U-6. Cap. III Introducción a la solución por series.

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1 Unidad 6. Capítulo III. Introducción a las soluciones por series de potencias.

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El método de solución por series de potencias se basa en suponer que una ecuación diferencial dada tiene solución por series de la forma: Encontrar tal solución significa sustituirla en la ecuación, realizando las derivaciones indicadas para, finalmente, determinar los coeficientes desconocidos, ak. Antes de introducir la teoría relacionada con el método, se demostrará su aplicación con ejemplos sencillos con la idea de entenderlo y apreciarlo de la mejor manera.

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Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de valor inicial suponiendo una solución por serie de potencias: Solución: Esta es una ecuación diferencial de primer orden lineal homogénea con coeficientes constantes. Su solución, usando el método analítico convencional, es y = ex. Ignorando, por el momento, esta solución, se intentará resolverla suponiendo la existencia de una solución en serie de potencias de la forma:

4 Al derivar término a término la solución propuesta se tiene:
U-6. Cap. III Introducción a la solución por series. Al derivar término a término la solución propuesta se tiene: y, sustituyendo en la ecuación diferencial: Luego, para igualar las potencias de x en ambas sumas, el índice de la primera se desplaza en 1 y se reemplaza k por k + 1 para obtener:

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Ecuación que se satisface para toda x sí, y sólo si cada coeficiente de las potencias de x es cero. Esta condición (conocida como la relación de recurrencia) permite obtener un número infinito de ecuaciones para la determinación de los coeficientes de la solución. que relaciona cualquier coeficiente con el que le precede. Entonces, si se dispone del valor del primer coeficiente (a0), los demás (a1, a2, a3, ...) pueden determinarse por medio de la relación de recurrencia:

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y en general: lo que permite obtener todos los coeficientes de la solución propuesta, excepto a0. Al sustituir estos coeficientes en la solución se obtiene:

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El valor del coeficiente a0 = 1 se obtiene aplicando la condición inicial y(0) = 1, ya que todos los términos de la serie (excepto el primero) se anulan en x = 0. De esta manera, la solución del problema de valor inicial se expresa mediante la serie de potencias: ya que la serie anterior corresponde exactamente con la expansión de serie de Taylor de la función exponencial ex. Por tanto, usando el método de series de potencias se obtiene el mismo resultado.

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En relación con otros métodos, el procedimiento de solución mediante series de potencias resulta ser más complejo. Sin embargo, el propósito del ejercicio anterior es el de mostrar la confiabilidad de su funcionamiento antes de aplicarlo a problemas que no pueden resolverse a través del uso de otro método analítico. El siguiente ejemplo muestra que el método de series de potencias aplica también en la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

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Ejemplo: Resuelva el siguiente problema de valor inicial suponiendo una solución por serie de potencias: Solución: Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal, homogénea con coeficientes constantes. Su solución general, obtenida por el método convencional es: Haciendo de lado ésta, suponga una solución en serie de potencias de la forma:

10 derivando dos veces término a término se tiene:
U-6. Cap. III Introducción a la solución por series. derivando dos veces término a término se tiene: y, sustituyendo en la ecuación diferencial: En la primera suma, al desplazar en 2 el índice y sustituir k por k + 2, se obtiene:

11 lo que permite obtener la siguiente relación de recurrencia.
U-6. Cap. III Introducción a la solución por series. Ecuación que se satisface para toda x sí, y sólo si cada coeficiente de las potencias de x es cero. lo que permite obtener la siguiente relación de recurrencia. expresión que relaciona un coeficiente con su segundo anterior, es decir, a partir de a0 se obtienen los valores de a2, a4, a6,  y de a1 los de a3, a5, a7, , en la forma:

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entonces: Al sustituir los coeficientes en la solución y determinar las constantes a0 y a1 como factores comunes, se obtiene:

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o bien: Ambas series son las expansiones en serie de Taylor de las funciones cos x y sen x, respectivamente (como 0! = 1, no hay división entre cero en el término k = 0), por lo que: El método de series de potencias permite obtener el mismo resultado. Observe que los coeficientes a0 y a1 representan a las constantes arbitrarias incluidas en la solución general de una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

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A partir de la representación en series de potencias de las funciones cos x y sen x se pueden deducir muchas de sus propiedades. Por ejemplo, cos 0 = 1 y sen 0 = 0; sus derivadas (cos x)´ =  sen x y (sen x)´ = cos x, etc. Las funciones sen x y cos x se pueden definir en términos del análisis de un triángulo rectángulo, pero este ejemplo demuestra que la solución por serie de potencias también puede usarse para definirlas. Es decir, cos x y sen x se pueden definir como la solución de los siguientes problemas de valor inicial:

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Funciones tales como las de Bessel y los polinomios de Legendre se definen de esta manera. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de este método en ecuaciones de coeficientes variables. Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación diferencial suponiendo una solución de serie de potencias. Solución: Esta es una ecuación diferencial de primer orden lineal y su solución analítica es:

16 al sustituirlas en la ecuación diferencial se tiene:
U-6. Cap. III Introducción a la solución por series. suponga que las siguientes series representan la solución y su primera derivada: al sustituirlas en la ecuación diferencial se tiene: o bien: Un cambio de índice en la 2ª suma y observando que la 1ª puede iniciar, sin alteración, en k = 0 resulta en:

17 Esta ecuación se cumplirá para toda x sí y sólo si:
U-6. Cap. III Introducción a la solución por series. o Esta ecuación se cumplirá para toda x sí y sólo si: de donde se obtiene la siguiente relación de recurrencia: Así, si se dispone del valor de a0, entonces a1, a2, a3,  pueden determinarse en la forma: que relaciona un coeficiente con el que le precede.

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entonces: Al sustituir los coeficientes en la solución y determinar a0 como factor común, se obtiene: o bien:

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Esta serie corresponde exactamente con la expansión de la serie binomial (x  1)2, por lo que el resultado obtenido es análogo al del método analítico convencional. Sin embargo, esta solución es engañosa, ya que la solución por series diverge para | x | > 1 en lugar de converger hacia el valor que se obtendría de (x  1)2. Entonces, la solución por serie de potencias obtenida aquí sólo es válida en ese intervalo sin que el procedimiento lo advierta. Esto muestra que se requiere entender la teoría subyacente a este método si se le quiere usar con eficacia y confianza.