Dirección de Formación Básica

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1 Dirección de Formación Básica
Programación Lineal Tema: Programación lineal. Dirección de Formación Básica. Dirección de Formación Básica

2 Programación Lineal Habilidades a desarrollar.
Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Resolver problemas de programación lineal con dos variables, mediante el uso del método gráfico. Habilidades a desarrollar. Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Resolver problemas de programación lineal con dos variables, mediante el uso del método gráfico.

3 Programación Lineal Problema motivador Una compañía posee 2 tipos de camiones. El camión del tipo A tiene 20 m 3 de espacio refrigerado y 40 m 3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m 3 de espacio refrigerado y 30 m 3 no refrigerado. Una fabrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m 3 de productos refrigerados y 1200 m 3 no refrigerados. Determine cuántos camiones de cada tipo debe de alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a $ 30 el m 3 y el B a $ 40 el m 3 . Problema motivador. Una compañía posee 2 tipos de camiones. El camión del tipo A tiene 20 m 3 de espacio refrigerado y 40 m 3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m 3 de espacio refrigerado y 30 m 3 no refrigerado. Una fabrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m 3 de productos refrigerados y m 3 no refrigerados. Determine cuántos camiones de cada tipo debe de alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a $ 30 el m 3 y el B a $ 40 el m 3 .

4 Programación Lineal La estructura de un problema de Programación Lineal es: Función Objetivo: Maximizar (Minimizar) 𝑍 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 Sujeta a las siguientes restricciones: Esta formado por un sistema de desigualdades lineales con las variables 𝑥 e 𝑦. Debe tenerse en cuenta que 𝑥≥0 y 𝑦≥0 La estructura de un problema de Programación Lineal es: Función Objetivo: Maximizar (Minimizar) 𝑍 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 Sujeta a las siguientes restricciones: Esta formado por un sistema de desigualdades lineales con las variables 𝑥 e 𝑦. Debe tenerse en cuenta que 𝑥≥0 y 𝑦≥0

5 Programación Lineal Ejemplo 1. Las restricciones pesqueras impuestas por el Ministerio de Pesquería, obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de bonito y 2000 toneladas de corvina, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de bonito es 1000 soles/ton y el precio de la corvina es de 1500 soles/ton, determine qué cantidades debe pescar para obtener el máximo ingreso. Resolución Paso 1: Defina las variables a trabajar. 𝑥 es la toneladas de bonito. 𝑦 es la toneladas de corvina. Paso 2: Escriba la función objetivo. Maximizar: 𝑍=1000𝑥+1500𝑦. Paso 3: Defina las restricciones. Ejemplo 1. Las restricciones pesqueras impuestas por el Ministerio de Pesquería, obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de bonito y 2000 toneladas de corvina, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de bonito es 1000 soles/ton y el precio de la corvina es de 1500 soles/ton, determine qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio. Resolución Paso 1: Defina las variables a trabajar. 𝑥 es la toneladas de bonito. 𝑦 es la toneladas de corvina Paso 2: Escriba la función objetivo. Maximizar: 𝑍=1000𝑥+1500𝑦. Paso 3: Defina las restricciones. Las restricciones son: 𝑥≤2000 𝑦≤2000 𝑥+𝑦≤3000 𝑥≥0, 𝑦≥0 Paso 4: Dibuja la región factible. La región factible es la intersección de las regiones de las desigualdades. Paso 5: Reemplaza las coordenadas de los vértices en la función objetivo, y concluir. Se identifica los vértices de la región factible, luego se reemplaza las coordenadas de los vértices en la regla de correspondencia de la función objetivo. Como solicitan el máximo beneficio, entonces la respuesta es el máximo valor de Z, que para este caso se alcanza cuando se pescan 1000 toneladas de bonito y 2000 toneladas de corvina. Las restricciones son: 𝑥≤2000 𝑦≤2000 𝑥+𝑦≤3000 𝑥≥0, 𝑦≥0 Paso 5: Reemplaza las coordenadas de los vértices en la función objetivo, y concluir. Vértices Valor de 𝑍=1000𝑥+1500𝑦 A(0; 2000) Z = Es el máximo valor B(1000; 2000) Z = Paso 4: Dibuja la región factible. C(2000; 1000) Z = D(2000; 0) Z = E(0; 0) Z = 0

6 Programación Lineal Ejemplo 2. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo en máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para el L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Resolución Paso 1: Defina las variables a trabajar. 𝑥 es la cantidad de lámparas L 1 . 𝑦 es la cantidad de lámparas L 2 . Paso 2: Escriba la función objetivo. Maximizar: 𝑍=15𝑥+10𝑦. Paso 3: Defina las restricciones. Ejemplo 2. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo en máquina de 20 minutos para el modelo L1 y de 10 minutos para el L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. Resolución Paso 1: Defina las variables a trabajar. 𝑥 es la cantidad de lámparas L 1 . 𝑦 es la cantidad de lámparas L 2 . Paso 2: Escriba la función objetivo. Maximizar: 𝑍=15𝑥+10𝑦. Paso 3: Defina las restricciones En este caso, es necesario organizar la información en una tabla. Con ellos, las restricciones son: 20𝑥+30𝑦≤6000 20𝑥+10𝑦≤4800 𝑥≥0, 𝑦≥0 Paso 4: Dibuja la región factible. La región factible es la intersección es la intersección de las desigualdades. Paso 5: Reemplaza las coordenadas de los vértices en la función objetivo, y concluir. Se identifica los vértices de la región factible, luego se reemplaza las coordenadas de los vértices en la regla de correspondencia de la función objetivo. Como solicitan el máximo beneficio, entonces la respuesta es el máximo valor de Z, que para este caso se alcanza cuando se producen 210 lámparas del modelo L1 y 60 lámparas del modelo L2. Paso 5: Reemplaza las coordenadas de los vértices en la función objetivo, y concluir. Vértices Valor de 𝑍=15𝑥+10𝑦 Las restricciones son: 20𝑥+30𝑦≤ 𝑥+10𝑦≤4800 𝑥≥0, 𝑦≥0 A(0; 200) Z = 2 000 Es el máximo valor B(210; 60) Z = 3 750 C(240; 0) Z = 3 600 Paso 4: Dibuja la región factible. D(0; 0) Z = 0

7 Programación Lineal Ejemplo 3. Una compañía posee 2 tipos de camiones. El camión del tipo A tiene 20 m 3 de espacio refrigerado y 40 m 3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m 3 de espacio refrigerado y 30 m 3 no refrigerado. Una fabrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m 3 de productos refrigerados y 1200 m 3 no refrigerados. Determine cuántos camiones de cada tipo debe de alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a $ 30 el m 3 y el B a $ 40 el m 3 . Resolución Paso 1: Defina las variables a trabajar. 𝑥 es la cantidad de camiones del tipo 𝐴. 𝑦 es la cantidad de camiones del tipo 𝐵. Paso 2: Escriba la función objetivo. Minimizar: 𝑍=30(60𝑥)+40(60𝑦). Paso 3: Defina las restricciones. Camión del tipo A Camión del tipo B Requiere Carga refrigerada 20 m 3 30 m 3 900 m 3 Carga no refrigerada 40 m 3 1200 m 3 Ejemplo 3. Una compañía posee 2 tipos de camiones. El camión del tipo A tiene 20 m 3 de espacio refrigerado y 40 m 3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m 3 de espacio refrigerado y 30 m 3 no refrigerado. Una fabrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m 3 de productos refrigerados y m 3 no refrigerados. Determine cuántos camiones de cada tipo debe de alquilar la fábrica para minimizar costos si el tipo A se alquila a $ 30 el m 3 y el B a $ 40 el m 3 . Resolución Paso 1: Defina las variables a trabajar. 𝑥 es la cantidad de camiones del tipo 𝐴. 𝑦 es la cantidad de camiones del tipo 𝐵. Paso 2: Escriba la función objetivo. Minimizar: 𝑍=30(60𝑥)+40(60𝑦). Paso 3: Defina las restricciones Organizaremos la información en una tabla. Las restricciones son 20𝑥+30𝑦≥900 40𝑥+30𝑦≥1200 𝑥≥0, 𝑦≥0 Paso 4: Dibuja la región factible. La región factible es la intersección es la intersección de las desigualdades. Paso 5: Reemplaza las coordenadas de los vértices en la función objetivo, y concluir. Se identifica los vértices de la región factible, luego se reemplaza las coordenadas de los vértices en la regla de correspondencia de la función objetivo. Como solicitan el mínimo costo, entonces la respuesta es el mínimo valor de Z, que para este caso se alcanza cuando se alquilan 15 camiones del tipo A y 20 camiones del tipo B. Paso 5: Reemplaza las coordenadas de los vértices en la función objetivo, y concluir. Vértices Valor de 𝑍=1800𝑥+2400𝑦 Las restricciones son: 20𝑥+30𝑦≥900 40𝑥+30𝑦≥1200 𝑥≥0, 𝑦≥0 A(0; 40) Z = Es el mínimo valor B(15; 20) Z = C(45; 0) Z = Paso 4: Dibuja la región factible.

8 Programación Lineal Conclusiones
La región factible de un problema de programación lineal, siempre se encuentra en el primer cuadrante. Los vértices de la región factible, se reemplaza en la función objetivo. Si piden maximizar (minimizar), entonces la respuesta se da en el vértice donde la función objetivo alcanza su mayor (menor) valor. Conclusiones La región factible de un problema de programación lineal, siempre se encuentra en el primer cuadrante. Los vértices de la región factible, se reemplaza en la función objetivo. Si piden maximizar (minimizar), entonces la respuesta se da en el vértice donde la función objetivo alcanza su mayor (menor) valor.

9 Programación Lineal Bibliografía
[1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación. Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.