Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. En el caso de una variable estadística continua consideramos el.

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1 Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. En el caso de una variable estadística continua consideramos el histograma de frecuencias relativas, y se comprueba que al aumentar el número de datos y el número de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil en la gráfica de una función. Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen mediante una función y=f(x) llamada función de probabilidad o función de densidad. Así como en el histograma la frecuencia viene dada por el área, en la función de densidad la probabilidad viene dada por el área bajo la curva, por lo que: El área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1. Para obtener la probabilidad P(a  X  b) obtenemos la proporción de área que hay bajo la curva desde a hasta b. La probabilidad de sucesos puntuales es 0, P(X=a)=0 Distribución de Probabilidad

2 Parámetros en una distribución de probabilidad Por analogía con las variables estadísticas podemos definir también aquí la media  y la desviación típica  de la variable aleatoria. La media  también llamada esperanza matemática,  es un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria X, lo podemos imaginar como el punto sobre el eje de abscisas donde al poner una cuña la figura plana definida por la función de densidad quedará en equilibrio. Para calcularla hemos de hacer: La desviación típica  es una medida de la dispersión de los valores que toma la variable aleatoria de la media. Como ocurría con las variables estadísticas la desviación típica será más pequeña o más grande según la gráfica de la función de densidad sea más estrecha o más ancha en torno a la media. En este caso se calcula:

3 Probabilidad de x = Función de x Una distribución de probabilidad es un modelo matemático que asocia valores de una variable aleatoria con sus respectivas probabilidades, es decir: Las distribuciones se caracterizan por una fórmula que determina el tipo de distribución y por un conjunto de parámetros, que son propios de cada espacio muestral. En el caso de una variable discreta, la distribución puede describirse mediante una función de probabilidad, que para cada valor de x de la variable X determina la probabilidad de ser asumido: P( X= x) = p (x) o bien por medio de una función de distribución de probabilidad acumulada o simplemente función de distribución, la que, para cada valor provee la probabilidad de no ser superado evidentemente, el valor de la función de distribución es igual a la suma de todos los valores de la función de probabilidad desde el extremo inferior del dominio de la variable hasta x inclusive

4 Ejemplo: Al lanzar dos dados la suma de ambos puede asumir 11 valores diferentes en 36 puntos muestralespuntos muestrales En este caso vemos que la distribución de p(x) obtenida es simétrica. Para el caso de 1 solo dado, donde todos los valores tienen la misma probabilidad de salir (1/6), obtendríamos una distribución uniforme

5 Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario Ā (fracaso). El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de Ā es 1- p y la representamos por q. El experimento consta de un número n de pruebas. Distribución Binomial Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.

6 Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0  p  1 Distribución Binomial La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4,..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k). Se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución. Probabilidad de obtener K éxitos

7 Parámetros de la Distribución Binomial Distribución Binomial Función de Distribución de la variable aleatoria Binomial Esta función de distribución proporciona, para cada número real x i, la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que x i. Siendo K el mayor número entero menor o igual a x i

8 Resumen Distribución Binomial Distribución Binomial Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.

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10 Distribución Binomial Ejemplo La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes: a) Ninguno sufra la enfermedad b) Todos sufran la enfermedad c) Dos de ellos contraigan la enfermedad Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)

11 Distribución de Poisson Esta distribución aparece en algunos procesos que tienen una dimensión temporal o espacial, y en fenomenos que tienen un alto número de experimentos (alto n) y una baja probabilidad de que ocurran (baja p). Ejemplos: número de llamadas telefónicas que recibe un servicio de atención a urgencias durante un intervalo de tiempo determinado número de cultivos infectados por una plaga en una cierta región geográfica La función de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson con media > 0, que simplificamos con la notación P( ), es siendo su función de distribución el sumatorio de cada uno de los valores menores. La media y varianza de X son ambas iguales a, E[S] = V[S] =.

12 Distribución de Poisson Ejemplo El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de  = 43,2 pacientes. Unas obras en las instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio, el cual se sabe que colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cual es la probabilidad de que colapse el servicio de urgencias del hospital? Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribución P(43,2). La probabilidad solicitada es Pr{X > 50} = 1 - Pr{X <= 50} = 1 - F(50) = 0.13. El responsable del servicio deberá valorar si esta probabilidad es lo suficientemente alta como para reforzar la atención de urgencias con más efectivos, materiales, espacios, etc.

13 Distribución de Poisson Ejemplo Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas con dicha enfermedad. Calcular el número esperado de habitantes que la padecen. Consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien aproximado por un modelo de Poisson, de modo que Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es Existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas enfermas es: P=0.7365