DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f’(x). Si f’(x) es una función entonce la derivada existe y se.

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1 DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f’(x). Si f’(x) es una función entonce la derivada existe y se denota por f’’(x), la cual se llama segunda derivada. En general la n- ésima derivada de una función viene dada por f n (x).

2 3.Utilizar el teorema para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 4.Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0, entonces: 4.1.Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, f(c) es un max relativo de f. 4.2 Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, f(c) es un min relativo de f. 4.3. Si f’(x) no cambia de signo en c, f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. 5.Para cada punto crítico c encontrar f ( c).

3 EJEMPLO Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función f(x) = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 7

4 SOLUCION 1. Dada la función encontramos la primera derivada. f’(x) = 6x 2 + 6x –12 2.Igualamos f’(x) a cero, esto es: f’(x) = 0 3.Encontramos los puntos críticos, resolviendo la ecuación resultante. 6x 2 + 6x –12 =0 6(x + 2)(x – 1) = 0 x = - 2 y x = 1

5 SOLUCION 4.Ubicar los puntos críticos en una recta numérica como la siguiente:

6 SOLUCION 5.En la última fila se puede obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, esto es: Intervalos de crecimiento: Intervalo de decrecimiento:

7 SOLUCION 6.De acuerdo a la tabla del punto 4, se concluye que hay un máximo relativo en x = 2 y un mínimo relativo en x =1. 7.Las coordenadas de los puntos críticos, reemplazandolos en f(x), son: f(2) = 13 y f (1) = -14

8 CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

9 CONCAVIDAD Sea f definida en un intervalo: 1. f es cóncava hacia arriba si la gráfica se dobla hacia arriba 2. f es cóncava hacia abajo si la gráfica se dobla hacia abajo

10 CONCAVA HACIA ARRIBA Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia arriba en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a, b) la grafica de f esté arriba de la recta tangente en P.

11 CONCAVA HACIA ABAJO Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia abajo en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c, tal que en (a, b) la grafica de f esté bajo la recta tangente en P.

12 TEOREMA Sea f una función derivable en (a, b) con c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f”(x) existe, entonces: 1. Si f”(x) > 0, entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba. 2. Si f”(x) < 0, entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo.

13 PUNTO DE INFLEXION Sea f una función cuya recta tangente en (c, f (c)). Se dice que el punto (c, f (c)) es un punto de inflexión si la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto