@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 14 * 1º BCS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 U.D. 14 * 1º BCS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 U.D. 14.1 * 1º BCS VARIABLE DISCRETA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Definiciones En un experimento aleatorio se llama variable aleatoria toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar valores aislados (valores finitos en un intervalo finito). Por ejemplo, edad de una persona, nº de hermanos, etc. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar todos los valores posibles de un intervalo (infinitos valores en un intervalo finito). Por ejemplo, peso de una persona, altura de una persona, etc. La función o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, es la aplicación que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD 1.-La probabilidad pi de un valor xi, pi = P(X = xi) es un número no negativo entre 0 y 1 0 ≤ pi ≤ 1 2.-La suma de las probabilidades de los valores del recorrido de la variable es 1. Σ pi = 1 3.-La probabilidad de que una variable aleatoria tome algún valor dentro de un conjunto de valores concretos es la suma de probabilidades asociadas a cada uno de ellos. EJEMPLO DE APLICACIÓN 1 Se lanzan un dado al aire con 1 uno, 2 doses y 3 treses. Se observa que los valores de pi son positivos, entre 0 y 1. La suma de probabilidades es 1/ 6 + 2/ 6 + 3/6 = 6/6 = 1 P(1 ≤ X ≤ 2) = P(X=1)+P(X=2) = 1/6 + 2/6 = 3/6 = ½ = 0,50 Valores de la variable aleatoria discretaxi123 Probabilidades correspondientespi1/62/63/6

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 EJEMPLO DE APLICACIÓN 2 Un grupo de diez amigos acostumbran a salir juntos frecuentemente. Pero cada vez que salen, el número de ellos es aleatoriamente distinto. Sea x el nº de personas que salen juntas. Sabemos que 3 ≤ x ≤ 10. X es una variable DISCRETA, o sea toma valores finitos ( enteros en este caso ) en [ 3, 10 ] Imaginemos que anotamos el número de ello cada vez que salen juntos, o sea repetimos la misma observación hasta un número muy grande de veces. Según la ley del azar, en todo experimento aleatorio, las frecuencias relativas tienden a su probabilidad cuando el número de datos es suficientemente grande. Vemos que las frecuencias relativas se han convertido en las probabilidades. La variable estadística x toma el nombre de variable aleatoria en la distribución de probabilidades. La distribución de probabilidad es una idealización de la distribución de frecuencias.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Tabulación de resultados observados X345678910 f10130032 f5 1827191173100 f1819363226302615200 f1001302402001408060501000 hi0,100,130,240,200,140,080,060,051 P(X)0,100,130,240,200,140,080,060,051 La frecuencia relativa (hi) es hi = f / Σ f, que es la probabilidad P(x) cuando Σ f es muy grande.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 … EJEMPLO 2 Se observa que las distintas probabilidades presentan un valor positivo entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de la variable es la unidad. Es una función de probabilidad discreta. Calculemos la probabilidad de que se junten 5, 6 ó 7 amigos: P(5 ≤ X ≤ 7) = P(X=5) + + P(X=6) + P(X=7) = = 0,24 + 0,20 + 0,14 = = 0,58 3 4 5 6 7 8 9 10 X P(X=xi) 0,05 0,24 0,14 0,10 0,20 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD