Lección 4 : Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones Círculos de Mohr Planos y tensiones principales Deformación.

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1 Lección 4 : 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones. 4.2.- Círculos de Mohr. 4.3.- Planos y tensiones principales. 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson. 4.5.- Deformación por esfuerzos triaxiales.

2 4.1.- Estado tensional de un punto x y z  nx  xy  xz  xy  yx  ny  yz  nz  zy  zx

3 4.1.- Tensiones principales de un punto  nx  xz  xy x y z N 22 33 11  =  1 +  2 +  3  1   2   3 dSx = d  dSy = d  dSz = d 

4 4.1.- Matriz de Tensiones  x d  =  nx d  +  yx d  +  zx d   y d  =  xy d  +  ny d  +  zy d   z d  =  xz d  +  yz d  +  nz d    x x  y y  z z      nx  ny  nz  xy  yx  zx  zy  yz  xz  cosenos directores [  [  [ u 

5 4.3.- Tensiones y direcciones principales  1 1  2 2  3 3        1   2   3 22 33 11 Direcciones principales  1 1  2 2  3 3       x y z =  => x =   1 y =   2 z =   3 =>  1 2  2 2  3 2 x 2 y 2 z 2 ++= 1

6 4.2.- Círculo de Mohr 11 33 22 C1C1 O1O1 C2C2 O2O2 C3C3 O3O3  nn   nn pp  ’p

7 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto        nx  ny  nz  xy  yx  zx  zy  yz  xz  x x  y y  z z  x  cos  cos  (90-  00 F/S        x  F  n =  u = ( F/S. cos  ). 1. cos  = F/S. cos 2  NN  n   2    = ( F/S. sen  ). 1. cos  = F/S. ( sen 2  ) 2

8 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto        nx  ny  nz  xy  yx  zx  zy  yz  xz  1 1  2 2  3 3  x  cos  cos  (90-  00  nx  ny       x  Fx  n =  nx . cos 2  +  ny . cos 2 (90 –  ) = NN  n   2   Fy  1 1  2 2  nx  +  ny 2 +  nx  -  ny 2 cos 2   n =  nx  -  ny 2 sen 2    =

9 4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto  Fx NN  n   2   Fy  1 1  2 2    nx  -  ny tan 2  =  nx  +  ny 2 +  nx  -  ny 2     1 = )2)2 (  nx  +  ny 2 -  nx  -  ny 2     2 = )2)2 (

10 4.3.- Tensiones y direcciones principales 0 = (  nx -  )*  +  yx *  +  zx *  0 =  xy *  + (  ny -  )*  +  zy *  0 =  xz *  +  yz *  + (  nz -  )*  [  [  [ u  Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él: Su determinante es : (  nx -  )  yx  zx  xy (  ny -  )  zy  xz  yz (  nz -  ) = 0 que desarrollado es -   + I 1   - I 2  + I 3 = 0

11 4.3.- Tensiones y direcciones principales [  [  [ u  Tensiones principales : son las raíces de la ecuación Ecuación característica o secular -   + I 1   - I 2  + I 3 = 0 donde : I 1 =  nx +  ny  +  nz I 2 =  nx  ny +  ny  nz +  nz  nx -   yz -   zx -   xy I 3 = | 

12 Deformación Trasversal  y = -   x  coeficiente de deformación trasversal o de Poisson  yy xx

13 Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)  x = xx E +- yy E  - zz E  +  T  y = yy E +- xx E  - zz E  +  T  z = zz E +- xx E  - yy E  +  T Invariante lineal de deformaciones Invariante lineal de tensiones e =  x +  y +  z  =  x +  y +  z

14 Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales) Invariante lineal de deformaciones Invariante lineal de tensiones e =  x +  y +  z  =  x +  y +  z  x = xx E +- yy E  - zz E  +  T 00 E +  y = yy E +- xx E  - zz E  +  T 00 E +  z = zz E +- xx E  - yy E  +  T 00 E +