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Oscilaciones amortiguadas y forzadas Oscilador No amortiguado Amortiguado 1 No Forzado (M.A.S.) Forzado No Forzado Forzado.

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1 Oscilaciones amortiguadas y forzadas Oscilador No amortiguado Amortiguado 1 No Forzado (M.A.S.) Forzado No Forzado Forzado

2 Equilibrio Oscilador libre no amortiguado (M.A.S.) con E.D.O. homogénea de 2do orden Condiciones iniciales t x x0x0 A A 2

3 Oscilador libre amortiguado Resorte con émbolo Sumergido en un fluido Equilibrio E.D.O. homogénea 2do orden Modelo propuesto: fuerza disipativa proporcional a la velocidad con b R 0 (constante de amortiguamiento, [b]=kg/s C.I. 3

4 Sub-amortiguado De acuerdo a la relación entre y 2 la respuesta tendrá distinta naturaleza Sobre-amortiguado t x Crítico 4

5 Oscilador libre amortiguado. Caso sub-amortiguado (amortiguado subcríticamente) con C.I. A a y a función periódica función pseudo-periódica t A a e t AaAa A a x 5 Cuanto más fuerte es la disipación, mayor es T a es menor la frecuencia (menos ciclos por u. de tiempo)

6 C.I. t=0 Energía Caso de interés: << 0 (amortiguamiento débil) << Tiempo característico E(t= )=E 0 e 1 La energía es aprox. constante en un ciclo pero decrece exponencialmente en un Intervalo que incluya varios ciclos 6

7 El tiempo característico mide la vida del oscilador Si lo comparamos con el período T 0 del oscilador libre sin amortiguación: donde Factor Q (factor de calidad del resonador) Amortiguamiento débil << 0 : Altavoz Q~ ; circuitos eléctricos sintonizados con cavidades resonantes Q~ Oscilador de cristal de cuarzo Q~10 4 ; láser gaseoso Q~10 14 (Q: número de ciclos requeridos para que la energía mecánica decaiga un factor e ) Si la pérdida relativa de energía por ciclo es pequeña, asociamos Hablemos del vínculo de Q con la energía ¿Y si << 0 ? 7

8 Oscilador libre amortiguado. Caso sobre-amortiguado exponenciales reales decrecientes con r 1, r 2 <0 ¿Factor Q? 8 No hay movimiento oscilatorio (tiende al equilibrio sin oscilar) Pueden o no cruzar una vez por la posición de equilibrio ¿C.I.? A 1, A 2

9 Oscilador libre amortiguado. Caso críticamente amortiguado raíz doble ¿Factor Q?¿C.I.? A igualdad de condiciones iniciales, en el amortiguamiento crítico se llega al equilibrio más rápido que en caso sobre-amortiguado (importante en el diseño de sistemas; ej. amortiguadores; galvanómetros) 9 Fluido viscoso Pistón con Agujeros Amortiguador Resorte enrollado

10 Oscilador forzado Equilibrio E.D.O. inhomogénea de 2do orden Modelo propuesto para la fuerza externa: variación armónica en el tiempo 10 Régimen Transitorio (Importan las C.I. y las características del resorte y del forzante) Fuerzas de disipación no nulas Régimen Estacionario (el oscilador está obligado a moverse con la frecuencia externa) (analizada anteriormente) (t >> )

11 Inhomogeneidad armónica solución particular armónica del mismo período e = (t grandes) ¿A? ¿ ? 0 0 Si 0 11 A cos( t ) A sen( t ) 2 A cos( t ) L.I.

12 En régimen estacionario A A(t) el flujo de energía que posee el agente exterior al sistema compensa la pérdida por disipación = e el agente externo impone el ritmo Desfasaje entre la fuerza externa y la respuesta del sistema Si el amortiguamiento es muy débil 0 e 0 A 12

13 Frecuencia de resonancia Máxima amplitud en las oscilaciones del sistema Máxima transferencia de energía del agente al oscilador 13

14 Respuesta en frecuencia del oscilador Tres dominios: 0 La fuerza aplicada no es más que la necesaria para comprimir el resorte. El efecto de inercia del oscilador es despreciable. El oscilador está gobernado por la rigidez. Si < 0 Si > 0 La inercia juega el papel principal. La diferencia de fase es cercana a. El oscilador está gobernado por la masa. Si 0 Sin rozamiento las contribuciones a la fuerza debidas a la inercia y a la rigidez se anulan entre sí. Fuerza externa Amplitud infinita, el modelo estudiado no sería representativo de la situación real. El factor que rige es el rozamiento. ¿Hay que evitar trabajar en resonancia o es deseable? 14

15 Puente de Tacoma (7/XI/1940) Uso de sordina en un violín Resonancia magnética nuclear Diversión en una hamaca 15

16 Estudio de la potencia cedida por la fuerza externa al oscilador Potencia instantánea Cap.14 ej.125–ej.126 Tipler-Mosca 5ta. Ed. Potencia media MAX (1/2) MAX Amortiguamiento pequeño, Q grande 0 Amortiguamiento pequeño, Q pequeño 16 Curvas de resonancia

17 ¿Y si el forzante no sigue una ley armónica? Resolver la E.D.O. inhomogénea de 2do orden ¿Y si se desea estudiar la respuesta transitoria? Resolver la E.D.O. inhomogénea de 2do orden en forma completa, conocer condiciones iniciales 17


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