Unidad 7. Capítulo VII. Problemas de aplicación.

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1 Unidad 7. Capítulo VII. Problemas de aplicación.

2 1. Movimiento de un oscilador armónico.
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. 1. Movimiento de un oscilador armónico. Determine una expresión que simule el movimiento de un oscilador armónico cuyos coeficientes de restitución elástica y amortiguamiento son k = 5w02m y g = 2w0 m, respectivamente (las constantes w0 y m representan la frecuencia natural de oscilación y la masa del objeto que oscila), si en el momento t = 0 el oscilador se encuentra en estado de reposo en su punto de equilibrio y a partir de ese instante se le aplica una fuerza dada por:

3 Solución: El modelo de un proceso mecánico oscilatorio es:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. Solución: El modelo de un proceso mecánico oscilatorio es: y, en este caso: Condición inicial para un oscilador en reposo y en equilibrio: Aplicando la transformada de Laplace:

4 Factorizando X(s) en el miembro izquierdo de la ecuación:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. se obtiene: Factorizando X(s) en el miembro izquierdo de la ecuación: y despejando:

5 El segundo término cuadrático irreductible del denominador:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. El segundo término cuadrático irreductible del denominador: se puede simplificar, completando un trinomio cuadrado perfecto, para obtener: y si: se tiene:

6 f1(t) y f2(t) se obtienen, en forma directa, de F1(s) y F2(s):
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. f1(t) y f2(t) se obtienen, en forma directa, de F1(s) y F2(s): mientras que g(t) requiere del 1er teorema de traslación: así:

7 usando el teorema de convolución, la solución es:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. usando el teorema de convolución, la solución es: y, resolviendo las integrales se obtiene:

8 U-7. Cap. VII. Problemas de aplicación.
La siguiente gráfica ilustra el comportamiento del sistema oscilatorio, para valores arbitrarios de m y w0.

9 2. Medición de temperatura periódicamente variable.
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. 2. Medición de temperatura periódicamente variable. En un cilindro de motor, cada minuto ocurren 120 explosiones que elevan la temperatura abruptamente (T1), mientras que la expansión subsecuente la disminuye hasta T2. La temperatura del gas contenido en el cilindro se mide por medio de un termómetro apropiado. El elemento del sensor es un alambre de platino de pulgadas de diámetro cuyas propiedades térmicas (difusividad y conductividad) son: en donde cp es el calor específico y r la densidad del alambre de platino.

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Considere que el coeficiente de transferencia de calor para la superficie del alambre es: Obtenga una expresión para la temperatura y elimine los términos que se anulan cuando el tiempo aumenta; ¿cuál es la diferencia entre la máxima temperatura calculada y la temperatura máxima T1?, cuando ésta se expresa como la fracción de la diferencia de temperatura T1  T2. Construya una curva de la lectura de temperatura a través del ciclo completo y compárela a la curva de temperatura real.

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El problema supone que la expansión ocurre de tal manera que la temperatura real en el cilindro, TS, se puede representar con una función diente de sierra, como se muestra en la figura.

12 Solución: Balance de energía:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. Solución: Balance de energía: El calor de los gases en el cilindro (Qt) se transfiere hacia el alambre de platino y determina su variación (Qap): V y A son volumen y área superficial del alambre de platino. Si el alambre es un cilindro de longitud L y radio r: así:

13 en donde TS se modela mediante la función diente de sierra:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. por tanto: en donde TS se modela mediante la función diente de sierra: Entonces, el problema de valor inicial es: con

14 La transformación de la ecuación del balance de energía:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. La transformación de la ecuación del balance de energía: en donde q es la constante: resulta ser: o bien:

15 del teorema de convolución:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. La solución T(t) se obtiene, por separado, aplicando la transformada inversa de cada término: 1er término: 2° término: del teorema de convolución:

16 por tanto: 3er término: entonces: y así:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. por tanto: 3er término: entonces: y así:

17 4° término: se propone un solo término de la sucesión:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. 4° término: se propone un solo término de la sucesión: de manera que: y así: Finalmente, la solución del balance de energía es:

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o bien: y su gráfica (2h = 1):

19 3. Circuitos eléctricos RC en paralelo.
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. 3. Circuitos eléctricos RC en paralelo. Considere el siguiente circuito eléctrico RC: El interruptor se cierra al momento t = 0 y se desea conocer el valor de la corriente en cada ciclo para t > 0. Suponga que las corrientes en los ciclos y las cargas en los dos capacitores son inicialmente cero.

20 Solución: Aplicando las leyes de Kirchhoff a cada ciclo:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. Solución: Aplicando las leyes de Kirchhoff a cada ciclo: La carga en el capacitor en el 2° ciclo es cero y como es continua, se tiene: Análogamente, la carga del capacitor en el lazo interno es: Con esta información y las ecuaciones del sistema se obtiene:

21 Como la corriente es la rapidez de cambio de carga, se tiene:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. Como la corriente es la rapidez de cambio de carga, se tiene: con las condiciones iniciales: Empleando el método de la transformada de Laplace:

22 La solución del sistema en la variable s es:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. se obtiene: y reordenando: La solución del sistema en la variable s es:

23 y expresadas como suma de fracciones parciales:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. y expresadas como suma de fracciones parciales: aplicando la transformada inversa: esta solución cumple con la condición inicial para la corriente:

24 El comportamiento del circuito se muestra en la siguiente gráfica:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. El comportamiento del circuito se muestra en la siguiente gráfica:

25 4. Transferencia de masa por difusión entre fases.
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. 4. Transferencia de masa por difusión entre fases. Suponga que al tiempo t = 0 una mezcla líquida se pone en contacto con su fase vapor, produciéndose un proceso de transferencia de masa en la interfase. Suponga adicionalmente que la concentración en las fases líquida y vapor se relacionan mediante la siguiente ecuación de equilibrio: Asuma que las fases son infinitas en dirección perpendicular a la interfase y encuentre una expresión para la rapidez de transferencia con respecto al tiempo de contacto.

26 La figura siguiente representa las dos fases en contacto:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. La figura siguiente representa las dos fases en contacto: el subíndice i se refiere al componente en la mezcla. Solución: Como la rapidez de transferencia en la interfase es un proceso difusivo entre ambas fases, el modelo que representa los perfiles de concentración es el siguiente:

27 Condiciones a la frontera:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. Fase vapor: Fase líquida: Condiciones a la frontera: i) Interfase: Las concentraciones son las de equilibrio. ii) Lejos de la interfase: no hay transferencia de masa.

28 iii) Las cantidades iniciales de los componentes en ambas
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. iii) Las cantidades iniciales de los componentes en ambas fases están definidos y son constantes. La aplicación del método de la transformada de Laplace simplifica las ecuaciones diferenciales parciales del modelo en las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias: en donde:

29 por tanto, la solución general es:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. Para Y(s): en donde: por tanto, la solución general es: Por analogía, la solución apropiada para X(s) es:

30 La derivada de las funciones obtenidas son:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. La derivada de las funciones obtenidas son: y la transformación de las condiciones a la frontera es:

31 Aplicando la tercera condición a la frontera se obtiene:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. Aplicando la tercera condición a la frontera se obtiene: Por lo tanto, Y(s) y X(s) se reducen a: y sus derivadas:

32 cuya solución para las constantes B1 y B2 es:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. La sustitución de Y(s), X(s) y sus derivadas en las primeras dos condiciones a la frontera permiten obtener el sistema: cuya solución para las constantes B1 y B2 es:

33 U-7. Cap. VII. Problemas de aplicación.
Por lo tanto:

34 U-7. Cap. VII. Problemas de aplicación.
La rapidez de transferencia en la interfase requiere una de las soluciones, así: en donde la derivada: evaluada en z1 = 0 es:

35 y aplicando transformada inversa:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. entonces: o bien: y aplicando transformada inversa:

36 La cantidad total de materia transferida para todo tiempo t es:
U-7. Cap. VII Problemas de aplicación. La cantidad total de materia transferida para todo tiempo t es: en donde, el coeficiente global de transferencia es análogo con el modelo de dos películas “estancadas” cuya capacidad de acumulación del componente que se difunde es despreciable.