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1 Lógica 4 Proposición –Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa. 4 Ejemplos –1 + 4 = 5 (Verdad) –La Pampa es una nación. (Falso)

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1 1 Lógica 4 Proposición –Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa. 4 Ejemplos –1 + 4 = 5 (Verdad) –La Pampa es una nación. (Falso) – (no es proposición) –María (ídem anterior)

2 2 Proposición Atómica 4 Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. 4 Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa. 4 Ejemplos: –La casa es grande. (es atómica) –La casa no es grande.( no es atómica) –Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

3 3 Proposición Molecular 4 Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. 4 Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

4 4 Conectivos Lógicos

5 5 Proposiciones Moleculares 4 Ejemplos –Vamos en bicicleta o vamos a pie. –No es cierto que Juan llegó temprano –Juan no llegó temprano –Luis es arquitecto y Martín es médico. –La medalla no es de plata y el diploma parece falso. –Matías aprobó pero Lucas no.

6 6 Simbolización 4 Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. 4 Ejemplo: –El Sr.Domínguez es el gerente. Si se considera p = El Sr.Domínguez es el gerente esta proposición puede ser simbolizada como p.

7 7 Simbolización 4 Para simbolizar un proposición –Identificar las proposiciones atómicas –Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas. –Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.

8 8 Simbolización 4 Ejemplos –Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : Vamos en bicicleta. q : Vamos a pie Simbolización: p v q –No es cierto que Juan llegó temprano p = Juan llegó temprano. Simbolización : p

9 9 Simbolización 4 Ejemplo –La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : La medalla es de plata. q : El diploma parece falso Simbolización: p ^ q

10 10 Simbolización 4 Ejemplo –Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = Matías aprobó el examen. s = Lucas aprobó el examen Simbolización : r ^ s

11 11 Tabla de Verdad 4 La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

12 12 Negación 4 Indique el valor de verdad de: –El número 9 no es divisible por 3. –No es cierto que los perros vuelan.

13 13 Conjunción 4 Indique el valor de verdad de : –6 es un número par y divisible por 3. –( = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

14 14 Disyunción 4 Indique el valor de verdad de : –2 es primo o es impar. –(2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5)

15 15 Construcción de tablas de verdad 4 ¿Cuántas filas tiene la tabla? –1 proposición 2 valores (V o F) –2 proposiciones 4 valores de verdad –3 proposiciones 8 valores de verdad – –n proposiciones 2 n valores de verdad.

16 16 Ejemplos 4 Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p ^ q ( p v q ) ^ p (p ^ r ) v ( p ^ q)

17 17 Ejercicio 4 Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (r ^ p ) v s (q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r )

18 18 Ejercicio 4 Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

19 19 Ejercicio 4 Sabiendo que ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen

20 20 Proposiciones moleculares 4 Según su valor de verdad pueden ser –Tautología –Contradicción –Contingencia

21 21 Tautología 4 Una proposición molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 4 Ejemplo: p v p

22 22 Contradicción 4 Una proposición molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 4 Ejemplo: p ^ p

23 23 Contingencia 4 Se dice que una proposición molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos. 4 Ejemplo: p ^ q

24 24 Ejemplos 4 Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si se trata de una tautología, contradicción o contingencia ( p ^ q ) v ( p v q ) ( q ^ p ) ^ (q ^ p)

25 25 Equivalencia Lógica 4 Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) 4 Ejemplo:

26 26 Ejemplo: pqp v q VVVF VFVF FVVF FFFV pqpqp ^ q VVFFF VFFVF FVVFF FFVVV

27 27 Leyes de De Morgan 4 La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p v q) ( p ^ q ) 4 La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p ^ q) ( p v q)

28 28 Proposición condicional 4 Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe p q donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

29 29 Proposición condicional 4 Ejemplo: Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la lección p = "resolvemos la tarea" q = "aprenderemos la lección" Simbolizando: p q

30 30 Proposición condicional 4 Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p q

31 31 Tabla de verdad del condicional pq p q VVV FVV VFF FFV La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

32 32 Proposición Condicional 4 Existen distintas formas de leer un condicional: –Si p entonces q. – q es una condición necesaria para p –p es una condición suficiente para q.

33 33 Distintas formas de indicar una proposición condicional 4 Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par –Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par –Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par –Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.

34 34 Proposición condicional 4 La contrapositiva de la proposición condicional p q es la proposición q p 4 Muestre la equivalencia lógica: p q q p

35 35 Proposición condicional 4 La recíproca de la proposición condicional p q es la proposición q p 4 ¿Son lógicamente equivalentes? p q q p ?

36 36 Proposición bicondicional 4 Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos. pq p q VVV VFF FVF FFV

37 37 p q (p q) ^ (q p) pq p qq p(p q) ^ (q p) VVVVV VFFVF FVVFF FFVVV

38 38 Razonamiento 4 A partir de un conjunto de proposiciones tomadas como base de argumentación se deduce una conclusión.

39 39 Ejemplo de razonamiento 4 Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar. p = llueve q = iremos a caminar ( (p q) ^ p ) q Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es una tautología

40 40 Tabla de verdad de ( (p q) ^ p ) q pq p q(p q) ^ p( (p q) ^ p ) q VVVVV VFFFV FVVFV FFVFV La tabla indica que el razonamiento es correcto independientemente de las proposiciones utilizadas

41 41 Forma general de razonamiento 4 El razonamiento será válido si la expresión anterior es una tautología

42 42 Ejemplo: Demostrar si el siguiente razonamiento es correcto 4 Si estudio todos los temas y estoy inspirado entonces aprobaré el examen. No estoy inspirado. Por lo tanto, no aprobaré el examen. 4 Simbolización: p = estudio todos los temas q = estoy inspirado r = aprobaré el examen [( (p ^ r ) q) ^ r ] q ¿ Es una falacia ?

43 43 Resumen 4 Un razonamiento es una fórmula condicional p 1 ^ p 2 ^ … ^ p k c 4 Las proposiciones p 1,p 2,..p k son las premisas del razonamiento 4 La proposición c es la conclusión del razonamiento 4 El razonamiento es una forma válida si p 1 ^ p 2 ^ … ^ p k c es una tautología. 4 El razonamiento es una forma inválida o falacia si p 1 ^ p 2 ^ … ^ p k c no es una tautología.

44 44 Notación 4 El razonamiento p 1 ^ p 2 ^ … ^ p k c también puede escribirse como p 1 p 2 … p k c

45 45 Ejemplo: decir si se trata de un razonamiento válido o no 4 Si Rumas evitó la maldición entonces, o bien engañó a las criaturas o bien construyó el castillo. 4 Si Rumas engañó a las criaturas, entonces no construyó el castillo 4 Por lo tanto: si Rumas evitó la maldición, entonces engañó a las criaturas.


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