INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR 7 Funciones INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA Las funciones no.

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1 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR 7 Funciones INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades. ACTIVIDAD

2 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca en la web Enlace a la biografía de Leibniz Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y sin dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años después, pero publicándolos antes, van a crear la herramienta más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de todas las ciencias: el Cálculo. El calculo

3 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Esquema de contenidos Funciones Coordenadas cartesianas Concepto de función Estudio de una función Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad Representación gráfica Tablas Dominio y recorrido Funciones definidas a trozos

4 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Coordenadas cartesianas Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se escribe: P (x, y) SIGUIENTE

5 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Concepto de función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. SIGUIENTE

6 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Concepto de función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. No es función Sí es función SIGUIENTE Una función real f de variable real es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real y =f(x). Se puede expresar de esta forma:

7 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Concepto de función Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado. Y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x. No es función Sí es función SIGUIENTE

8 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Función expresada mediante tabla de valores, gráfica, fórmula o enunciado Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten. Horas desde la apertura Nº personas SIGUIENTE Gráfica Fórmula o expresión analítica Enunciado Altura de una piedra, en función del tiempo, que cae desde una altura inicial de 20 metros

9 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. Dom f(x) El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Im f(x) SIGUIENTE

10 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Dominio y recorrido Se llama dominio de una función f(x) a todos los valores de la variable independiente que tienen imagen. Dom f(x) El recorrido o la imagen de una función f(x) es todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Im f(x) SIGUIENTE

11 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. SIGUIENTE

12 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Funciones definidas a trozos En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos. Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos. La función definida es: SIGUIENTE

13 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Propiedades de funciones Continuidad Puntos de corte Crecimiento y decrecimiento Simetrías Periodicidad SIGUIENTE

14 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función. SIGUIENTE

15 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Función continua Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo. Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo. Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función. discontinua continua discontinua SIGUIENTE

16 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. P.C: Eje X, hacemos y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0. P.C: Eje Y,hacemos x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0. SIGUIENTE

17 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Puntos de corte Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados. P.C: Eje X, hacemos y = 0 Son de la forma (a, 0). Se hallan calculando los valores de la variable x, cuando la variable y toma el valor 0. P.C: Eje Y,hacemos x = 0 Son de la forma (0, b). Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0. (0, 2) corte con eje Y (-3, 0) corte con eje X SIGUIENTE

18 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Crecimiento y decrecimiento Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. SIGUIENTE

19 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Crecimiento y decrecimiento en un intervalo (a,b) Decreciente en (-∞, -5) Decreciente en (4, + ∞) Creciente en (5, 4) SIGUIENTE Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y. Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

20 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Crecimiento y decrecimiento punto x=x o Decreciente en x=7 Decreciente en x=5 Creciente x=0 SIGUIENTE Una función es creciente en un punto si existe un intervalo centrado en x o, (x o -h,x o +h) para el que la función es creciente Una función es decreciente en un punto si existe un intervalo centrado en x o, (x o -h,x o +h) para el que la función es creciente

21 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Concavidad y convexidad. SIGUIENTE Una función es concava en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por debajo de la gráfica Una función es convexa en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por encima de la gráfica Si la recta tangente en un punto atraviesa la gráfica de la función, decimos que la función tiene un punto de inflexión. Un punto de inflexión es, por tanto, un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. Cóncava Convexa

22 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Máximos y mínimos relativos Mínimo en x = -5 Máximo en x = 4 En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a decreciente se dice que la función alcanza un máximo relativo. Una función f presenta un máximo relativo en un punto x o si existe un intervalo centrado en x o, (x o -h,x o +h) tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple que f(x)<f(x o ) En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a creciente se dice que la función alcanza un mínimo. Una función f presenta un mínimo relativo en un punto x o si existe un intervalo centrado en x o, (x o -h,x o +h) tal que para cualquier punto x del intervalo se cumple que f(x)>f(x o ) SIGUIENTE

23 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Simetrías Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y) o simetría par Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando Simetría respecto del origen o simetría impar Una función es simétrica respecto del origen cuando SIGUIENTE

24 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Simetrías: ejemplos )()( par xfxfSimetría  )()( impar xfxfSimetría  SIGUIENTE

25 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Periodicidad Una función f es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T (T>0), se le llama periodo. Es decir, se cumple que: Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por todo el dominio. SIGUIENTE

26 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Estudia la función de la gráfica. SIGUIENTE

27 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Transformaciones de funciones I La gráfica se obtiene trasladando f(x) verticalmente k unidades hacia arriba, si k>0, y k unidades hacia abajo, si k<0 La gráfica se obtiene trasladando f(x) horizontalmente k unidades hacia la izquierda, si k>0, y k unidades hacia la derecha, si k<0

28 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Transformaciones de funciones II La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto al eje X. La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto del eje Y.

29 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Ejemplo: Transformaciones de funciones Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica. 1 unidad izquierda 2 unidades arriba 2 unidades derecha 4 unidades abajo 3 unidades izquierda Todas son transformadas de la función

30 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Operaciones con funciones Dadas dos funciones f y g: ● Suma de funciones: (f+g)(x) ● Producto: (f·g)(x) ● Cociente: El dominio de las funciones f+g y f·g es el conjunto de valores que pertenecen a Domf y Dom g: El dominio de las función es el conjunto de valores que pertenecen a Domf y Dom g y, además, no anulan el deniminador g(x). Ejemplo:

31 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Composición de funciones Dadas dos funciones, f y g, se llama función compuesta de f con g a la función (g o f) que cumple que: El dominio de la función g o f es el conjunto de valores que cumplen que: ● x está en el dominio de f ● f(x) está en el dominio de g Se lee f compuesta con g de x La composición de funciones no es commutativa:

32 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Función inversa La función inversa de una función f es otra, f -1 tal que: Se cumple que: A Id se le denomina función Identidad y se define como

33 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Gráfica de la Función inversa Las gráficas de una función y de su inversa son simétrica respecto a la recta y = x (bisectriz del primer cuadrante) Para calcular la función inversa de una función: a) Expresamos la función en la forma y=f(x) e intercambiamos x por y en ambos miembros. b) Despejamos y en la ecuación resultante.

34 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Estudio de una función I Dominio: Recorrido: Puntos de corte: P(0,0) 0 x P(-5,0) -5 x: X   Eje P(0,0) 0 y: Y  Eje Continuidad: Crecimiento y decrecimiento: Máximos y mínimos: Simetría Periodicidad. ) (0,,-3)(- creciente (-3,0)  edecrecient,0)0( en mínimo (-3,3) en áximom la función es continua. No Máximos y mínimos absolutos: No

35 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Estudio de una función II Dominio: Recorrido: Puntos de corte: Continuidad: Crecimiento y decrecimiento: Máximos y mínimos: Simetría. Periodicidad La función NO es continua.en todos los puntos. En el intervalo (-4,-2) no está definida No

36 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Enlaces de interés DivulgaMat IR A ESTA WEB Diccionario matemático IR A ESTA WEB

37 INICIOESQUEMA INTERNETACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. CT Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR Actividad: La función lineal y la función afín En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b. Para conocerlo, sigue este enlace.enlace Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm