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Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE.

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1 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

2 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Campos magnéticos

3 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.1 Introducción ´ 7.2 Objetivo general 7.3 Objetivos especifico 7.4 Campo Magnético 7.5 Definición de campo magnético 7.6 Fuerza de Lorentz 7.7 Fuerza sobre un conductor que lleva una corriente 7.8 Par en un lazo de corriente 7.9 Movimientos de partículas cargadas en campos magnéticos 7.10 Aplicación de campos eléctricos y magnéticos combinados 7.11 Auto-evaluación 7.12 Solucionarlo Unidad VII

4 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Quizá su aportación más importante fue la demostración experimental de la naturaleza magnética de la tierra. También fue el primer defensor en Inglaterra del sistema de Copérnico sobre la mecánica celeste y planteó que no todas las estrellas fijas están a la misma distancia de la Tierra. Su obra más importante fue De Magnete (1600), quizá la primera gran obra científica escrita en Inglaterra. Gilbert, William ( ), físico y médico inglés conocido sobre todo por sus experimentos originales sobre la naturaleza de la electricidad y el magnetismo. Gilbert descubrió que muchas sustancias tenían la capacidad de atraer objetos ligeros cuando se frotaban y aplicó el término eléctrica para la fuerza que ejercen estas sustancias después de ser frotadas. Fue el primero en utilizar términos como 'energía eléctrica', 'atracción eléctrica' y 'polo magnético'. William Gilbert

5 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Pero fue James Maxwell quien, a finales de 1860, llevo la síntesis definitiva de la electricidad y el magnetismo. En este capitulo estudiaremos los fenómenos magnéticos, su relación con los fenómenos eléctricos, sus aplicaciones practicas y otras consecuencias notables de las ecuaciones de Maxwell. Hace miles de años se sabe que trozos de mineral magnetita, llamados imanes, ejercen entre si lo que ahora llamamos fuerzas magnéticas. Los marineros han empleado la piedra imán durante mas de 800 años. En 1600 Willian Gilbert sugirió que la brújula se comporta como lo hace por que la tierra es, en si, es una gigantesca piedra imán. El magnetismo no se relaciono con la electricidad sino hasta el año 1819 cuando Hans C. Oersted encontró que se presentan fenómenos magnéticos cuando se mueven cargas eléctricas, en 1820 Faraday y Henry realizaron trabajos para descubrir la relación entre la electricidad y el magnetismo. 7.1 Introducción

6 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.2 Objetivo general Introducir al estudiante con las teorías, principios y leyes que rigen el electromagnetismo, que determinan la valoración e instrumentación conceptual y práctica de los fenómenos magnéticos.

7 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.3 Objetivos específicos Capacitar al estudiante para que interprete, establezca y aplique la relación e interacción entre los fenómenos eléctricos y magnéticos. Determinar las aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos que son base del desarrollo de la ciencia y la tecnología con el objeto de proyectar al ingeniero en su quehacer profesional.

8 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Oersted, Hans Christian ( ), físico y químico danés, que demostró la existencia de un campo magnético en torno a una corriente eléctrica. Nació en Rudköbing y estudió en la Universidad de Copenhague. Fue profesor de física en esa universidad en En 1819 descubrió que una aguja imantada se desvía colocándose en dirección perpendicular a un conductor por el que circula una corriente eléctrica, iniciando así el estudio del electromagnetismo. Al parecer, también fue el primero en aislar el (1825) aluminio. En 1844 apareció su Manual de física mecánica.". Hans Christian Oersted

9 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA B B Nadie ha encontrado un polo magnético, llamado monopolo. Por esta razón, las líneas de campo magnético forman lazos cerrados (solenoides). Fuera del imán las líneas van del polo norte al polo sur; dentro del imán se dirigen del polo sur al polo norte. Los polos del imán no están localizados en puntos precisos sino más bien en regiones cerca de los extremos del imán. La dirección del campo magnético B es la fuerza sobre el polo norte de un imán de barra, o la dirección en que apunta la aguja de una brújula. El campo magnético, B, en un punto está a lo largo de la tangente de una línea de campo. 7.4 Campo magnético Cuando se esparcen limaduras de hierro alrededor de un imán de barra, forman un patrón característico que muestra cómo la influencia del imán se extiende al espacio que lo rodea.

10 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA N S N S N S N S N S N S SNSN SN Cuando tenemos dos imanes y encaramos polos diferentes (norte-sur) se produce una fuerza de atracción. Si colocamos dos imanes enfrentando polos iguales (norte-norte o sur-sur) se genera una fuerza de repulsión.

11 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA N S Cuando tenemos un imán recto y colocamos una brújula o limaduras de hierro cerca de este, la brújula y las limaduras se alinean en ciertas direcciones, y se agolpan mas densamente cerca de los polos, es decir, es mas intenso el campo magnético cerca de los polos.

12 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA N S S N Cuando tenemos dos imanes y encaramos polos diferentes (norte-sur) se produce una fuerza de atracción. Si colocamos dos imanes enfrentando polos iguales (norte-norte o sur-sur) se genera una fuerza de repulsión y las líneas de el campo magnético tienden a separarse.

13 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA N S Para distintos imanes, las brújulas o las limaduras de hierro esparcidas cerca de los tienen distintos patrones característicos.

14 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA

15 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA I Vista del alambre que conduce una corriente I por encima. Cuando esparcimos limaduras de hierro o colocamos brújulas cerca de una corriente eléctrica, los alineamientos son concéntricos alrededor del conductor que transporta la corriente I, este es un indicio que las fuerzas magnéticas se relación con cargas en movimiento. Consideremos un conductor que corta un plano y transporta una corriente eléctrica I.

16 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En el estudio de la mecánica se encontró que en una región del espacio donde se encuentre una masa, está genera un campo gravitacional, si dentro de ese campo colocamos otro cuerpo se genera una fuerza de carácter gravitacional. Durante el estudio de la electrostática concluimos que en una región del espacio donde se encuentra una carga en reposo, allí existe un campo electroestático, si dentro de ese campo eléctrico colocamos otra carga se genera una fuerza de carácter eléctrico. La experiencia demuestra que en toda región del espacio, donde se encuentra una carga en movimiento, existe un campo magnético el cuál ejerce su acción sobre otra carga, también en movimiento, que se encuentra en dichas región. Con el propósito de introducir una magnitud que nos caracterice el campo magnético nos basaremos en el experimento, suponemos que en estos experimentos se realizan en un entorno en el que otras fuerzas, como la de la gravedad, puedan despreciarse. 7.5 Definición de campo magnético

17 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA + Supongamos que la carga Q positiva se mueve con una determinada velocidad dentro de este campo formando un ángulo con respecto a las líneas de campo magnético. S N B X Z Y Imaginémonos que tenemos un imán recto con su polo norte N orientado en la dirección ^ i

18 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA A medida que el ángulo crece hasta 90° la fuerza va aumentado hasta hacerse máxima, luego empieza a decrecer, cuando la velocidad y las líneas de campo son antiparalelos la fuerza nuevamente se hace cero, es decir, F sen X Z Y F + F + F + F + F + + F B Cuando la velocidad es paralela a las líneas del campo magnético no se observa ninguna interacción. teniendo la carga y la velocidad constantes.

19 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA A medida que la carga aumenta la fuerza aumenta en igual proporción, por tanto, concluimos que la F Q X Z Y B + F ++ F +++ F Ahora, dejaremos constante el ángulo con respecto a las líneas de campo y la velocidad, y variaremos la magnitud de la carga.

20 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA B X Z Y + F + F + F La F es directamente proporcional a la magnitud de la v cuando la carga y el ángulo con respecto a las líneas de campo permanecen constantes.

21 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F v F sen F Q F Q v Sen la magnitud de la fuerza viene dada por: F = Q v B Sen Por definición del producto vectorial F = Q v B La dirección de la fuerza para una carga negativa la da la regla de la mano derecha. B v FF F, v y B son perpendiculares entre si. B F v -

22 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F v B el vector campo magnético entra a la palma de la mano, el vector velocidad sale de la palma de la mano hacia el dedo del corazón y el vector fuerza magnética tiene la dirección del dedo pulgar. La dirección de la fuerza para una carga positiva tiene sentido contrario.

23 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA es un vector que sale de la pantalla F F v B v Regla de la mano derecha para una carga negativa. es un vector que entra a la pantalla -

24 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA v B F F v B B B F v v B F v F B v F Regla de la mano derecha para una carga negativa

25 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F = Q v B La unidad del campo magnético es la tesla T, como: N = C * m/s * B B = (N*s) / (C*m), multiplicando por m B = (N*m*s / C)*(1/m 2 ) = (J*s / C)*(1/m 2 ) B = (J / A) / (1/m 2 ) = Weber / m 2 = T = Tesla Weber = T * m 2

26 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En 1888 Tesla diseñó el primer sistema práctico para generar y transmitir corriente alterna para sistemas de energía eléctrica. Los derechos de ese invento, trascendental, en esa época, fueron comprados por el inventor estadounidense George Westinghouse. Dos años más tarde los motores de corriente alterna de Tesla se instalaron en el diseño de energía eléctrica de las cataratas del Niágara. Entre los muchos inventos de Tesla se encuentran los generadores de alta frecuencia (1890) y la bobina de Tesla (1891), un transformador con importantes aplicaciones en el campo de las comunicaciones por radio. Nikola Tesla ( ) nació en Croacia, Ingeniero electrotécnico e inventor nacionalizado estadounidense, reconocido como uno de los más destacados pioneros en el campo de la energía eléctrica, trabajó para Thomas Edison, pero abandonó el cargo para dedicarse en exclusiva a la investigación experimental y a la invención. la unidad del vector campo magnético B lleva su nombre. Nikola Tesla

27 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La cola de una flecha (vector) se utiliza para denotar el campo magnético que entra a la pantalla. La figura representa un campo magnético que entra a la pantalla. La cabeza de una flecha (vector) se utiliza para denotar el campo magnético que sale de la pantalla. La figura representa un campo magnético que sale de la pantalla.

28 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA ^ i ^ k = ^ - j ^ i ^ j = ^ k ^ j ^ k = ^ i ^ k ^ i = ^ j ^ k ^ j = ^ - i ^ j ^ i = ^ - k ^ i ^ i = 0 ^ j ^ j = 0 ^ k ^ k = 0 ^ i ^ j ^ k Para una carga negativa la multiplicación de vectores unitarios para el producto vectorial viene dado por:

29 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La fuerza gravitacional es una interacción únicamente de atracción y siempre está en la dirección del campo gravitacional g, la fuerza eléctrica puede ser de atracción o de repulsión y siempre esta en la dirección del campo eléctrico, en tanto que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético. La fuerza gravitacional actúa sobre una masa independientemente de la velocidad del cuerpo, la fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de la velocidad de la partícula, mientras que la fuerza magnética actúa únicamente sobre una partícula en movimiento. Cuando una carga se mueve con una velocidad v dentro de un campo magnético, el campo magnético puede alterar la dirección del vector velocidad, pero no puede variar la magnitud del vector velocidad. La fuerza gravitacional efectúa un trabajo al desplazar un cuerpo, la fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula cargada, en tanto que la fuerza magnética asociada a un campo magnético estable no realiza trabajo cuando desplaza una partícula. Varias diferencias importantes entre la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética.

30 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA v El campo entra hacia la palma de la mano y es perpendicular a la fuerza y a la velocidad. F es un vector B que entra hacia la pantalla Para una carga positiva la dirección de la fuerza la da regla de la mano izquierda, el vector campo magnético entra a la palma de la mano, el vector velocidad sale de la palma de la mano hacia el dedo del corazón y el vector fuerza magnética tiene la dirección del dedo pulgar. B F v +

31 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Considere un protón cerca del ecuador ¿En que dirección tendería a desviarse si su velocidad esta dirigida a) hacia abajo b) hacia el sur c) hacia arriba? Ejemplo 7.1 E N O S v B F a) Nota: Cuando se trata de una partícula de carga positiva se utiliza la regla de la mano izquierda.

32 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA E N O S B b) Como el campo magnético y la velocidad son antiparalelos por definición del producto vectorial la fuerza neta es cero. v

33 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA E N O S B c) v F

34 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En una región donde hay un campo magnético de 2 T dirigido en la dirección +x. Un electrón se mueve con una velocidad de 5*10 6 m/s a lo largo del eje +z. Calcule la fuerza magnética y la aceleración sobre el electrón. B Ejemplo 7.2 F = Q v B F = -1.6*10* C * 5*10 6 m/s 2 T = -1.6* N ^ i ^ k ^ j v F = m a a = F *(1/m) = -1.6* N / 9.1* Kg ^ j a = -1.76*10 18 m/s 2 ^ j En la dirección +Z

35 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En una región donde hay un campo magnético de 2 T dirigido en la dirección +x. Un protón se mueve con una velocidad de 5*10 6 m/s a lo largo del eje +z. Calcule la fuerza magnética y la aceleración sobre el protón. B Ejemplo 7.3 F = Q v B F = +1.6* C * 5*10 6 m/s 2T = +1.6* N(- ) ^ k ^ i ^ j v El vector fuerza magnética sobre un protón tiene sentido contrario a la fuerza magnética sobre un electrón. F = m a a = F *(1/m) = +1.6* N / 1.67* Kg ^ ja = +9.58*10 14 m/s 2 ^ j

36 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un protón se mueve en una región donde existe un campo magnético: si Ejemplo 7.4 v = ( )m/s y ^ i ^ j ^ k B = ( )T ^ i ^ j ^ k Cual es el valor de la fuerza magnética que esta carga experimenta. F = (1.6* * 31.84) N = 5.09* N F = 1.6* C * ( )m/s*T ^ i ^ j ^ k F = Q v B F = 1.6* C *( ) m/s ^ i ^ j ^ k ( )T ^ i ^ j ^ k

37 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.6 Fuerza de Lorentz Si en alguna región del espacio un campo eléctrico E, como un campo magnético B actúan sobre una partícula cargada la fuerza neta sobre ella se le llama fuerza de lorentz y se expresa como F = F e + F m = Q E + Q v B

38 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un electrón en un campo eléctrico y magnético uniforme tiene una velocidad de 2*10 4 m/s en la dirección +X y una aceleración constante de 3*10 17 m/s 2 en la dirección +Z. Si el campo eléctrico tiene una intensidad de 30 N/C en la dirección +Z ¿cuál es el campo magnético en la región? Ejemplo 7.5 B = -2.35*10 -3 T ^ j F = Q E + Q v B = m a –Q (E + v B) = m a E + v B = m a /(– Q) B = (– m a /Q – E ) / v v B = (– m a /Q – E) ^ k ^ i ^ j

39 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.7 Fuerza sobre un conductor que lleva una corriente. Cuando se coloca un alambre dentro de un campo magnético, no experimenta fuerza alguna. El movimiento de los electrones libres están orientados al azar, por tanto la fuerza neta es cero.

40 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA v B F Cuando por un conductor fluye una corriente I los electrones libres adquieren una pequeña velocidad de arrastre, v d y sienten una fuerza que es transmitida al alambre. Como el campo magnético entra a la pantalla, la corriente va hacia arriba entonces los electrones de conducción hacen que el conductor se deflecte hacia la derecha. Consideremos un campo magnético que entra a la pantalla y colocamos un conductor que lleva una corriente I dentro de este campo.

41 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F v B Cuando se invierte la corriente los electrones libres de conducción hacen que el conductor se desvié hacia la izquierda.

42 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Para una sola partícula la fuerza magnética es: Supongamos que tenemos un campo magnético uniforme que sale de la pantalla. Colocamos dentro de este campo un conductor cilíndrico de sección transversal A y longitud l que lleva una corriente I. B v F F = Q v B Como el numero de partículas que hay en el conductor es (A l) n, entonces la fuerza. F = (A*v*n*Q*l B) F = (Q v B)*A*l*n F = (A*l*n Q v B) Pero I = A*v*n*Q, entonces, F = I l B

43 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA I dF dl Consideremos un alambre de longitud l de sección transversal uniforme y de forma arbitraria. Que transporta una corriente I y se encuentra inmerso en un campo magnético uniforme. La fuerza magnética para un segmento muy pequeño dl en presencia de un campo magnético B es dF = dQ v B Como dQ = I dt, y, v = dl / dt dQ v = (I dt)(dl / dt) = I dl dF = I dl B F = I dl B La integral se evalúa en un trayecto finito a y b

44 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 7.6 Un alambre que conduce cargas negativas de sección recta de 1 m de largo conduce una corriente constante de 1.5 A en la dirección +X. El alambre se encuentra inmerso dentro de un campo magnético uniforme de 10 T en la dirección +Y. ¿cuál es la fuerza magnética que actúa sobre el alambre? X Z I F = I l B F = 1.5 A * 1 m 10 T = 15 N ^ i ^ k ^ j F

45 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un cubo tiene 40 cm en cada arista. Cuatro segmentos de alambre ab, bc, cd y da, forman una lazo cerrado que conduce una corriente I = 5 A en la dirección de la figura. Un campo magnético B = T en la dirección +Z. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre cada segmento. X Z Y a b c d Ejemplo 7.7 B

46 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA X Z Y a b c d B F ab = 5A * 0.4 m( ) 0.02 T = 0 ^ -k-k ^ k F bc = 5 A * 0.40 m 0.02 T = 0.04 N ^ k ^ j ^ i ^ F bc = 5 A * 0.40 m ( + ) 0.02 T = 0.04 N ^ k ^ -i ^ j k ^ F bc = 5 A * 0.40 m ( - ) 0.02 T = 0.04 N(- - ) ^ k ^ i ^ j ji ^

47 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 7.8 kk R El circuito en la figura se compone de alambres en la parte superior y en la inferior y de resortes metálicos idénticos a cada lado. El alambre del fondo tiene una masa de 10 gr y mide 5 cm de longitud. Los resortes se alargan 50 cm bajo el peso del alambre, el circuito tiene una resistencia total de 12 y una batería es de 24 V.

48 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA kk R Cuando el circuito se emerge en un campo magnético, que apunta hacia fuera de la pantalla. Los resortes se alargan 30 cm adicionales ¿cuál es la intensidad del campo magnético.

49 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA R k k R Cuando se coloca el alambre del fondo, se cierra el circuito y comienza a fluir corriente. Las fuerzas que actúan en alambre del fondo son; el peso del alambre mg y dos fuerzas laterales de elasticidad kx 1. Para que el sistema este en equilibrio se necesita que: 2 (kx 1 ) - mg = 0, entonces, la constante elástica del resorte es: k = mg / (2x 1 ) = N/m kx 1 mg

50 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Al sumergir el circuito en un campo magnético que sale de la pantalla, la Fm dirigida hacia abajo hace que el resorte se deforme una longitud adicional x 2. Ahora, las fuerzas que actúan en el alambre son; dos fuerzas laterales kx 2 dirigidas hacia arriba, el peso del alambre mg y la fuerza magnética ILB dirigidas hacia abajo. Para que el sistema este en equilibrio se requiere que: kk R mg ILB kx 2 2 kx 2 – mg – F m = 0 2 kx 2 – mg = ILB Pero; k = mg / (2x 1 ) 2(mg / (2x 1 )) x 2 – mg = ILB mg (x 2 / x 1 – 1) = ( /R)LB B = ((R / ) mg ( x 2 / x 1 – 1)) / L B = T

51 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA r Ejemplo 7.9 Fuerza sobre un conductor semicircular.Un alambre se dobla en forma de lazo semicircular cerrado de radio r y su plano es perpendicular a un campo magnético uniforme B que sale de la pantalla, si una carga positiva se mueve dentro del lazo. Halle la fuerza neta sobre el lazo. FxFx FyFy FxFx FyFy FmFm v FmFm v Para el semicírculo tomamos dos puntos simétricos notamos que F m, v y B son perpendiculares. Se observa que la fuerza magnética esta dirigida hacia el centro del semicírculo, la suma de las componentes de la F m a lo largo del eje x es cero, mientras que la fuerza neta esta en la dirección –Y.

52 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F y = 2 I r B r d dl = rd dF y = dF Sen I dl B) Sen = I (rd ) B Sen F y = I r B Sen d varia entre o y F y = I r B Sen d varia entre o y F y = 2 I r B FmFm v F y = -2 I r B ^ j Para el sector rectodF y = I dl B = I B dl F y = I B dl ; l varia entre 0 y 2r F y = 2 I r B ^ j La fuerza neta para el lazo semicircular cerrado es cero.

53 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En los trayectos laterales por donde circula la corriente I y el campo magnético B son perpendiculares, por tanto, la fuerza neta hace que la espira rota en sentido horario Consideremos un lazo rectangular que conduce una corriente I en presencia de un campo magnético uniforme en la dirección +X paralela al plano del lazo. En los trayectos superior e inferior de longitud (b), la corriente I y el campo magnético B son paralelos y antiparalelos respectivamente, por tanto, la fuerza neta es cero en estos segmentos. b a 7.8 Par en un lazo de corriente I B Vista desde arriba F1F1 F2F2

54 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA b F1F1 F2F2. B I Vista desde arriba El momento de torsión neto n = F1 + F2 = 2 F (b/2) = F b = (I a B) b n = I (a b) B = I A B. Por que ab es el área del lazo. n = I A B n ^ n = I A B

55 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA a b B F3F3 F1F1 F2F2 F4F4 Consideremos un lazo rectangular que conduce una corriente I en presencia de un campo magnético uniforme en la dirección +X, el lazo y las líneas de campo no son paralelos y por conveniencia tomaremos a B perpendicular al lado b del lazo.

56 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F2F2 F4F4 b/2 b/2 Sen El momento de torsión neto n = F2 + F4 = 2 F (b/2 Sen ) = F (b sen n = I a B b Sen = I (a b) B Sen I A B Sen la magnitud del momento de torsión es n = I A B Sen Donde A es un vector perpendicular al plano del lazo y su magnitud es igual al área del lazo, N es el numero de espiras. = N I A n ^ Es conveniente expresar el momento de torsión en forma vectorial como el producto cruz, n = I A B n = B A El momento magnético es

57 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Por un lazo que tiene forma de circunferencia de 0.25 m de radio circula una corriente de 200 mA. Un campo magnético de 0.5 T se dirige paralelo al plano del lazo a) calcule el momento magnético del lazo b)¿cuál es el campo magnético del momento mantiene ejercido sobre el lazo por el campo magnético? Ejemplo 7.10 = I A = 0.2 A * ( r 2 ) = A m 2 n = B = N m I A

58 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 7.11 B El lazo cuadrado de la figura tiene lados de 10 cm, consta de 10 vueltas y lleva una corriente de 0.5 A, el campo magnético esta en la dirección +X y forma un ángulo de 37° con las líneas de campo magnético. Encuentre a) el momento magnético b) el par en el lazo = N I A n ^ ^ = N I A (Cos Sen (- ^ ij Cos ^ i ^ Sen (- j ^ = 10 * 0.5 A * (0.10 m) 2 *(Cos Sen(- ^ i j ^ = ( A m 2 ) A m 2 ^ i j ^ n = B ^ = ( ) A m 2 2 T = Nm ^ i j i ^ k

59 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.9 Movimientos de partículas cargadas en campos magnéticos Una partícula cargada en movimiento dentro de un campo magnético experimenta una fuerza. Supongamos que tenemos una partícula negativa moviéndose en un campo magnético dirigido verticalmente hacia arriba. Debido a que la velocidad v y el campo magnético B son perpendiculares la partícula experimenta una fuerza de magnitud constante, dirigida hacia el centro y perpendicular tanto a v como a B. Veamos la figura por arriba.

60 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA v F F v r F v Como la partícula con carga negativa experimenta una fuerza constante dirigida hacia el centro, entonces, debe de tener una aceleración centrípeta o radial que le hace cambiar constantemente la dirección del vector velocidad. De la segunda ley de Newton la F c = m a c. La F c es la magnitud de la fuerza magnética Q v B Q v B = m (v 2 / r) v = Q B r / m. Como v = 2 r / T ; Q B r / m. = 2 r / T p = 2 m / (Q B) y T = 1/f f (frecuencia ciclotrónica) = Q B (2 m)

61 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un protón que se mueve en una trayectoria circular perpendicular a un campo magnético constante que sale de la pantalla tarda 2 s para dar una revolución. Determine la magnitud del campo. Ejemplo 7.12 F c = m a c. Q v B = m (v 2 / r) v = QBr / m, y, v = 2 r / T ; 2 r / T = QBr / m. B = 2 m / (PQ) La masa del protón es 1.67* Kg, la carga es +1.6* C, T es 2 s B = mT r F v

62 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un protón de rayos cósmicos en el espacio interestelar tiene una energía de 10 MeV (Mega electrón-voltio) y ejecuta una orbita circular con un radio igual a la orbita de mercurio alrededor del sol 5.8*10 10 m. ¿cuál es el campo magnético en esa región del espacio. Ejemplo 7.13 E c = 10MeV =10*10 6 eV*(1.6* J / 1 eV) E c =1.6* J = K La energía cinética del protón es K = ½mv 2 v = (2K/m) de la segunda ley de Newton QvB = mv 2 / r v = QBr / m igualando (2K/m) = QBr / m (2Km) / (Qr) B = 7.88* T

63 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Para que la partícula positiva no se deflecte en los campos cruzados la fuerza neta la fuerza de Lorentz debe ser cero, por tanto. la magnitud de la fuerza eléctrica Q E, deber ser igual a la magnitud de la fuerza magnética Q v B. Lanzamos por el punto equidistante una partícula con carga positiva sin que logre desviarse. Supongamos que tenemos un campo magnético uniforme B que entra a la pantalla, colocamos unas placas planas y paralelas con un campo eléctrico uniforme E dirigido verticalmente hacia abajo Aplicación de campos eléctricos y magnéticos combinados Selector de velocidad F m = F E ; E Q = Q v B o v = E / B

64 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA El espectrómetro de masas separa iones de acuerdo con la relación entre la masa y la carga, un haz de iones pasa primero por un selector de velocidad y después entra a un segundo campo magnético B o dirigido hacia adentro de la pantalla. Después de entrar al segundo campo magnético el ion se mueve en un semicírculo de radio r antes de incidir en una placa fotográfica en P. De la segunda ley de Newton tenemos: F c = m v 2 / r P BoBo Espectrómetro de masas Q v B o = m (v 2 / r) la relación es (m / Q) = B o r / v B r

65 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Espectrógrafo de masas

66 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un selector de velocidades se compone de un campo eléctrico en la dirección +Z y un campo magnético en la dirección +Y. Si B = T, determine el valor de E tal que un electrón de 750 eV que se mueve a lo largo del eje +X no se desvié. Ejemplo 7.14 X Z Y B E v Para que el electrón no se desvié se necesita que la magnitud del campo eléctrico sea igual a la magnitud del campo magnético. QvB = QE v = E / Q 750 eV = 750 eV (1.6* J / 1 eV) = 1.2 * J La energía cinética K = ½mv 2 v = (2K/m) v = E / B (2K/m) ; B = 2.45*10 5 N/C

67 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA El deuterón es un núcleo que contiene un protón y un neutron la masa del neutron se puede considerar igual a la masa del protón 1.67* Kg. Se aceleran iones de deuterio a través de una diferencia de potencial de 45 KV. Los iones entran a un selector de velocidad en el cual la intensidad del campo eléctrico es de 2.5 KV/m. Luego continúan por un campo magnético uniforme que tiene la misma intensidad y dirección del flujo que el campo magnético en el selector de velocidad. Cuales son a) el radio de orbita de los deuterones? b) su velocidad? c) ¿cuál es la intensidad del campo magnético?. Ejemplo 7.15 ab De la C.E. K = U ½ mv b ½ mv a = Q(V b – V a ) v a = 0 ½ mv b = Q (V a – V b ) ya que V b < V a ½ mv b = Q V v b = (2 Q V/m) = 2.08*10 6 m/s Con esta velocidad salen los iones de deuterio del selector de velocidad

68 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA P BoBo r B B = B o ; V = V E = 2500 V/m v f = 2.08*10 6 m/s Para el selector de velocidad F e = F m E Q = Q v B o B = E / v B o = 1.2 mT = B Cuando los iones de deuterio entran al campo magnético B o describen un semicírculo. De la segunda ley de Newton ;F c = m a c Q v B o = m (v 2 / r) r = mv / (Q B) = m

69 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.11 Auto-evaluación

70 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Considere un electrón cerca del ecuador ¿En que dirección tendería a desviarse si su velocidad esta dirigida a) hacia abajo b) hacia el este? Ejercicio 7.1 R) a) Hacia el Oeste b) Hacia dentro

71 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En el ecuador, cerca de la superficie de la tierra, el campo magnético es de aproximadamente de 100 T con dirección norte y el valor del campo eléctrico es de alrededor de 50 N/C hacia abajo. Encuentre la fuerza gravitacional, eléctrica y magnética sobre un electrón que tiene 20 ev de energía que se mueve en dirección este en una línea recta en ese ambiente. Ejercicio 7.2 R) F E = 8* N y F m = 4.24* N

72 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un electrón tiene una velocidad de 1*10 6 m/s en la dirección +Z en un campo magnético B de 0.20 T en la dirección –X ¿cuál es la magnitud y dirección de la fuerza sobre el electrón? Ejercicio 7.3 R) F = -3.2* N(- ) ^ j

73 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un protón tiene una velocidad de 1E6 m/s en la dirección +Z en un campo magnético B de 0.20 T en la dirección –X ¿cuál es la fuerza sobre el electrón? Ejercicio 7.4 R) F = 3.2* N ^ j

74 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un electrón se mueve en una región donde existe un campo magnético: si Ejercicio 7.5 v = ( )m/s y ^ i ^ j ^ k B = ( )T ^ i ^ j ^ k Cual es el valor de la fuerza magnética que esta carga experimenta. R) F = 5.09* N

75 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un protón en un campo eléctrico y magnético uniforme tiene una velocidad de 2*10 4 m/s en la dirección +X y una aceleración constante de 10*10 8 m/s 2 en la dirección +Z. Si el campo eléctrico tiene una intensidad de 10 N/C en la dirección +Z ¿cuál es la magnitud y dirección del campo magnético en la región? Ejercicio 7.6 R) B = +2.19*10 -5 T(- ) ^ j

76 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un alambre que conduce cargas negativas de sección recta de 1 m de largo conduce una corriente constante de 1.5 A en la dirección -X. El alambre se encuentra inmerso dentro de un campo magnético uniforme de 10 T en la dirección -Y. ¿cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que actúa sobre el alambre? Ejercicio 7.7 R) F = 15 N ^ k

77 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un cubo tiene 40 cm en cada arista. Un segmento de alambre ab a lo largo de la diagonal principal conduce una corriente I = 5 A en la dirección de la figura. Un campo magnético B = T en la dirección +Z. Determine a) el vector fuerza magnética b) la magnitud de la fuerza magnética sobre el segmento. Ejercicio 7.8 X Z Y a b B ^ a) F ab = 0.04 N( + ) ^ ij b) F ab = 0.08 N

78 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como en la figura tiene una masa por unidad de longitud de 0.05 Kg/m ¿qué corriente debe existir en el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea cero cuando el campo magnético es de 4.0 T hacia el interior de la pantalla? ¿cuál es la dirección requerida para la corriente?. representa la masa en la unidad de longitud = m / l Ejercicio 7.9 R) 0.13 A. Hacia izquierda en el sentido que se mueven las cargas negativas.

79 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejercicio 7.10 r En la figura un alambre se dobla en forma de lazo semicircular cerrado de radio r y su plano es perpendicular a un campo magnético uniforme B que entra a la pantalla, si una carga negativa se mueve dentro del lazo. Halle la fuerza neta sobre el lazo. R) F = 0

80 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Por un lazo que tiene forma de cuadrada 0.80 m de lado circula una corriente de 200 mA. Un campo magnético de 0.5 T se dirige paralelo al plano del lazo a) ¿calcule el momento magnético del lazo y el momento de torsión? Ejercicio 7.11 = A m 2 n = B = N m

81 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un electrón con una energía cinética K de 100*10 3 ev se mueve perpendicularmente a las líneas de un campo magnético B uniforme de 100 T. ¿Cual es el periodo P y el radio de la orbita? Ejercicio 7.12 R) r = m; el periodo p = s

82 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En un campo magnético con B = 1 mT a) ¿cuál será el radio de trayectoria circular si un electrón viaja al 30% de la velocidad de la luz c? b) ¿cuál será su energía cinética en electrón voltios? Ejercicio 7.13 R) r = 0.51 m y K = eV

83 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Considere un deuterón que se mueve en línea recta por un selector de velocidad como se muestra en la figura. El campo eléctrico en el selector de velocidad es 1000 V/m y el campo magnético B es de 0.05T. Ejercicio 7.14 Calcule el radio de la trayectoria semicircular. Luego recorre un semicírculo de radio r en un espectrógrafo de masas que tiene un campo magnético B = 250 T r r R) r = 1.67 m

84 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 7.12 Solucionarlo

85 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.1 E N O S v B F a E N O S B v F b

86 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S eV = 20 eV (1.6* J / 1 eV) = 3.2* J F g = mg = 8.92* N F E = QE = 8* N F m = QvB; la energía cinética K = ½ mv 2 v = (2K/m) = 2.65*10 6 m/s F m = QvB = 4.24* N

87 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.3 X Z Y v B F F = Q v B F = -1.6* C* 1*10 6 m/s 0.2 T(- ) = -3.2* N(- ) ^ i ^ k ^ j

88 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.4 X Z Y v B F F = Q v B F = 1.6* C * 1*10 6 m/s 0.2 T(- ) = 3.2* N ^ i ^ k ^ j

89 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.5 F = C * ( ) m/s*T ^ i ^ j ^ k F = (-1.6* * 31.84) N = -5.09* N F = Q v B F = -1.6* C* ( ) m/s ^ i ^ j ^ k ( )T ^ i ^ j ^ k

90 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.6 B = +2.19*10 -5 T(- ) ^ j F = Q E + Q v B = m a +Q (E + v B) = m a E + v B = m a / Q B = ( m a /Q – E ) / v v B(- ) = ( m a /Q – E) ^ k ^ i ^ j X Z Y v F B

91 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.7 X Z I F = I l B F = 1.5 A * 1 m (- ) 10 T (- ) = 15 N ^ i ^ k ^ jF

92 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA X Z Y B S 7.8 F ab = 5 A * 0.40 m (- + + ) 0.02 T ^ ^ k ^ i j ^ k F ab = 0.04 N( + ) ^ ij ^ F ab = 0.04 N 2 = 0.08 N dF = I dl B a b

93 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Para que la tensión en los alambres sea cero la fuerza gravitacional mg y la fuerza magnética IlB deben ser iguales. Tomaremos el sentido como se moverían las cargas negativas. S 7.9 IlB = mg = ( l) g g / B = 0.13 A La dirección de la corriente es hacia izquierda en el sentido que se mueven las cargas negativas. Fg = mg F m = IlB

94 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.10 r FmFm v FmFm v dF y = dF Sen I dl B) Sen = I (rd ) B Sen F y = I r B Sen d varia entre o y F y = I r B Sen d varia entre o y F y = -2 I r B ^ j F y = 2 I r B d dl = rd FxFx FyFy FmFm FxFx FyFy FmFm FmFm v Para el sector recto dF y = I dl B = I B dl F y = I B dl ; l varia entre 0 y 2r F y = 2 I r B ^ j La fuerza neta para el lazo semicircular cerrado es cero.

95 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.11 = I A = 0.2 A * = A m 2 n = B = N m A

96 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.12 r F v 100*10 3 eV = 100*10 3 eV (1.6* J / 1 ev) = 1.6* J K = ½ mv 2 v = (2K/m), v = *10 6 m/s F c = m a c Q v B = m (v 2 / r) Q B = m v / r r = m v / Q B = m v = 2 r / P el periodo p = 2 r / v = s

97 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 7.13 v = 3*10 8 m/s * 0.30 = 90*10 6 m/s a)F c = m a c Q v B = m (v 2 / r) Q B = m v / r r = m v / Q B = 0.51 m r F v b) K = ½ mv 2 = 3.69* J 3.69* J = 3.69* J (1 eV/ 1.6* J) = eV

98 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En el selector de velocidad F e = F m EQ = QvB v = E / B v = 2*10 4 m/s con esta velocidad entra al espectrógrafo de masas F c = ma c QvB = mv 2 / r QB = mv / r r = mv / QB r = 1.67 m S r F r


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