Unidad 6 Anexo 1. Capítulo II. Origen de la ecuación de Bessel.

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1 Unidad 6 Anexo 1. Capítulo II. Origen de la ecuación de Bessel.

2 U-6.A-2. Cap. II. Origen de la ecuación de Bessel.
Con el objetivo de mejorar el proceso de transferencia en los intercambiadores de calor, es frecuente usar superficies extendidas, llamadas aletas. El tipo de aleta más usual alrededor de tubos es la circular de espesor uniforme t, como la que se ilustra en la figura:

3 U-6.A-2. Cap. II. Origen de la ecuación de Bessel.
La simetría circular y la conductividad térmica (k) del material hacen que la temperatura (T) en la aleta varíe en dirección radial. El calor (Q) se transfiere al gas circundante desde los dos lados de la aleta, de acuerdo con la ley de Newton del enfriamiento. Si se considera que la temperatura del gas circundante es cero, usando el principio de conservación de la energía y la ley de Fourier de conducción del calor, se puede obtener una ecuación para la variación de la temperatura de la aleta con respecto al radio r, bajo las siguientes condiciones:

4 1) El régimen es permanente.
U-6.A-2. Cap. II Origen de la ecuación de Bessel. 1) El régimen es permanente. 2) El coeficiente de transferencia de calor (h) entre la aleta y el gas circundante permanece constante. Para obtener la ecuación se requiere elegir un elemento de volumen apropiado en la aleta y aplicar el principio de conservación de la energía. Como la temperatura cambia sólo en la dirección r, el elemento es un anillo de espesor dr en la ubicación r dentro de la aleta. Qgas Elemento de volumen: r dr Qr Qr+dr

5 U-6.A-2. Cap. II. Origen de la ecuación de Bessel.
Bajo condiciones de régimen permanente, el contenido de energía del elemento de anillo permanecerá constante. Entonces, la conservación de energía establece que el calor conducido hacia el elemento en la ubicación r debe ser igual a la suma del calor que sale del mismo en r + dr y el calor transferido al gas desde las superficies laterales. Es decir, o

6 Al sustituir en la ecuación, dividir entre dr y reordenar se obtiene:
U-6.A-2. Cap. II Origen de la ecuación de Bessel. donde, por la ley de enfriamiento de Newton, el calor transferido al gas circundante se estima en la forma: ya que Tgas = 0 y el área superficial de las superficies laterales del elemento es S = 2  2p r dr = 4p r dr. Al sustituir en la ecuación, dividir entre dr y reordenar se obtiene: o en el límite, cuando dr  0:

7 La ley de Fourier para conducción del calor establece:
U-6.A-2. Cap. II Origen de la ecuación de Bessel. La ley de Fourier para conducción del calor establece: y al sustituir dividiendo entre la constante 2p k t, se tiene: Realizando la derivada y multiplicando por r después de hacer l2 = 2h/kt, resulta: El parámetro l2 se puede eliminar mediante la definición de una nueva variable x = lr y su diferencial dx = ldr, lo que permite transformar la ecuación diferencial en:

8 La forma general de la ecuación modificada de Bessel está dada por:
U-6.A-2. Cap. II Origen de la ecuación de Bessel. Al comparar esta ecuación diferencial con la ecuación de Bessel se observa que ambas son idénticas, excepto por el signo del último término y porque n = 0. La ecuación anterior se llama ecuación modificada de Bessel de orden cero, y su solución origina a funciones modificadas de Bessel. La forma general de la ecuación modificada de Bessel está dada por: