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5. Propiedades de los Lenguajes Recursivamente Enumerables y de los Lenguajes Recursivos. 5.1 Esquemas de representación de Máquinas de Turing. 5.2 Propiedades.

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1 5. Propiedades de los Lenguajes Recursivamente Enumerables y de los Lenguajes Recursivos. 5.1 Esquemas de representación de Máquinas de Turing. 5.2 Propiedades de cierre. 5.3 Codificación de Máquinas de Turing. 5.4 Un lenguaje no recursivamente enumerable: Lenguaje diagonal. 5.5 Un lenguaje rcursivamente enumerable no recursivo: Lenguaje Universal.

2 M. T. Aceptora que se detiene para todas las entradas: Máquina de Turing Generadora Máquina de Turing que utiliza a otra Máquinas de Turing como subrutina: Máquina de Turing Aceptora que puede no deternerse para alguna entrada: 5.1 Esquemas de representación de Máquinas de Turing

3 5.2 Propiedades de cierre 1. La clase de los Lenguajes Recursivamente Enumerables es cerrada bajo UNIÓN. 2. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la operación UNIÓN. L 1 L 0 M 1 : L(M 1 ) = L 1 L 2 L 0 M 2 : L(M 1 ) = L 2 L(M) = L 1 L 2 L 1 L R M 1 : L(M 1 ) = L 1 L 2 L R M 2 : L(M 2 ) = L 2 L(M) = L 1 L 2

4 3. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la COMPLEMENTACIÓN 4. Un Lenguaje es Recursivo si y solo si él y su complementario son Recursivamente Enumerables. L L R M: L(M) = L L(M) = L L L R M 1 : L(M 1 ) = L a) L L R L L 0 L(M) = L(M 1 ) = L L L 0 b) L L R L L 0

5 b) L, L L 0 L L R L L 0 M 1 : L(M 1 ) = L L(M) = L(M 1 ) = L y M se detiene siempre L L R Ejercicio b) L 1, L 2 L R L 1 L 2 L R

6 A partir de 4, dado cualquier par L, L siempre se dará una de las tres posibilidades LRLR L0L0 L, L Una forma de demostrar que un lenguaje no es recursivamente enumerable es demostrar que su complementario es r.e. no recursivo.

7 5. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo INTERSECCIÓN. 6. La clase de los Lenguajes Recursivamente Enumerables es cerrada bajo la INTERSECCIÓN. L 1 L R M 1 : L(M 1 ) = L 1 L 2 L R M 2 : L(M 2 ) = L 2 L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) = L 1 L 2 L 1 L 0 M 1 : L(M 1 ) = L 1 L 2 L 0 M 2 : L(M 2 ) = L 2 L(M) = L(M 1 ) L(M 2 ) = L 1 L 2

8 7. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la CONCATENACIÓN. L 1 L R M 1 : L(M 1 ) = L 1 L 2 L R M 2 : L(M 2 ) = L 2 x L 1 L 2 x = x 1 x 2, x 1 L 1, x 2 L 2 Funcionamiento de M: El módulo A divide x en dos mitades x 1 y x 2 comenzando por x 1 = y x 2 = x. La primera mitad se pasa a M 1, la segunda posiblemente a M 2. Cada vez que se vuelve a activar A, | x 1 | aumenta una unidad hasta x 1 = x Si ninguna partición devuelve SI, el módulo A activa NO.

9 5.3 Codificación de Máquinas de Turing. Objetivo: Codificar una M.T. con {0,1}. Sup L (0+1)* rec. enumerable M con = {0, 1, B} tal que L = L(M). Sea M = ({q 1, q 2,..., q n }, {0, 1}, {0, 1, B},, q 1, B, {q 2 }) Codificación de un movimiento Sea (q i, X j ) = (q k, X l, D m ) con 1 i, k n 1 j, l 3 1 m 2 X 1 = 0 X 2 = 1 X 3 = B D 1 = L D 2 = R Se codifica de forma unívoca como 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m Una M.T. se codifica como 111código 1 11código código r 111 Una M.T. puede tener varios códigos, pero la decodificación es única. A una codificación de una M.T M le llamamos El par (máquina M, entrada w) lo denominamos

10 5.4 Un lenguaje no recursivamente enumerable: Lenguaje diagonal. Se emplea el mismo argumento que para demostrar que el conjunto de las funciones f : N {0,1} no es numerable. Si lo fuera, se tendría A = {f 1, f 2, f 3,...}. Construimos f: f (i) = f i (i) + 1(mod 2). Si f A se tendría f = f j y sin embargo f (j) f j (j). Supongamos una tabla infinita en la que: En la primera columna se colocan las palabras de (0 + 1)* en orden canónico. En la primera fila índices de M.T. (i, j) = 1 si la palabra i es aceptada por la máquina que se codifica en binario como j. (i, j) = 0 si la palabra i no es aceptada por la máq. que se codifica en binario como j palabras de (0 + 1)* en orden canónico números que en binario son códigos de M.T. (no todos)

11 Consideramos la diagonal de la tabla anterior y construimos L d = {w i : w i L(M i )} - Si (i, i) = 0 w i L d - Si (i, i) = 1 w i L d L d no es recursivamente enumerable: -Supongamos que sí lo es M : L(M) = L d. -En las columnas están todas las M.T. j : M j = M. Entonces Si x j L d = L(M j ) (j, j) = 0 x j L(M j ) (contradicción) Si x j L d = L(M j ) (j, j) = 1 x j L(M j ) Luego no existe M.T. capaz de reconocer L d. Consecuencia L d es no recursivamente enumerable recursivamente enumerable no recursivo

12 Dados los problemas A y B, decimos que A se reduce a B (A B) si, conocido un algoritmo que resuelve B, se puede resolver A. Reducción de un problema a otro. Si A B entonces A es por lo menos tan duro como B Ejemplo AMB. Instancia: G = (N,, P, S) Cuestión: ¿Es G ambigua? Respuesta: Si/No FIND. Instancia: G = (N,, P, S) Cuestión: Encontrar w L(G): w posee más de un árbol de derivación. Respuesta: w /No AMB FIND

13 5.5 Un lenguaje reursivamente enumerable no recursivo: Lenguaje Universal. Veamos que L U = { : w L(M)} es: 1. Recursivamente enumerable. 2. No Recursivo. 1. Sea M 1 la máquina con tres pistas: La 1ª es la cinta de entrada (contiene ). La 2ª simula la cinta de M. La 3ª guarde el estado de M. inicialmente están en blanco Operaciones que tiene que realizar: - Comprobar que la entrada es correcta. - Inicializar la 2ª cinta con w. - Inicializar la 3ª cinta con 0. (código de q 1 = estado inicial) Comportamiento de M 1 - Si en la 3ª cinta aparece 00 (cód. de q 2 = estado final) M 1 para y acepta. - Si en la 3ª cinta hay 0 i y en la segunda 0 j, se busca en la 1ª un fragmento 0 i 10 j Si no se encuentra ese fragmento, M 1 para y rechaza. - Si se encuentra..... w es aceptada por M es aceptada por M 1

14 2. Veamos que L U es no Recursivo. Sabemos que L d es no recursivamente enumerable recursivamente enumerable no recursivo Sea L d = {w i : w i L(M i )} Veamos que L d se puede reducir a L U. (si reconocemos L U, tambien L d ) Supongamos que M 1 : L(M 1 ) = L U y M 1 para ante todas las entradas M1M1 S N w i L(M i ) w i L d L U Luego si L U fuese recursivo también lo sería L d (contradicción) w conversión

15 L es un lenguaje de tipo 0 L es recursivamente enumerable Autómata de memoria acotada linealmente (AMLL): - M.T. no determinista con la entrada enmarcada entre dos símbolos ($ y # por ejemplo). - Los movimientos que hace la cabeza no pueden salirse de los límites. - Las marcas no pueden ser sustituidas. L es un lenguaje de tipo 1 L es aceptado por un AMLL L. R. E. = Tipo 0 L. R.Tipo 1


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