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1 Pure mathematicians do it in theory. 7. Teoría de Residuos.

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1 1 Pure mathematicians do it in theory. 7. Teoría de Residuos

2 2 Puntos singulares Un punto singular z 0 de una función f (z) es un punto donde f (z) no es analítica. Singularidad aislada Singularidad no aislada aisladas no aislada

3 3 Supongamos que z = z 0 es una singularidad aislada de f(z) y que su serie de Laurent válida para 0 < |z – z 0 | < R es: Parte principal Parte principal (Recordatorio) Nota: Observa que el desarrollo tiene como centro al punto singular (por eso es válido en 0 < |z – z 0 | < R).

4 4 Singularidades aisladas Hay dos tipos de singularidades aisladas: polos de orden m y esenciales. En ambos casos podemos desarrollar la función f(z) en serie de Laurent con centro en la singularidad z 0 y la serie convergerá para 0 < |z-z 0 | < R. Si z 0 es un polo de orden m: Si z 0 es un singularidad esencial: La serie de Laurent se para en la m-ésima potencia negativa La serie de Laurent es infinita en potencias negativas El centro z 0 es un punto singular.

5 5 Clasificación de las singularidades aisladas (i) Si la parte principal es cero, z = z 0 se denomina singularidad evitable. (ii) Si la parte principal contiene un número finito de términos, entonces z = z 0 se denomina polo. Si el último coeficiente es b m, m 1, entonces decimos que es un polo de orden m. Un polo de orden 1 se llama polo simple. (iii) Si la parte principal contiene infinitos términos, z = z 0 se denomina singularidad esencial.

6 6 Ejemplos Clasificar la singularidad de la función La serie de Laurent con centro z 0 = 0 es simplemente el término 1/z, válida para 0 < |z|<. z 0 = 0 es un polo simple. La serie de Laurent con centro z 0 =1 está formada simplemente por los dos términos, válidos para 0 < |z-1| <. z 0 =1 Es un polo de orden 3. Clasificar la singularidad de la función

7 7 Ejemplos Clasificar la singularidad de la función z 0 = 0 es un polo de orden 3. 0<|z|< Clasificar la singularidad de la función z 0 = -i es una singularidad esencial. 0<|z+i|<

8 8 z = 0 es una singularidad evitable. z = 0 es un polo simple. z = 1 es un polo de orden 2. Ejemplos

9 9 El punto z = 0 es una singularidad aislada de f y la serie de Laurent contiene infinitos términos. Viendo el desarrollo, ¿podemos decir que z = 0 es una singularidad esencial? ¿Dónde es válido el desarrollo anterior? Es válido en para 1 < |z| <. Y necesitamos el desarrollo para 0 < |z| < 1: Donde vemos que se trata de un polo simple.

10 10 Ceros Decimos que z 0 es un cero de f(z) si f(z 0 ) = 0. Una función analítica tiene un cero de orden n en z = z 0 si: Ejemplo: la función f(z) = z sin z 2 tiene un cero de orden 3 en z = 0.

11 11 Observa que si las funciones f y g son analíticas en z = z 0 y f tiene un cero de orden n en z = z 0 y g(z 0 ) 0, entonces la función F(z) = g(z)/f(z) tiene un polo de orden n en z = z 0. Por ejemplo: El denominador tiene ceros de orden 1 en z = 1 y z = 5, y un cero de orden 4 en z = 2. Puesto que el numerador no se hace cero en ninguno de estos puntos, F(z) tiene un polo simple en z = 1 y z = 5 y un polo de orden 4 en z = 2.

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15 15 Residuos El residuo de una función f(z) en z = z 0 es el coeficiente del término 1/(z-z 0 ) en la expansión en serie de Laurent de f(z): el coeficiente b 1. El residuo de f(z) en z = z 0 se denota como: Ejemplo:

16 16 ¿Porqué es importante el residuo? Para f (z) analítica dentro de un anillo, tenemos: Así: C Nos permite calcular integrales... n = 1

17 17 Ejemplo Integrar la función en sentido positivo para |z |=2. Observemos que por la fórmula integral de Cauchy: punto singular z = 1 centro

18 18 Tomemos como centro z 0 =1 centro z 0 =1 punto singular La serie de Laurent posee un sólo término. como antes. Why did the mathematician name his dog "Cauchy?" Because he left a residue at every pole.

19 19 Ejemplo: Integrar la función en sentido positivo para |z|=3/2. Por la Fórmula Integral de Cauchy: 0

20 20 C is positively oriented circle | z – 2| = 1. Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2 Residue of f at the isolated singular point z 0 Otro ejemplo: Calcular

21 21 ALTERNATIVE METHOD Residue of f at the isolated singular point 2 is the coefficient of 1/(z–2). Solve for A, B, C, D, E by setting coefficients of z, z 2, z 3, z 4 equal to 0. A + E = 0 (A(z – 2) – Az)(z – 2) 3 = – 2A(z – 2) 3 D – 2A = 0 (– 2A (z – 2) + 2A z)(z – 2) 2 = 4A (z – 2) 2 4A + C = 0 (– 4A z + 4A (z – 2)) (z – 2) = –8A(z – 2) B – 8A =0 8A z – 8A (z – 2) = 16 A = 1 A = 1/16, E = – 1/16

22 22 Partial Fraction Expansion Review

23 23 C is positively oriented circle | z – 2| = 1. Integrand is analytic everywhere except z = 2 and z = 0. Find Laurent series of f(z) in the disk 0 < | z – 2 | < 2 Residue of f at the isolated singular point z 0 All terms have positive exponents b1b1

24 24 5. Hallar el residuo de una función compuesta en el punto donde se verifican las siguientes condiciones: Expresamos la segunda condición

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26 26 Observemos que el residuo nos permite calcular integrales de funciones analíticas f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto singular dentro de C. C donde b 1 es el residuo de la serie de Laurent que representa a f (z) alrededor de z 0 en un anillo que contiene a C.

27 27 La serie de Laurent de f(z) en 0 < | z – 2 | < 2: Con C: | z – 2| = 1. Ejemplo:

28 28 ¿De dónde viene el nombre de residuo? para todo n, excepto para n = 1, que vale: De aquí el nombre de residuo. C

29 29 ¿Es preciso hallar la serie de Laurent de f(z) para calcular la integral? No, si los puntos singulares z 0 son polos. En esos casos hay formas rápidas y simples de hallar el residuo. Veremos: 1.Cómo hallar el residuo para un polo simple, z 0 =1, como en el caso 2. Cómo hallar el residuo para un polo de orden 2, z 0 =1, como en el caso 3. Cómo hallar el residuo para un polo de cualquier orden...

30 30 Fórmula para hallar el residuo para un polo simple Si f (z) tiene un polo simple en z 0, la serie de Laurent es: Situamos el centro en el punto singular

31 31 Ejemplo Hallar el residuo de en z=i Comprobémoslo mediante la serie de Laurent:

32 32 Ejemplo Hallar el residuo en los polos de Comprobarlo a través de la de Laurent:

33 33 Fórmula para hallar el residuo para un polo de orden 2 Si f (z) tiene un polo de orden 2 en z 0, la serie de Laurent es: derivando obtenemos:

34 34 Ejemplo Hallar el residuo de en z=1 Comprobarlo a través de la serie de Laurent:

35 35 Ejemplo: f(z) = 1/(z – 1) 2 (z – 3) tiene un polo simple en z = 3 y un polo de orden 2 en z = 1. Encontrar los residuos:

36 36 Calcular con C: |z – i|= 2.

37 37 Evaluar donde el contorno C es el c í rculo |z|= 2.

38 38 Fórmula para el residuo para un polo de cualquier orden Si f (z) tiene un polo de orden m en z 0, la serie de Laurent es: Derivamos m-1 veces. Cuando z z 0 obtenemos:

39 39 Un punto singular aislado z 0 de una función f es un polo de orden m si y solo si f(z) puede ser escrito en la forma: donde (z) es analítica y no cero en z 0. Entonces: De otra manera... y

40 40 Demostración: f(z) tiene un polo de orden m en z=z 0

41 41 Si f(z) tiene un polo de orden m en z=z 0 entonces tiene una representación en serie de Laurent en la región| z-z 0 |

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46 46 Hemos visto que la integral de una función analítica f (z) sobre una curva cerrada C cuando f (z) tiene un punto singular z 0 dentro de C es: C donde b 1 es el residuo de f (z) en z 0 C El teorema del residuo generaliza este resultado: Sea f (z) una función analítica dentro y sobre un camino cerrado C, excepto para k puntos singulares dentro de C. Entonces:

47 47 Evalúa donde (a) El contorno C es el rectángulo definido por x = 0, x = 4, y = 1, y = 1. (b) El contorno C es el círculo |z|= 2. (a) (b)

48 48 Ídem con C: |z|= 2. Observa que z = 0 es un polo de orden 3:

49 49 Demostración del teorema del residuo Rodeemos todos los puntos singulares con los círculos C 1, C 2, C k. f (z) es analítica en C y aquí dentro excepto en los k puntos singulares. Por el teorema integral de Cauchy para regiones múltiplemente conexas: Las integrales a lo largo de cada uno de esos pequeños círculos son el residuo en cada punto singular dentro del círculo, por tanto: C1C1 C2C2 CkCk

50 50 Ejemplo Integrar la función sobre C

51 51 z = 0 es una singularidad esencial, así que no nos queda más remedio que calcular la serie de Laurent alrededor de z = 0, que nos proporciona como residuo Res(f, 0) = 3. C: |z|= 1. Calcular

52 52 Otra fórmula útil para calcular el residuo en un polo simple cuando f (z) es una función racional f(z) = p(z)/q(z) es: Demostración:

53 53 4. Calcular,donde γ es el contorno indicado en la figura. 0 1 Examen JUNIO 02/03: P-1

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55 55 C: |z|= 2. tan z = sin z / cos z tiene polos simples en los puntos donde cos z = 0: z = (2n + 1) /2, n = 0, 1, 2, … Pero solamente /2 y /2 están dentro del círculo

56 56 2. Calcular la integral Respuesta. siendo C : |z – i| = 3/2, simple y orientado positivamente.

57 57 z 1 es un polo simple

58 58 z 3 es un punto singular esencial f(z) se representa por potencias pares positivas y negativas de z. El coeficiente c -1 es cero.

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60 60 d) Obtener la solución de la integral donde, orientado en sentido positivo. Re(z) i 4 f analítica dentro y sobre C, excepto en el punto singular aislado z 0 =i Examen JUNIO 04/05: P-1

61 61 e) Obtener la solución de la integral donde, orientado en sentido positivo. Considérese que n es un entero positivo y 2 Examen JUNIO 04/05: P-1

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63 63 2. Haciendo uso de la teoría de residuos, calcular la integral donde C es la circunferencia, orientada positivamente. z=1 : polo simple :z=0 :

64 64 Luego es: Y entonces: Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

65 65 3. Calcular la integral,donde C es la circunferencia orientada positivamente, utilizando el concepto de residuo en el infinito. Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

66 66 c) Calcular el valor de la integral: Respuesta. siendo Γ la curva |z| = 1/5 con orientación positiva.

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69 69 3. Calcular la integral donde el contorno C es la circunferencia orientada de forma positiva.

70 Segmento donde f(z) no es analítica

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72 72 c) Calcular la integral siendo C : |z| = 4, orientado en sentido positivo. Respuesta. C : |z| = 4 Circunferencia de centro z = 0 y radio 4 orientada positivamente. analítica sobre C y su exterior (apartado b)

73 73 g(z) analítica en z = 0

74 74 z = 0 es un polo de orden 2 z = 0 singularidad evitable de F(z) Res[F(z), z = 0] = 0

75 75 b) (3 puntos) Calcular el valor de la integral Respuesta. siendo C : |z| = 2, orientado positivamente.

76 76 C z=-1 z=4 z=3 z=-3 Re(z) Por el teorema del residuo en el infinito: Por el teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos: C2C2 C3C3 C1C1

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95 95 Residuo logarítmico Sea una función f(z) analítica dentro y sobre un contorno cerrado simple C, orientado positivamente, tal que no tenga ceros sobre él, pero con posiblemente un número finito de ceros en su interior. Si z 0 es uno de ellos, entonces es un punto singular aislado del cociente f'(z)/f(z). El residuo de este cociente en z 0 se denomina residuo logarítmico de f(z) en z 0, ya que:

96 96 Supongamos que z 0 es un cero de f(z) de orden m 0, entonces en algún entorno de z 0 podemos escribir: con g(z) analítica en dicho entorno y g(z 0 ) 0. Derivando y dividiendo entre f(z): Analítico en z 0 Tiene un polo simple en en z 0 con residuo m 0

97 97 Denotemos por N f la suma de las multiplicidades de todos los ceros de f(z) dentro de C:

98 98 5. Hallar el residuo logarítmico de la función respecto a la circunferencia Ceros de f(z): 2 ceros simples Polos de f(z): Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

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100 100 1.Hallar el residuo logarítmico de la función compleja respecto del contorno


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