Bioestadística Distribuciones de probabilidad: la distribución normal.

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1 Bioestadística Distribuciones de probabilidad: la distribución normal

2 Distribución de probabilidad n Es toda tabla, gráfica, fórmula o cualquier otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de una variable aleatoria discreta junto con sus probabilidades respectivas. n Una fórmula que se emplee para calcular P(X = x) se denomina función de probabilidad y se denota por f(x). Es decir f(x) = P(X = x)

3 Distribución de probabilidad n Es toda tabla, gráfica, fórmula o cualquier otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de una variable aleatoria discreta junto con sus probabilidades respectivas. n Una fórmula que se emplee para calcular P(X = x) se denomina función de probabilidad y se denota por f(x). Es decir f(x) = P(X = x)

4 Distribución de probabilidad n Características necesarias para una distribución de probabilidades: P(X = x) > 0 para todo valor de x.  para toda x P(X = x) = 1. n La probabilidad de que la variable aleatoria X asuma valores menores o iguales a x se llama función de distribución acumulada de x y se denota por F(x) F(x) = P(X  x)

5 Distribución de probabilidad n Características necesarias para una distribución de probabilidades: P(X = x) > 0 para todo valor de x.  para toda x P(X = x) = 1. n La probabilidad de que la variable aleatoria X asuma valores menores o iguales a x se llama función de distribución acumulada de x y se denota por F(x) F(x) = P(X  x)

6 Distribución de probabilidad n Para calcular la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor determinado, a por ejemplo, nos valemos de

7 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 1001.00 f(x) = Función de probabilidad. F(x) = Función de probabilidad acumulada.

8 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X ≥ 125, y, X ≤ 130)

9 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X ≥ 125, y, X ≤ 130) = 0.22

10 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X ≥ 143, y, X ≤ 148)

11 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X ≥ 143, y, X ≤ 148) = 0.09

12 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X ≤ 124)

13 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X ≤ 124) = 0.30

14 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X < 143)

15 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X < 143) = 0.88

16 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X > 130)

17 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X > 130) = 1.00 – 0.52 = 0.48

18 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X ≥ 143)

19 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X ≥ 143) = 1.00 – 0.88 = 0.12

20 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X ≥ 119, y, X ≤ 148)

21 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X ≥ 119, y, X ≤ 148) = 0.97 – 0.09 = 0.88

22 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X > 124, y, X < 143)

23 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X > 124, y, X < 143) = 0.88 – 0.30 = 0.58

24 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X 148)

25 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X 148) = 1.00 – (0.97-0.09) = 0.12

26 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Pregunta: P(X ≤ 124, o, X ≥ 143)

27 Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a 11220.02 113 a 11870.070.09 119 a 124210.210.30 125 a 130220.220.52 131 a 136220.220.74 137 a 142140.140.88 143 a 14890.090.97 149 a 14820.020.99 155 a 16010.011.00 Respuesta: P(X ≤ 124, o, X ≥ 143) = 1.00 – (0.88 – 0.30) = 0.42

28 Distribución de probabilidad: f(x)

29 Distribución de probabilidad: F(x)

30 Distribución normal También conocida como “campana de Gauss”. El primero en presentarla fue Abraham de Moivre, en 1733. Pierre-Simon Laplace la utilizó en 1812. Johann Carl Friedrich Gauss la utilizó profusamente desde 1809. El nombre de campana (bell surface) se lo puso Esprint Jouffret en 1872.

31 Distribución normal 1.- El área total que se encuentra por debajo de la curva de la campana y por encima del eje horizontal es igual a 1.

32 Distribución normal 2.- Cuando la variable es discreta, la media, la mediana y la moda son iguales.

33 Distribución normal 3.- Su distribución es simétrica y la media la divide en dos partes iguales: 50% a la derecha, 50% a la izquierda.

34 Distribución normal 4.- Cuando en el eje horizontal trazamos una perpendicular, que llegue hasta donde la curva cambia de cóncava a convexa, la distancia desde la media hasta la perpendicular es igual a la desviación estándar.

35 Distribución normal

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38 5.- Existe una distribución diferente para cada valor de μ y de .

39 Distribución normal 6.- La curva teórica de una distribución normal va de –∞ hasta +∞.

40 Cálculo de probabilidades n Cuando una población está distribuida normalmente podemos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria, con media  y desviación estándar , asuma valores comprendidos entre x a y x b. n Para obtener dichas probabilidades, transformamos la variable X, con media  y varianza  2, en la variable normal estandarizada, z, con media 0 y varianza 1, por medio de la fórmula

41 Cálculo de probabilidades n Cuando una población está distribuida normalmente podemos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria, con media  y desviación estándar , asuma valores comprendidos entre x a y x b. n Para obtener dichas probabilidades, transformamos la variable X, con media  y varianza  2, en la variable normal estandarizada, z, con media 0 y varianza 1, por medio de la fórmula

42 Cálculo de probabilidades: ejemplo. n Asumamos que el peso al nacer se distribuye según la campana de Gauss, con un promedio poblacional, µ, de 3,000 g, y una desviación estándar poblacional, σ, de 500 g. n Pregunta: cuál es la probabilidad de que el próximo niño en nacer tenga un peso > 2,500 g. n Para calcular P(X > 2,500 g) en un universo donde µ = 3,000 g y σ = 500 g, procedemos de la siguiente manera.

43 Cálculo de probabilidades: ejemplo. n Asumamos que el peso al nacer se distribuye según la campana de Gauss, con un promedio poblacional, µ, de 3,000 g, y una desviación estándar poblacional, σ, de 500 g. n Pregunta: cuál es la probabilidad de que el próximo niño en nacer tenga un peso > 2,500 g. n Para calcular P(X > 2,500 g) en un universo donde µ = 3,000 g y σ = 500 g, procedemos de la siguiente manera.

44 Cálculo de probabilidades: ejemplo. n Asumamos que el peso al nacer se distribuye según la campana de Gauss, con un promedio poblacional, µ, de 3,000 g, y una desviación estándar poblacional, σ, de 500 g. n Pregunta: cuál es la probabilidad de que el próximo niño en nacer tenga un peso > 2,500 g. n Para calcular P(X > 2,500 g) en un universo donde µ = 3,000 g y σ = 500 g, procedemos de la siguiente manera.

45 Cálculo de probabilidades: ejemplo. 1.- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional. 1.1.- Conviene anotar el valor de la media poblacional. P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

46 Cálculo de probabilidades: ejemplo. 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean mayores a 2,500 g. P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

47 Cálculo de probabilidades: ejemplo. 4.- Transformamos la variable peso al nacer (X), con µ = 3,000 g y σ = 500 g, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

48 Cálculo de probabilidades: ejemplo. 4.- Transformamos la variable peso al nacer (X), con µ = 3,000 g y σ = 500 g, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

49 Cálculo de probabilidades: ejemplo. 5.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = -1 P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

50 Cálculo de probabilidades: ejemplo. 6.- Terminamos sumando las áreas de interés. P(X > 2,500 g) = 0.34 + 0.50 = 0.84 P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

51 Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X > 3,750 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

52 Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X > 3,750 g) µ = 3,000 g σ = 500 g P(X > 3,750 g) = 0.07

53 Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

54 Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

55 Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

56 Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

57 Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) = 0.41 + 0.43 = 0.84

58 Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X 4,125 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

59 Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X 4,125 g) µ = 3,000 g σ = 500 g P(X > 1,250 g, y X < 4,125 g) = 0.07 + 0.01 = 0.08