DISTRIBUCIÓN NORMAL DÍA 62 * 1º BAD CS. DISTRIBUCIÓN NORMAL Así como de todas las distribuciones discretas destacábamos la distribución binomial, entre.

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1 DISTRIBUCIÓN NORMAL DÍA 62 * 1º BAD CS

2 DISTRIBUCIÓN NORMAL Así como de todas las distribuciones discretas destacábamos la distribución binomial, entre las distribuciones continuas la más importante es la distribución normal. Resulta idónea para explicar: Aceptación de una norma. Gusto por las costumbres. Consumo de un bien. Impacto de un producto. Coeficiente intelectual. Velocidad de cálculo. Estatura o peso. Calibre de unos guisantes. Errores de medidas Fue De Moivre (1733) quien investigó por primera vez la distribución normal, pero no fue hasta 1809 cuando Gauss formuló la expresión analítica y la gráfica de la función de densidad, al estudiar los errores en las medidas. Esta distribución permite describir probabilisticamente fenómenos estadísticos donde los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos.

3 Campana de Gauss: N(μ, σ) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 μ=- 3,5 μ=0 μ=3 N(μ, σ) = N(0, 1’5) N(μ, σ) = N(3, 1’5) N(μ, σ) = N(- 3’5, 0,75)

4 Llamada campana de Gauss por su forma, presenta los siguientes rasgos: Su dominio es todo el eje real. Su recorrido es de 0 a 1/ σ. √2. π Es simétrica respecto a su media. Posee un máx. absoluto que coincide con la media, la moda y la mediana. Sus coordenadas son: Máx = ( μ, 0’4 ) En los puntos ( μ ‑ σ) y ( μ + σ) presenta puntos de inflexión (cambia la curvatura). El eje de abscisas es una asíntota de la curva. El área limitada entre los puntos ( μ - σ) y ( μ +σ) es 0,6826 ; entre los puntos ( μ - 2σ) y ( μ +2σ) es 0,9544 ; y entre los puntos ( μ - 3σ) y ( μ +3σ) es prácticamente la unidad. FUNCIÓN DE DENSIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL N(μ, σ) = N(0, 1) - 3 -2 -1 0 1 2 3

5 Expresión algebraica 2 ( x - μ ) -- --------------- 2 1 2. σ f(x) = ---------------- e σ. √2.π Como se ve en el caso de que la variable X siga una distribución normal, el cálculo de probabilidades implica hallar áreas bastantes complicadas debido a la expresión analítica de su función de densidad. Para facilitar el trabajo existen Tablas que nos proporcionan directamente el valor de estas áreas para el caso de μ = 0, σ = 1 Esta distribución se llama distribución normal tipificada y se simboliza así: N(0,1)

6 D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA Una distribución normal, N(μ, σ ), vimos que presenta la forma de una campana de Gauss. Cuando μ=0 y σ=1, nos encontramos con una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1) La principal ventaja es que se dispone de Tablas elaboradas para calcular todo tipo de probabilidades. -3 -2 -1 0 1 2 3

7 D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1), mediante el cambio: X - μ Z = ------------ σ Gracias a ese cambio de variable podemos utilizar las Tablas ya elaboradas para calcular probabilidades en una distribución normal. Evidentemente para ello nos deben dar los valores de μ y de σ (cuyo cálculo ya hemos dicho que excede del nivel del curso).

8 D. N. TIPIFICADA Ejemplo 1 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de X ≤ 8,845 Aplicamos el cambio: X - μ Z = ------------ σ 8,845 – 7 Z= -------------- = 1,23 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P ( Z ≤ 1,23 ) Pues P(X ≤ 8,845)= P ( Z ≤ 1,23 )

9 P ( Z ≤ 1,23 ) En la tabla tomamos la fila 1,2 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,03 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P. Z0,000,01........0,03........0,09 0,00,50000,5040........0,5120........0,5359 0,10,53980,5438........0,5517........0,5753......................................................... 1,10,86430,8665........0,8708................. 1,20,88490,8869........ 0,8907............................. 3,91,0000........ 1,0000

10 D. N. TIPIFICADA Ejemplo 2 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de ( 3,775 ≤ X ≤ 8,845 ) Aplicamos el cambio: 3,775 - 7 Z = ---------------- = - 2,15 1,5 8,845 – 7 Z= -------------- = 1,23 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) Pues P(3,775 ≤ X ≤ 8,845)= P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 )

11 Hay que hallar P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) Calculemos P ( Z ≤ 2,15) En la tabla tomamos la fila 2,1 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,05 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Z0,000,01........0,05........0,09 0,00,50000,5040........0,5199........0,5359......................................................... 2,00,97720,9778........0,9798................. 2,10,98210,9826........0,9842............................. 3,91,0000........ 1,0000

12 Razonamiento: P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≤ - 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≥ 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - [ 1 - P( Z ≤ 2,15)] = = P( Z ≤ 1,23) + P( Z ≤ 2,15) - 1 P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = = 0,8907 + 0,9842 – 1 = = 1,8749 – 1 = 0,8749 Que como era de esperar es menor que la del ejemplo anterior. NOTA: Por las Tablas NO se puede calcular ni P( Z ≤ - 2,15) ni P( Z ≥ 2,15). Sólo P (Z ≤ k), siendo k POSITIVO -3 -2’15 -1 0 1,23 3

13 D. N. TIPIFICADA Ejemplo 3 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de (7 ≤ X ≤ 11,5) Aplicamos el cambio: 7 - 7 Z = ---------- = 0 1,5 11,5 – 7 Z= -------------- = 3 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (0 ≤ Z ≤ 3 ) Pues P(7 ≤ X ≤ 11,5) = P (0 ≤ Z ≤ 3 )

14 Hay que hallar P (0 ≤ Z ≤ 3) Calculemos P ( Z ≤ 0) En la tabla tomamos la fila 0,0 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,00 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Z0,000,01........0,05........0,09 0,00,50000,5040........0,5199........0,5359......................................................... 3,91,0000........ 1,0000

15 Razonamiento: P (0 ≤ Z ≤ 3) = = P( Z ≤ 3) - P( Z ≤ 0) = = P( Z ≤ 3) - 0,5000 = = P( Z ≤ 3) – 0,5000 P (0 ≤ Z ≤ 3) = = 0,9995 – 0,5000 = = 0,4995 -3 -2 -1 0 3