@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 14 * 1º BCS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 14 * 1º BCS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 U.D. 14.2 * 1º BCS PARÁMETROS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 ESPERANZA MATEMÁTICA MEDIA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. _ No difiere su cálculo de la media de una variable estadística, x. Se denota por la letra griega μ. Se llama valor esperado o esperanza matemática, nombre preveniente de los juegos de azar, origen de la probabilidad. μ es la medida utilizada para medir la equidad de un juego. Si μ = 0, no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca. Por cada 100 € jugados: μ = 70 en la Lotería Nacional. μ = 55 en la Lotería Primitiva o en la Quiniela de fútbol. Forma de hallarla:μ = Σ xi. pi

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 EJEMPLO 1 El dado con 1 uno, 2 doses y 3 treses. μ = Σ xi. Pi μ = 1.(1/6) + 2.(2/6) + 3.(3/6) = 1/6 + 4/6 + 9/6 = 14/6 = 2,33 Lo que significa que el valor esperado al lanzar dicho dado es de un 2. EJEMPLO 2 Los diez amigos que se reúnen para salir en número aleatorio. μ = Σ xi. Pi μ = 3.0,10 + 4.0,13 + 5.0,24 + 6.0,20 + 7.0’14 + 8.0’08 + 9.0’06 + + 10.0’05 = = 0,3 + 0,52 + 1,25 + 1,2 + 0,98 + 0,64 + 0,56 + 0,5 = 5,95  6 Lo que significa que el valor esperado en dicha observación es de 6 personas.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Desviación típica (σ) DESVIACIÓN TÍPICA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE P. DISCRETA. No difiere ni su nomenclatura ni su cálculo de la desviación típica de una variable estadística. Forma de hallarla:σ = √ Σ (xi – μ) 2. pi EJEMPLO 1 El dado con 1 uno, 2 doses y 3 treses. σ = √ (1 – 2,33) 2. 1/6 + (2 – 2,33) 2. 2/6 + (3 – 2,33) 2. 3/6 = = √(0,2963 + 0,0370 + 0,2222) = √ 0,5555= 0,7453 EJEMPLO 2 Los diez amigos que se reúnen para salir en número aleatorio. σ = √ (3 – 5,95) 2. 0,10 + (4 – 5,95) 2. 0,13 + (5 – 5,95) 2. 0,25 + (6 – 5,95) 2. 0,20 + + (7 – 5,95) 2. 0,14 + (8 – 5,95) 2. 0,08 + (9 – 5,95) 2. 0,06 + (10 – 5,95) 2. 0,05 = = √ ( 0,9 + 0,52 + 0,25 + 0 + 0,14 + 0,32 + 0,54 + 0,9 ) = √ 3,57 = 1,89 El 68% de las veces se reúnen entre 4 (5,95 – 1,89) y 8 (5,95 + 1,89) amigos

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 EJEMPLO 3 En urna hay 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si sacamos una bola negra pagamos a la banca 5 Euros, pero si es blanca ganamos 10 Euros. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. 2 xipixi – μ(xi – μ).pi -55/8 = 0,625-5,52519,08 103/8 = 0,3759,47533,66 ∑= 52,74 μ = -5.0,625+10.0,375 = -3,125 + 3,75 = 0,525 Sí jugaría, pues tengo ventaja. σ = √ 52,74 = 7,275 CV (x) = 7,275 / 0,525 = 14

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 EJEMPLO 4 Lanzamos dos monedas al aire. Apostamos 5 Euros. Si salen dos caras, volvemos a tirar; si salen dos cruces, nos llevamos 10 Euros; pero si sale una cara y una cruz perdemos lo apostado. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. Xipi - 52/4 = 0,5 01/4 = 0,25 101/4 = 0,25 μ = - 5. 0,5+ 0. 0,25 + 10. 0,25 = -2,5 +0 + 2,5 = 0 Al ser μ = 0 el juego es equitativo, no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca,

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 EJEMPLO 5 En una urna hay 2 bolas blancas y 5 bolas rojas. Extraemos una bola y la sustituimos por otra de distinto color. Luego extraemos otra bola. Si el resultado es BB, ganamos 50 Euros; si es BR, ni ganamos ni perdemos; si es RB perdemos 5 Euros; y si es RR perdemos 10 Euros. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. P(BB) = 2 / 7. 1/ 7 = 2 / 49 = 0,041 P(BR) = 2/ 7. 6 /7 = 12 / 49 = 0,245 P(RB) = 5 / 7. 3 / 7 = 15 / 49 = 0,306 P(RR) = 5 / 7. 4 / 7 = 20 / 49 = 0,408 Xipi 500,041 00,245 - 50,306 - 100,408 μ = 50. 0,041+ 0. 0,245 – 5.0,306 – 10.0,408 = - 3,56 No jugaríamos, pues tenemos desventaja, no es equitativo.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 EJEMPLO 6 Lanzamos dos dados en forma de tetraedro, uno con las caras numeradas del 0 al 3, y el otro con las caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la esperanza matemática o valor esperado de la función que asigna a cada valor de x la suma de resultados?. xifipixi.pi 110,06250,0625 220,1250 0,25 330,18750,5625 440,251,00 530,1875 0,9375 6 20,12500,75 7 10,06250,4375 164,00 X / Y 1234 01234 12345 23456 34567 μ = ∑xi.pi = 4