Alicia De Gyves López 14030300 Licenciatura Tecnologías de la Información y Comunicación 3º. Cuatrimestre Estadística Descriptiva Distribuciones de Probabilidad.

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1 Alicia De Gyves López Licenciatura Tecnologías de la Información y Comunicación 3º. Cuatrimestre Estadística Descriptiva Distribuciones de Probabilidad Fecha de Entrega: Tutor: Alfredo Rito Domínguez

2 Modelos de Probabilidad
Distribución de probabilidad Variables Aleatorias Media, Varianza y Desviación Estándar de Una Distribución de probabilidad Modelos de Probabilidad Variable Aleatoria Discretas Variable Aleatoria Continuas Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Normal

3 Modelos de probabilidad
Permite calcular todos los resultados probables de un experimento determinado, así como la probabilidad de ocurrencias es estos resultados. Definición de Distribución de Probabilidad Distribución de probabilidad La probabilidad de un resultado especifico está entre cero y uno. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es 1. Características más importantes

4 Modelos de probabilidad Distribución Binomial
Una variable aleatoria x que da el número de éxitos que aparecen al repetir n veces de forma independiente un experimento en idénticas condiciones. Se puede decir que X es una distribución Binomial. Características: Repetir n pruebas independientes de unas a otras. Para cada una de las pruebas solo pueden darse dos resultados: Éxito o Fracaso. La probabilidad de éxito en cada prueba es de p. Ejemplo: X = Número de huevos defectuosos en un paquete de 24. Y = Número de 2 al tirar 10 veces un dado. Las funciones de probabilidad y de distribución de una distribución binomial son las siguientes: 𝒇 𝒙 =𝑷 𝑿=𝒙 =(𝒏 𝒙) 𝒑 𝒙 (𝟏− 𝒑) 𝒏−𝒙 Para x= 0, 1, 2, 3 …n Donde 𝒏 𝒙 = 𝒏! 𝒙! 𝒏−𝒙 ! 𝒚 𝑭 𝒙 =𝑷 𝑿≤𝒙 = 𝒊=𝟎 𝒏 𝑷(𝑿=𝒊) La media y la desviación estándar de una distribución binomial son: µ= n * p σ 𝒏∗𝒑∗(𝟏−𝒑) La distribución de Bernoulli es un caso particular de la binomial cuando n=1.

5 Modelos de probabilidad Ejemplo de una Distribución Binomial
Una empresa industrial que fabrica componentes mecánicos para aviones dispone de dos distribuidores por América, uno situado en Canadá y otro en Brasil. Ambos tienen el 20% de posibilidades de cerrar un pedido con un consorcio industrial de fabricación de aviones.  Si el distribuidor de Canadá contacta con 5 consorcios: ¿Cuál es la probabilidad de que el distribuidor de Canadá consiga a lo sumo 2 acuerdos de distribución? Sea X=”Número de acuerdos de distribución del distribuidor de Canadá a 5 consorcios” p = probabilidad de éxito = P (cerrar un acuerdo) = 0,2 n = número de clientes = 5 X sigue una distribución Binomial, X ∼ B (5, 0,2)  El objetivo es calcular P(X < = 2). P(X<=2) = P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=0,94208 Por su parte, 𝑃 𝑋=0 = 5! 0! 5−0 ! (1−0. 2) 5 = 𝑃 𝑋=1 = 5! 1! 5−1 ! (1−0. 2) 4 =0.4096 𝑃 𝑋=2 = 5! 2! 5−2 ! (1−0. 2) 43 =0.2048 Por lo tanto la probabilidad de que el distribuidor cierre a lo sumo dos acuerdos es igual a ¿Cuál sería el número medio esperado de acuerdos que conseguiría cerrar el distribuidor de Canadá? Para calcular cual será el número medio esperado de acuerdos de distribución más probable que cierre el distribuidor se calcula la media de una distribución binomial que da el número medio de éxitos, en este caso sería, n*p= 5*0,2=1. Por lo tanto el número medio esperado de acuerdos logrados por el distribuidor de Canadá será de 1.

6 Modelos de probabilidad Distribución de Poisson
Considerar que X es una variable que da el número de individuos que presentan una cierta característica por unidad de tiempo, volumen, superficie,… Entonces se puede decir que X sigue una distribución de Poisson. La función de probabilidad de la distribución de Poisson es: Donde λ es el número medio de ocurrencias durante un intervalo específico de tiempo, superficie, ..e es la constante exponencial y x es el número de ocurrencias (éxitos). Se observa la expresión de la función de probabilidad que el parámetro λ caracteriza las variables con distribución de Poisson. Otra característica de la Poisson es que su media es igual a su varianza y ambas son igual al parámetro λ: μ = λ , σ = λ Se observa además que una variable con distribución Poisson toma infinitos valores, 0,1,… Ahora bien, las probabilidades van disminuyendo cada vez más rápidamente cuando el valor es alto, haciéndose prácticamente nulas a partir de un valor. Por esto muchas veces la distribución de Poisson también se la llama distribución de los sucesos “raros” o poco probables. Ejemplo: X= Número de coches que cruzan un cruce en una hora. Y= Número de enfermos de Gripa por año y por Comunidad. Aproximación de la Binomial a la Poisson. Una distribución Binomial con una probabilidad de éxito p muy pequeña y n grande se aproxima a una distribución de Poisson con λ= n*p. Algunas referencias utilizan esta aproximación cuando n>30 y p>0.1 y/o np<5.

7 Modelos de probabilidad Ejemplo de una Distribución Poisson
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? Solución: x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc. λ= 6 cheques sin fondo por día €= 2.718 x= variable que define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, , etc., etc. λ  = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que  llegan al banco en dos días consecutivos Nota:  λ  siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

8 Modelos de probabilidad
Distribución Normal En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinad o parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y e es el gráfico de una función gaussiana. Características: La curva normal tiene forma de campana y un solo pico en el centro de la distribución. De esta manera, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto. La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media. La curva normal desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor central. Es asintótica, lo que quiere decir que la curva se acerca cada vez más al eje X pero jamás llega a tocarlo. Es decir, las “colas” de la curva se extienden de manera indefinida en ambas direcciones.

9 Modelos de probabilidad Ejemplo de una Distribución Normal
El director de Recursos Humanos de una empresa, desea estudiar el nivel de precisión de las 70 secretarías de su compañía. Anteriormente, el número diario de errores de procesamiento de palabras cometido por cada secretaria había sido aproximadamente normal con un promedio de 18 y una desviación estándar de 4. El director de Recursos Humanos inspecciona actualmente a 15 secretarias elegidas aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que el número promedio de errores por secretaria sea mayor de 20? Por lo tanto existe una probabilidad de 0,0262 de que el número medio de errores por secretaria sea mayor que 20.

10 Modelos de probabilidad Distribución Exponencial
Distribución de probabilidad muy utilizada Estudia el tiempo que transcurre hasta que sucede el primer evento. Es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser en número entero. Esta distribución se modela con la distribución de Poisson: Cuando se desea saber el tiempo de espera en que ocurra un éxito, y el tiempo de espera entre los éxitos. La variación aleatoria X es igual a la distancia entre ocurrencias sucesivas de un Proceso Poisson con media λ>o, tiene una distribución exponencial con parámetro λ; la función de densidad de probabilidad de X es: 𝒇(𝒙;𝝀=𝝀 𝒆 −𝝀𝒙

11 Modelos de probabilidad Ejemplo de una Distribución Exponencial
En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser atendido en cajas al pagar la mercancía es de 7 min. Determine la probabilidad de que:• A) Un cliente espere menos de 4 min. B) Un cliente espere más de 9 min. λ= λ= 1/7= k= 4 − 𝒑 𝒙≤𝟒 =𝟏− 𝟐.𝟕𝟏𝟖𝟐𝟑 −𝟎.𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏 = = 43.52% λ= k=9 − 𝒑 𝒙≥𝟗 =𝟏− 𝟐.𝟕𝟏𝟖𝟐𝟑 −𝟏.𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟕𝟖 = =27.64% Este problema se realizó según el tipo de casos de esta distribución. Este tipo de distribución se basa en el tiempo es decir minutos, segundos o determinado lapso de tiempo. Como en este problema utilizamos una situación de espera en promedio el cliente para ser atendido al momento de pagar, es decir el tiempo promedio y también se puso algunas probabilidades para utilizar como rangos o datos que se quieren saber.