 E Expresión de un problema de programación lineal  A Aplicaciones de la programación lineal  S Soluciones de un problema de programación lineal.

Presentación del tema: " E Expresión de un problema de programación lineal  A Aplicaciones de la programación lineal  S Soluciones de un problema de programación lineal."— Transcripción de la presentación:

1  E Expresión de un problema de programación lineal  A Aplicaciones de la programación lineal  S Soluciones de un problema de programación lineal  R Resolución gráfica de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 9.2 Introducción a la programación lineal  M Método Simplex

2  Expresión de un problema de programación lineal Expresión de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Definición: Un problema de programación lineal es un programa matemático en el cual la función objetivo es lineal en las variables de decisión y cada restricción es una desigualdad lineal. Además tiene una restricción de signo; es decir, las variables de decisión son no negativas. s.a. Z, función objetivo, es la medida de efectividad global seleccionada donde representan las variables de decisión. representan los coeficientes de contribución; es decir, incremento que resulta en el objetivo por cada incremento unitario de representan las tasas de uso de la materia prima en la producción de la variable representan los recursos disponibles; es decir, la cantidad disponible del recurso “i” que consume cada unidad de la actividad “j”

3  Expresión de un problema de programación lineal Expresión de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román s.a. Forma canónica de un problema de programación lineal

4  Expresión de un problema de programación lineal Expresión de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román s.a. Forma estándar de un problema de programación lineal Todo problema lineal en forma canónica se puede pasar a forma estándar introduciendo variables de holgura o variables excedentes.

5  Aplicaciones de la programación lineal Aplicaciones de la programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román 1.Una primera aplicación de la P.L. se encuentra en los problemas de “Asignación de Recursos”. Son problemas en los que existen recursos limitados y se busca la utilización máxima. El objetivo es maximizar utilidades. 2.Otra aplicación que responde a un problema de P.L. es el de minimizar pérdidas. La diferencia con el caso anterior es que se deben satisfacer unos requerimientos mínimos. 3.Problema de la mezcla : la mezcla de ingredientes básicos para fabricar productos. No sólo se se restringe a problemas de mezclas de alimentos, bebidas, etc., también se aplica en el análisis de inversiones.

6  Soluciones de un problema de programación lineal Soluciones de un problema de programación lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Definición: Una solución factible es aquella que verifica todas las restricciones de un P.P.L.; es decir, Definición: Se define la región factible como el conjunto de todas las soluciones factibles; es decir, Definición: Una solución óptima es una solución factible que da el valor más favorable de la función objetivo. Si, el problema es infactible Definición: Considérese el sistema de ecuaciones, en donde A es una matriz de dimensión y b un vector de dimensión m. Supóngase que el rango de A es m. Después de un reordenamiento de A, sea donde B es una matriz no singular de dimensión y N matriz singular de dimensión. La solución del sistema de ecuaciones, se denomina solución básica, donde y es el vector nulo.

7  Soluciones de un problema lineal Soluciones de un problema lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una solución básica degenerada del sistema. Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas, entonces x es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina solución básica factible degenerada. Teorema Dado un P.P.L. en forma estándar factible y acotado, el valor óptimo de la función objetivo se alcanza en un punto extremo de la región factible. Definición: Si dos o más soluciones dan igual valor para la función objetivo, se dice que el problema tiene óptimos alternativos. Definición: Si los valores de las variables se incrementan indefinidamente, el espacio solución es no acotado. Si además el valor objetivo aumentará o disminuirá indefinidamente, el problema tiene solución no acotada. Definición: Un conjunto C de es convexo si

8  Soluciones de un problema lineal Soluciones de un problema lineal BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Definición: Un punto x de C, conjunto convexo de es un punto extremo de C si

9  Resolución gráfica de un P.P.L. Resolución gráfica de un P.P.L. BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román SI NO SI NO SI Solución acotada NO Solución acotada SI NO

10  Método Simplex Método Simplex BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Algoritmo del simplex: 1.Determinar una solución básica factible inicial (punto extremo). 2.Determinar si el paso a una solución básica factible adyacente mejora el valor de la función objetivo. Para ello comprobar: solución óptima. En caso contrario ir al paso 3. 3.Determinar la solución básica factible adyacente con mayor mejora para el valor de la función objetivo. La variable que entra en la nueva base es aquella cuyo correspondiente sea más negativo. La variable que deja la base es aquella que verifica Volver al paso 2 y repetir el proceso hasta alcanzar una solución óptima, obtener una solución no acotada o un problema infactible.

11  Método Simplex Método Simplex BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada M.J. García-Ligero Ramírez P. Román Román Variables artificiales. En muchas ocasiones la adición de variables de holgura y excedente para la resolución de un problema lineal no es suficiente para obtener una solución básica factible inicial. Variables artificiales: son variables auxiliares que se utilizan para identificar una solución factible básica inicial Método de la MMétodo de las dos fases