@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 PROGRAMACIÓN LINEAL U.D. 5 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 PROGRAMACIÓN LINEAL U.D. 5 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 FASES DE RESOLUCIÓN EN PROGRAMACIÓN LINEAL U.D. 5.4 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 PROGRAMACIÓN LINEAL Aunque se utilizaba ya en el siglo XVII, se considera a George Bernard (1947) como el precursor de esta rama de las Matemáticas, al formular y desarrollar los algoritmos necesarios para resolver problemas de programación lineal. Se utiliza en problemas como el de la dieta o el transporte, así como en problemas de planificación económica y social. Se trata de hallar la ganancia máxima o el coste mínimo cuando se dispone de recursos limitados o hay que cubrir unas necesidades mínimas. Un PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL es aquel en que pretendemos hallar el máximo o el mínimo de una función, llamada FUNCIÓN OBJETIVO, sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. Para resolver un problema de programación lineal tendremos que: 1.-Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones. 2,.Determinar la región factible, que será la solución al sistema de inecuaciones lineales formado por las restricciones. 3.-Calcular analítica o gráficamente el punto o puntos donde la función objetivo alcanza el máximo o el mínimo.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Fase 1: LEER EL ENUNCIADO ENUNCIADO Suele ser bastante largo, pues debe ser muy preciso y meticuloso. Hay que leerlo con mucha atención y las veces que sean necesarias. EJEMPLO Un comercial se dedica a la venta de pisos y chalets adosados. Por cada piso que vende recibe una comisión de 1000 €, y por cada chalet adosado vendido recibe 1500 €. El número de pisos en venta de su catálogo es de 40. Por una directiva de su contrato de trabajo debe vender más pisos que chalets. Asimismo calcula que debe vender al menos 40 productos anuales, entre pisos y chalets, para que el trabajo le sea rentable. ¿Cuántos pisos y cuántos chalets debe vender para que el beneficio obtenido sea el máximo?. ¿A cuánto asciende dicho beneficio?.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Fase 2: FUNCIÓN OBJETIVO FUNCIÓN OBJETIVO Suele ser muy fácil de localizar. Es una función o fórmula matemática que nos da el beneficio obtenido en unos casos o los gastos ocasionados en otros casos. Suele tener dos o más variables. EJEMPLO El objetivo del enunciado es conseguir el máximo beneficio con la venta de pisos y chalets. Sea x el número de chalets que vende. Sea y el número de pisos que vende. Por el enunciado ganará 1500 € y 1000 € con cada chalet o piso vendido. Recibirá: Total comisiones = 1500·x + 1000·y Que es la función objetivo, y se designa así: F(x,y) = 1500·x + 1000·y

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 Fase 3: RESTRICCIONES RESTRICCIONES Las restricciones del problema son las trabas, las limitaciones o condicionantes que nos vamos a encontrar a la hora de obtener ese máximo beneficio que se pretende conseguir (o ese mínimo coste para conseguir lo que se pretende). Suele tener dos o más variables. EJEMPLO Hemos llamado x e y al número de chalets y pisos que vende. Como el número de pisos está limitado a 40: y ≤ 40 (1) Como debe vender más pisos que chalets: y > x (2) Como debe vender como mínimo 40 productos: x + y ≥ 40 (3) Que son las tres restricciones, en forma de inecuaciones, que nos impone el enunciado.

7 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 7 RECTAS FRONTERA Representamos gráficamente cada una de las rectas que van a constituir las fronteras de la solución, pertenezcan o no a dicha solución. Para ello despejamos la y en cada una de las inecuaciones dadas: y ≤ 40 (1) y > x (2) y ≥ 40 – x (3) Hacemos una tabla de valores: xy1y2y3 0404 4440 Y trazamos las tres rectas. A B C y x 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Fase 4: RECTAS FRONTERAS

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 REGIÓN FACTIBLE La región factible, limitada por las rectas frontera, es aquella zona donde se encuentra la solución. Señalamos los semiplanos según el signo de las desigualdades. y ≤ 40 (1)  Para abajo. y > x (2)  Para arriba. y ≥ 40 – x (3)  Para arriba. La solución es la zona común a los tres semiplanos, el triángulo ABC, excepto el lado BC, pues el lado BC se apoya en una recta frontera que no es solución de su inecuación. A B C Fase 5: REGIÓN FACTIBLE

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Los vértices de la región factible son los puntos A, B y C: A(0, 40) B(40, 40) C(20, 20) Aunque la zona solución tenga, en este caso, un tamaño finito al estar limitada, las soluciones al sistema son infinitas. En nuestro caso, de todas esas soluciones del sistema sólo nos interesa la que produzca el máximo beneficio, que será la solución al problema. Además, por la naturaleza del enunciado, el par solución (x,y) debe constar de números enteros. En nuestro caso, la solución podría ser (0, 40), (10, 30), etc. No lo son (20, 20), (30, 30) ni (40, 40) por pertenecer al lado BC, cuya recta frontera es discontinua al no incluir el signo =. A B C y x 0 10 20 30 40 10 20 30 40

10 PUNTO DE MÁXIMO BENEFICIO Calcular el punto donde la función objetivo alcanza el máximo valor (o el mínimo si se trata de gastos o pérdidas). Normalmente es un vértice, salvo que éste no forme parte de la región factible, en cuyo caso la solución sería el punto más próximo válido. Tomamos la función objetivo f (x,y) = 1500.x + 1000.y Calculamos su valor en los vértices: f(A) = f(0,40) = 1500.0+1000.40 = 40.000 € f(B) = f(40,40) = 1500.40+1000.40 = 60 000 + 40 000 = 100 000 € f(C) = f(20,20) = 1500.20+1000.20 = 30 000 + 20 000 = 50 000 € Vemos que debemos vender 40 pisos y 40 chalets. Pero el punto (40,40) no es válido al no pertenecer a la región factible. El punto válido más próximo sería: (x, y) = (39,40) Beneficio bruto máximo = f(39,40)=1500.39+1000.40 = 98 500 € @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 Fase 6: CALCULO DEL MAXIMO

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 CÁLCULO GRÁFICO DEL PUNTO MÁXIMO Aunque ya se halla calculado el punto máximo de forma analítica, por este otro método se puede verificar que la solución es la correcta. Tomamos la función objetivo f (x,y) = 1500.x + 1000.y Dibujamos: 1500.x + 1000 y = 0 1000.y = - 1500.x  y = - 2.x/3 Dibujamos las paralelas o funciones afines que pasan por los vértices. Aquella paralela que tenga la mayor ordenada en el origen será la que corresponda al vértice de mayor beneficio. En este caso al vértice B(40,40) Buscando el punto válido más próximo: B. máx = F(39,40) = 98 500 € A B C y x 0 20 40 20 40 Fase 7: CALCULO GRÁFICO Máx. ordenada

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 PUNTUALIZACIÓN IMPORTANTE Si las restricciones del enunciado nos producen una determinada región factible y el punto máximo sabemos que debe estar en uno de sus vértices, dicho vértice solución depende de la función objetivo. Sea la función objetivo: f (x,y) = 2.x + 10.y Función y afines de color azul. El punto máximo estará en el vértice B(0,200) Sea ahora la función objetivo: f (x,y) = 4.x + 5.y Función y afines de color rojo. El punto máximo estará ahora en el vértice C(200,100) A(0,0) C(200,100) D(240,0) B(0,200) Variación de la función objetivo