Unidad 4 Anexo 3. Capítulo VIII

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1 Unidad 4 Anexo 3. Capítulo VIII
Unidad 4 Anexo 3. Capítulo VIII. Método de los coeficientes indeterminados.

2 U-4.A-3. Cap. VIII. Método de los Coeficientes indeterminados.
El método de coeficientes indeterminados descrito para ecuaciones de 2° orden también aplica, sin modificación alguna, en las ecuaciones de orden superior. Al decidir la forma general de una solución particular correspondiente a un término no homogéneo, no importa si la ecuación es de 2° o de cualquier orden. De modo que se usan criterios análogos a los empleados en las ecuaciones no homogéneas de 2° orden para proponer la forma adecuada de solución particular, sin importar el orden de la ecuación diferencial.

3 2. Una función exponencial, ekx.
U-4.A-3. Cap. VIII. Método de los Coeficientes indeterminados. Por supuesto, aún aplican todas las limitaciones del método que, siendo sencillo, se limita a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuyos términos no homogéneos incluyan alguna de las siguientes formas: 1. Una constante, k. 2. Una función exponencial, ekx. 3. Un polinomio, Pn(x). 4. Las funciones circulares sen bx o cos bx. 5. Un número finito de sus productos.

4 U-4.A-3. Cap. VIII. Método de los Coeficientes indeterminados.
Si algún término en la forma supuesta de la solución particular yp es una solución de la ecuación homogénea asociada, entonces la forma indicada de yp se multiplica por la potencia entera más baja de la variable x, hasta que cada término en yp difiera de cada término en la solución complementaria yc. Si la ecuación diferencial incluye coeficientes variables o términos no homogéneos no adecuados para el método de coeficientes indeterminados, entonces debe usarse un método alternativo: variación de parámetros que se desarrollará posteriormente.

5 Ejemplo: Determine una solución particular de la ecuación diferencial:
U-4.A-3. Cap. VIII. Método de los Coeficientes indeterminados. Ejemplo: Determine una solución particular de la ecuación diferencial: Solución: La solución particular correspondiente al término no homogéneo 10 e3x es de la forma yp = Ae3x, en donde A es un coeficiente indeterminado. Sustituyendo la 2ª y la 3ª derivadas de yp en la ecuación diferencial se obtiene: Así, el único valor de A que satisface la ecuación es:

6 Por tanto, una solución particular de la ecuación dada es:
U-4.A-3. Cap. VIII. Método de los Coeficientes indeterminados. Por tanto, una solución particular de la ecuación dada es: Note que el orden de la ecuación no fue considerado al seleccionar la forma de la solución particular. Ejemplo: Encuentre la solución general de la ecuación: Solución: Primero se determina la solución de la ecuación homogénea asociada y(iv) = 0. Su polinomio característico es r4 = 0 y sus raíces son r1 = r2 = r3 = r4 = 0.

7 Resultado que se puede obtener también por integración directa.
U-4.A-3. Cap. VIII. Método de los Coeficientes indeterminados. Por tanto, r = 0 es una raíz de multiplicidad cuatro; así, la solución general de la ecuación homogénea asociada es: Resultado que se puede obtener también por integración directa. La solución particular que debe proponerse normalmente es yp = Ax + B; sin embargo, cualquier función lineal de x es una solución de la ecuación homogénea asociada. Por tanto, se requiere multiplicar yp por la potencia entera más baja de x hasta que cada uno de sus términos difiera de los de la solución complementaria.

8 Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene:
U-4.A-3. Cap. VIII. Método de los Coeficientes indeterminados. Así yp no debe incluir potencias de x menores de x4, por lo que su forma apropiada es: y su 4ª derivada: Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene: de donde: y así: