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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias uProblemas de valor inicial uCampo de direcciones uMétodos numéricos para el problema de valor inicial uMétodo de.

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2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias uProblemas de valor inicial uCampo de direcciones uMétodos numéricos para el problema de valor inicial uMétodo de Euler uMétodo de Heun uMétodo de Euler modificado uMétodo de Runge-Kutta

3 Problemas de valor inicial uEcuación diferencial uCondición inicial uEjemplo: modelo de población de Verhulst

4 Campo de direcciones uCurvas solución de una ecuación diferencial uPendiente de las curvas solución uCampo de direcciones

5 Campo de direcciones Øt=a:h:b; y=c:h:d; Ø[tt,yy] = meshgrid(t,y); Øuno = ones(size(tt)); Ødy = f(tt,yy); Øquiver(tt,yy,uno,dy)

6 Campo de direcciones Ecuación Logística

7 Métodos numéricos para el P.V.I. uProblema de Valor Inicial uDiscretización uForma integral del problema de valor inicial

8 Métodos numéricos para el P.V.I. uError local del método iterativo uError máximo uConvergencia uMétodo de orden p:

9 Método de Euler uForma integral de la ecuación diferencial uAproximación (Fórmula de los rectángulos) uPaso fijo uMétodo de Euler: para k=1,2...,n

10 Método de Euler ¯function [t,y]=mieuler(a,b,y0,n) ¯h=(b-a)/n; t=a:h:b; ¯y=zeros(size(t)); y(1)=y0; ¯for k=1:n ¯ y(k+1)=y(k)+h*f(t(k),y(k)); ¯end

11 Soluciones aproximadas (Euler) Ecuación Logística

12 Método de Heun zForma integral de la ecuación diferencial zAproximación (Fórmula de los trapecios) zAproximación por Euler (predicción) zMétodo de Heun (correccción)

13 Método de Heun ¯function [t,y]=heun(a,b,y0,n) ¯h=(b-a)/n; t=a:h:b; ¯y=zeros(size(t)); y(1)=y0; ¯for k=1:n ¯ k1=f(t(k),y(k)); ¯ ykp=y(k)+h*k1; ¯ k2=f(t(k+1),ykp); ¯ y(k+1)=y(k)+h/2*(k1+k2); ¯end

14 Método de Euler modificado uForma integral de la ecuación diferencial uAproximación (Fórmula del punto medio) uAproximación por Euler uMétodo de Euler modificado

15 Método de Euler modificado ¯function [t,y]=eulermod(a,b,y0,n) ¯h=(b-a)/n; t=a:h:b; ¯y=zeros(size(t)); y(1)=y0; ¯for k=1:n ¯ yk2=y(k)+h/2*f(t(k),y(k)); ¯ y(k+1)=y(k)+h*f(t(k)+h/2,yk2)); ¯end

16 Método de Runge-Kutta uForma integral de la ecuación diferencial uAproximación de la integral (Regla de Simpson)

17 Método de Runge-Kutta (cont.) zEstimaciones previas zAplicación de la fórmula

18 Método de Runge-Kutta ¯function [t,y]=rungekut(a,b,y0,n) ¯h=(b-a)/n; t=a:h:b; ¯y=zeros(size(t)); y(1)=y0; ¯for k=1:n ¯ k1=f(t(k),y(k)); tk2=t(k)+h/2; ¯ k2=f(tk2,y(k)+h/2*k1); ¯ k3=f(tk2,y(k)+h/2*k2); ¯ k4=f(t(k+1),y(k)+h*k3); ¯ y(k+1)=y(k)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); ¯end

19 Comparación de métodos


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