el 128 hasta el 255 (80H hasta FFH extendido). 45

46 En el conjunto de caracteres ASCII básico, los primeros 32 valores están asignados a los códigos de control de comunicaciones y de impresora caracteres no imprimibles, como retroceso, retorno de carro y tabulación empleados para controlar la forma en que la información es transferida desde una computadora a otra o desde una computadora a una impresora. Los 96 códigos restantes se asignan a los signos de puntuación corrientes, a los dígitos del 0 al 9 y a las letras mayúsculas y minúsculas del alfabeto latino. Los códigos de ASCII extendido, del 128 al 255, se asignan a conjuntos de caracteres que varían según los fabricantes de computadoras y programadores de software. Estos códigos no son intercambiables entre los diferentes programas y computadoras como los caracteres ASCII estándar. Por ejemplo, IBM utiliza un grupo de caracteres ASCII extendido que suele denominarse conjunto de caracteres IBM extendido para sus computadoras personales. Apple Computer utiliza un grupo similar, aunque diferente, de caracteres ASCII extendido para su línea de computadoras Macintosh. Por ello, mientras que el conjunto de caracteres ASCII estándar es universal en el hardware y el software de los microordenadores, los caracteres ASCII extendido pueden interpretarse correctamente sólo si un programa, computadora o impresora han sido diseñados para ello. 46

47 Tabla 1 – 6 Código estándar americanopara intercambio deinformación (ASCCII) 47

48 Códigos de Detección de Error: La información binaria, se trata de señales de pulso modulado o bien, entrada o salida digital a computadora, puede transmitirse a través de alguna forma de medio de comunicación, como alambres u ondas de radio. Cualquier ruido externo que se introduce en un medio de comunicación física cambia los valores de bits de 0 a 1 y viceversa. Cuando se desea detectar errores en la comunicación y en el procesamiento de datos a veces se añade un octavo bit al carácter ASCII para indicar su paridad. El bit de paridad es un bit adicional que se incluye en un mensaje de modo que el número total de unos sea par o impar. 48

49 Tabla 1 – 7 Bit de Paridad: Es un bit extra incluido en el mensaje para convertir el número total de unos en par o impar. MensajeP(impar)MensajeP(par)

50 ALMACENAMIENTO BINARIO Y REGISTROS La información binaria de una computadora digital debe existir físicamente en algún medio de almacenamiento capaz de guardar bits individuales. Una celda binaria es un dispositivo que tiene dos estados estables y puede almacenar un bit de información La información que recibe, almacena y trasmite puede ser un 1 o un 0 50

51 REGISTROS Un registro es un grupo de celdas binarias. Un registro con n celdas es capaz de almacenar cualquier cantidad discreta de información que contenga n bits. 51

52 El contenido de un registro es función de la interpretación que se da a la información ahí almacenada. Considere, por ejemplo, un registro de 16 bits con el contenido siguiente:

53 Un registro con 16 celdas puede estar en uno de 2 16 posibles estados. Si suponemos que el contenido del registro representa un entero binario, el registro podrá almacenar cualquier número binario entre 0 y 2 16 – 1. 53

54 Si fuera codigo ASCII con un bit de paridad par en la octava posición de bit mas significativa, el registro contiene los dos carcteres C (ocho bits de la izquierda) e I (ocho bits de la derecha). 54

55 Si interpretamos el contenido del registro como cuatro digitos decimales representados en uncódigo de cuatro bits, el contenido del. Registro será un número decimal de cuatro dígitos. En el código exceso-3, el registro contiene el número decimal

56 El contenido del registro no tiene sentido en BCD porque la combinación de bits 1100 no tiene asignado ningún dígito decimal. Este ejemplo hace evidente que un registro puede almacenar elementos discretos de información y que la misma configuración de bits puede interpretarse de diferentes maneras, dependiendo del tipo de los datos. 56

57 Transferencia de Registro Un sistema digital se caracteriza por sus regitros y los componentes que efectúan el procesamiento de datos. La operación de transferencia de registro consiste en una transferencia de información binaria de un conjunto de registros a otro. La transferencia podría ser directa de un registro a otro, o podría pasar por circuitos procesadores dedatos para efectuar una operación. 57

58 La figura 1-1 ilustra la transferencia de información entre registros y muestra gráficamente la transferencia de informacón de un teclado a un registro en la unidad de memoria. Se supone que la unidad de entrada tiene un teclado, un circuito de control y un registro de entrada. 58

59 Figura 1 -1Transferencia deInformación conregistros 59

60 Para procesar cantidades discretas de información en forma binaria, la computadora necesita dispositivos para retener los datos que se procesarán, así como elementos de circuito que manipulen bits individuales de información. El dispositivo que se utiliza con mayor frecuencia para retener datos es el registro. 60

61 La manipulación de variables binarias se efectúa mediante circuitos lógicos digitales. La figura 1-2 ilustra e proceso de sumar dos números binarios de 10 bits. La unidad de memoria, que normalmente consta de millones de registros, aparece solo con tres registros en el diagrama. 61

62 La parte de la unidad procesadora que se muestra consiste en tres registrso R1, R2 y R3 además de circuitos lógicos digitales que manipulan los bits de R1 y R2 y transfieren a R3 un número binario igual a su suma aritmética. Los registros de memoria almacenan información y no pueden procesar los dos operando, pero es posible transferir la información que contienen a registros del procesador. 62

63 Los resultados obtenidos en los registros del procesador se pueden transferir de vuelta a un registro de la memoria para almacenarse hasta que se necesiten otra vez. 63

64 Figura 1 – 2 Ejemplo de procesamiento deinformación binaria 64

65 En el diagrama, el contenido de dos operandos se transfieren de dos registros de memoria a R1 y R2. Los circuitos de lógica digital producen la suma, que se transfieren al registro R3. El contenido de R3 se puede transferir entonces a uno de los registros de memoria. 65

66 Los últimos dos ejemplos ilustran de forma muy sencilla las capacidades de flujo de informaciónm de un sistema digital. Los registros del sistema son los elementos básicos para almacenar y retener la información binaria. Los circuitos de lógica digital procesan la información binaria almacenada en los registros. 66

67 Los circuitos de lógica digital y los registros se estudiaran enlos capítulos 2 a 6. La unidad de memoria se explica en el capítulo 7. El nivel de transferencia de registros para describir y diseñar sistemas digitales se trata en el capítulo 8. 67

68 LOGICA BINARIA La lógica binaria consiste en variables binarias y operaciones lógicas. Las variables se designan con letras del alfabeto, como A, B, C, x, y, z, etc. Y cada variable tiene dos y solo dos posibles valores: 1 y 0. Hay tres operaciones lógicas básicas: AND, OR y NOT. Tabla 1 – 8 Tablas de verdad de operaciones lógicas 68

69 COMPUERTAS LÓGICAS Las compuertas lógicas son circuitos electrónicos que operan con una o más señales de entrada para producir una señal de salida. En los sistemas digitales, las señales eléctricas, que podrían ser voltajes o corrientes, existen con uno de dos valores reconocibles. 69

70 Los circuitos operados por voltaje responden a dos niveles de voltaje distintos que representan una variable binaria cuyo valor es 1 lógico o 0 lógico. Por ejemplo, un sistema digital dado podría definir el 0 lógico como una señal de 0 voltios, y el 1 lógico, como una señal de 4 voltios. 70

71 Figura 1 – 3 Ejemplo de señales binarias Figura 1 – 4 Símbolo para los circuitos lógico digitales 71

72 Figura 1 – 5 Señales de entrada - salida de compuertas 72

73 Figura 1 – 6 Compuertas con múltiples entradas 73

74 CONOSCAMOS ALGUNOS TERMINOS Bit (Binary Digit o dígito binario): Adquiere el valor 1 ó 0 en el sistema numérico binario. En el procesamiento y almacenamiento informático un bit es la unidad de información más pequeña manipulada por el ordenador y está representada físicamente por un elemento como un único pulso enviado a través de un circuito, o bien como un pequeño punto en un disco magnético capaz de almacenar un 0 o un 1. La representación de información se logra mediante la agrupación de bits para lograr un conjunto de valores mayor que permite manejar mayor información. 74

75 Byte: unidad de información que consta de 8 bits; en procesamiento informático y almacenamiento, el equivalente a un único carácter, como puede ser una letra, un número o un signo de puntuación 75

76 En informática, cada letra, número o signo de puntuación ocupa un byte (8 bits). Por ejemplo, cuando se dice que un archivo de texto ocupa bytes estamos afirmando que éste equivale a letras o caracteres. Ya que el byte es una unidad de información muy pequeña, se suelen utilizar sus múltiplos: kilobyte (KB), Megabyte (MB), Gigabyte (GB). 76

77 Kilo (K) 2 10 = 1,024 Mega (M) 2 20 = 1,048,576 Giga (G) 2 30 = 1,073,741,824 Tera (T) 2 40 = 1,099,511,627,776 Peta (P) 2 50 = 1,125,899,906,842,624 77


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