Matemáticas 2º Bachillerato CS

Presentación del tema: "Matemáticas 2º Bachillerato CS"— Transcripción de la presentación:

1 Matemáticas 2º Bachillerato CS
LA BINOMIAL Y LA NORMAL U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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DISTRIBUCIÓN NORMAL U.D * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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DISTRIBUCIÓN NORMAL Así como de todas las distribuciones discretas destacábamos la distribución binomial, entre las distribuciones continuas la más importante es la distribución normal. Resulta idónea para explicar: Aceptación de una norma. Gusto por las costumbres. Consumo de un bien. Impacto de un producto. Coeficiente intelectual. Velocidad de cálculo. Estatura o peso. Calibre de unos guisantes. Errores de medidas Esta distribución permite describir probabilisticamente fenómenos estadísticos donde los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos. Fue De Moivre (1733) quien investigó por primera vez la distribución normal, pero no fue hasta 1809 cuando Gauss formuló la expresión analítica y la gráfica de la función de densidad, al estudiar los errores en las medidas. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

4 Campana de Gauss: N(μ, σ)
N(μ, σ) = N(- 3’5, 0,75) N(μ, σ) = N(0, 1’5) N(μ, σ) = N(3, 1’5) μ=- 3, μ= μ=3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

5 FUNCIÓN DE DENSIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Llamada campana de Gauss por su forma, presenta los siguientes rasgos: Su dominio es todo el eje real. Su recorrido es de 0 a 1/ σ. √2. π Es simétrica respecto a su media. Posee un máx. absoluto que coincide con la media, la moda y la mediana. Sus coordenadas son: Máx = ( μ , 0’4 ) En los puntos ( μ ‑ σ) y ( μ + σ) presenta puntos de inflexión (cambia la curvatura). El eje de abscisas es una asíntota de la curva. El área limitada entre los puntos ( μ - σ) y ( μ +σ) es 0,6826 ; entre los puntos ( μ - 2σ) y ( μ +2σ) es 0,9544 ; y entre los puntos ( μ - 3σ) y ( μ +3σ) es prácticamente la unidad. N(μ, σ) = N(0, 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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Expresión algebraica 2 ( x - μ ) σ f(x) = e σ. √2.π Como se ve en el caso de que la variable X siga una distribución normal, el cálculo de probabilidades implica hallar áreas bastantes complicadas debido a la expresión analítica de su función de densidad. Para facilitar el trabajo existen Tablas que nos proporcionan directamente el valor de estas áreas para el caso de μ = 0, σ = 1 Esta distribución se llama distribución normal tipificada y se simboliza así: N(0,1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA Una distribución normal, N(μ, σ ), vimos que presenta la forma de una campana de Gauss. Cuando μ=0 y σ=1, nos encontramos con una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1) La principal ventaja es que se dispone de Tablas elaboradas para calcular todo tipo de probabilidades. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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Ejemplo 1 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P ( Z ≤ 1,23 ) En la tabla tomamos la fila 1,2 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,03 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P. Z 0,00 0,01 0,03 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5120 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5517 0,5753 .... 1,1 0,8643 0,8665 0,8708 1,2 0,8849 0,8869 0,8907 ..... 3,9 1,0000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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Gráfica del ejemplo_1 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P ( Z ≤ 1,23) Lo que hemos hecho con la ayuda de la Tabla es calcular el área comprendida entre la función de densidad y el eje de abscisas, entre xi = -3 y xi = 1,23 Esa áreas vale 0,8907 , que es la probabilidad pedida. , @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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EJEMPLO_2 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) Calculemos P ( Z ≤ 2,15) En la tabla tomamos la fila 2,1 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,05 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Continua … Z 0,00 0,01 0,05 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5199 0,5359 .... 2,0 0,9772 0,9778 0,9798 2,1 0,9821 0,9826 0,9842 ..... 3,9 1,0000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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Razonamiento: P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≤ - 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≥ 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - [ 1 - P( Z ≤ 2,15)] = = P( Z ≤ 1,23) + P( Z ≤ 2,15) P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = = 0, ,9842 – 1 = = 1,8749 – 1 = 0,8749 Que como era de esperar es menor que la del ejemplo anterior. NOTA: Por las Tablas NO se puede calcular ni P( Z ≤ - 2,15) ni P( Z ≥ 2,15) . Sólo P (Z ≤ k) , siendo k POSITIVO ’ , @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

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EJEMPLO_3 Si Z es una variable aleatoria con distribución N(0,1), hallar a partir de la tabla de la d.n. tipificada: P (0 ≤ Z ≤ 2,95) Calculemos P ( Z ≤ 0) En la tabla tomamos la fila 0,0 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,00 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Continua … Z 0,00 0,01 0,05 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5199 0,5359 .... 3,9 1,0000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

13 Matemáticas 2º Bachillerato CS
Razonamiento: P (0 ≤ Z ≤ 2,95) = P( Z ≤ 2,95) - P( Z ≤ 0) = = P( Z ≤ 2,95) ,5000 = = P( Z ≤ 2,95) – 0,5000 P (0 ≤ Z ≤ 2,95) = = 0,9984 – 0,5000 = = 0,4984 Que como era de esperar es menor que la del ejemplo anterior. NOTA: El 0 no tiene signo alguno, por tanto P( Z ≤ 0) = P( Z ≥ 0) = 0,5000 P( Z ≤ 2,95) = 0,9984 se ha hallado como en el Ejemplo_1 ,95 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS