Octava sesión Átomos hidrogenoides (2) Orbitales.

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1 Octava sesión Átomos hidrogenoides (2) Orbitales

2 Recordando El Martes 25 de febrero no habrá clase

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4 Postulado I a)“Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas queda descrito tan completamente como es posible por una función Ψ(q 1,q 2,…,q 3N,t) tal que b)la cantidad Ψ*Ψd  es proporcional a la probabilidad de encontrar a q 1 entre q 1 y q 1 +dq 1, a q 2 entre q 2 y q 2 +dq 2,…, a q 3N entre q 3N y q 3N +dq 3N para un tiempo específico t.

5 Corolario “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo y se llama función de onda de estado estacionario” En este caso, la función solo depende de 3N variables.

6 Postulado II “Para toda propiedad observable de un sistema, existe su correspondiente operador lineal y hermitiano y las propiedades físicas del observable pueden ser inferidas a partir de las propiedades matemáticas asociadas al operador”.

7 Postulado III “Supongamos que ᾱ es un operador correspondiente a un observable y que existe un conjunto de sistemas idénticos en el estado Ψ s. Supongamos, además que Ψ s es una función propia de ᾱ. Esto es: ᾱ Ψ s =a s Ψ s, donde a s es un número. Entonces, si un experimentador efectúa una serie de mediciones de la cantidad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto, el resultado será siempre a s. Solamente cuando Ψ s y ᾱ satisfacen esta condición, un experimento dará el mismo resultado en cada medición”.

8 Postulado IV “ Dado un operador ᾱ y un conjunto de sistemas idénticos caracterizados por una función Ψ s, que no es función propia de ᾱ, una serie de mediciones de la propiedad correspondiente a ᾱ sobre diferentes miembros del conjunto no dará el mismo resultado. En lugar de eso se obtendrá una distribución de resultados cuyo promedio será:

9 Postulado V “La evolución del vector de estado Ψ(q,t) en el tiempo está dada por la relación: donde H es el operador Hamiltoniano del sistema”. Esta ecuación se conoce como ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

10 Operadores Hermitianos Los valores propios de un operador hermitiano son números reales.

11 Operadores hermitianos Teorema I “El producto de dos operadores hermitianos es hermitiano solo si los dos operadores conmutan”.

12 Operadores hermitianos Teorema II “Las funciones propias que provienen de diferentes valores propios de un operador hermitiano son ortogonales”.

13 Operadores hermitianos Teorema III “Si dos operadores Ḟ y Ḡ conmutan, entonces existe un conjunto de funciones que son simultáneamente propias de ambos operadores”

14 Operadores hermitianos Teorema IV Dado un par de operadores hermitianos Ḟ y Ḡ que conmutan, y conjunto de funciones tales que Ḟ Ψ i =f i Ψ i entonces todas las integrales de la forma (Ψ i | Ḡ | Ψ j )=0 a menos que f i =f j

15 Ortogonalidad y ortonormalidad Ortogonalidad: Siempre que una integral del tipo (Ψ i |Ψ j ) sea cero, se dice que las funciones son ortogonales. Ortonormalidad: Cuando se cumple la ecuación (Ψ i |Ψ j )=δ ij para un conjunto de funciones en mecánica cuántica, se dice que el conjunto es ortonormal.

16 Problemas básicos de la mecánica cuántica Partícula en un pozo de potencial unidimensional –Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento (condiciones a la frontera de la ecuación diferencial) –A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda –Principio de Incertidumbre de Heisenberg

17 Problemas básicos de la mecánica cuántica (2) Partícula en un pozo de potencial unidimensional (2) –Soluciones generales para la partícula en un pozo de potencial unidimensional Partícula libre –Las energías de la partícula libre no están cuantizadas

18 Problemas básicos de la mecánica cuántica (3) Partícula en un pozo de potencial tridimensional –Separación de variables –Aparecen tantos números cuánticos, como restricciones al movimiento, en este caso 3 –Niveles degenerados –Si se rompe la simetría se rompe la degeneración. –No sabemos graficar funciones de 3 variables

19 Separación de Variables Cuando el operador hamiltoniano puede ser escrito como una suma de términos, cada uno de los cuales depende de una sola variable, siempre podrá encontrarse una solución de la ecuación de Schrödinger en la que Ψ es un producto de funciones de una sola coordenada.

20 Separación de Variables (2)

21 Problemas básicos de la mecánica cuántica (4) Partícula en un pozo de potencial unidimensional con paredes finitas –Efecto túnel Oscilador armónico unidimensional –Energía de punto cero Efectos cuánticos

22 Efecto Túnel El efecto túnel denota la penetración de una partícula en una región prohibida clásicamente, o el paso de una partícula a través de una barrera de potencial cuya altura es mayor a la energía de la partícula.

23 Oscilador armónico Hay un efecto túnel en el oscilador armónico

24 Energía del punto cero. El estado basal del oscilador armónico no es cero, la energía es ½h (para  =0). Es otro efecto cuántico Cuando veamos espectroscopía veremos que sería la energía vibracional de las moléculas diatómicas en el cero absoluto (0 K)

25 Rotor rígido de dos partículas Armónicos esféricos

26 Átomo hidrogenoides

27 E 0 1s 2s 3s 2p 3p 3d D=1 D=4 D=9 Diagrama de niveles de energía (Hidrogenoides)

28 Orbitales A una función de onda monoelectrónica, se le llama orbital. En el orbital aparecen 3 números cuánticos –n: número cuántico principal; n  Z  –l: número cuántico azimutal; enteros desde 0 hasta n-1 –m: número cuántico magnético; enteros desde –l hasta + l Número de nodos radiales = n- l -1

29 Armónicos esféricos Los armónicos esféricos: Y l.m son funciones propias de los operadores momento angular al cuadrado y las soluciones de la parte de  de la componente en z del momento angular.

30 Orbitales del Hidrógeno

31 Orbitales (5) ¿Qué pasaría si quisiéramos graficar los orbitales? No sabemos graficar funciones de 3 variables.

32 Orbitales (6) Es importante entender el significado físico de las soluciones del átomo de Hidrógeno, pues constituyen la base para la solución de problemas más complicados. El significado de estas soluciones surge del Postulado I que establece que la función  *  d  representa una densidad de probabilidad.

33 Vamos por partes Primero las funciones radiales R n,l (r)

34 Gráfica de la parte radial 1s

35 Gráfica de la parte radial 2s

36 Gráfica de la parte radial 3s

37 Otras formas de hacer el análisis de las funciones radiales 1.Gráficas de R 2. 2.Integrando respecto a las variables angulares y graficando las funcione F resultantes.

38 Funciones radiales En términos de probabilidad, las funciones radiales se pueden discutir de dos formas diferentes. 1.Hacer una gráfica de R 2 contra la distancia a partir del núcleo en unidades de r/a 0. 2.Integrando con respecto a las variables angulares y graficando las funciones F resultantes.

39 Gráficas de R 2 vs. r/a 0 (l=0)

40 Gráficas de R 2 vs. r/a 0 (l=1)

41 Gráficas de R 2 vs. r/a 0 (l=2)

42 Funciones radiales (2) La cantidad R 2 dr solo tiene significado para un valor fijo de las variables angulares θ y  Fijando θ y  queda determinada una línea que comienza en el origen Entonces, R 2 dr es proporcional a la probabilidad de encontrar al electrón en una pequeña unidad de longitud dr para los diferentes puntos a lo largo de esa línea.

43 Funciones radiales (3) En la figura podemos ver para los orbitales s, que el electrón tiene una probabilidad diferente de cero, de estar en el núcleo. Para todos los demás orbitales el valor de R 2 en el núcleo es cero. Este hecho será importante cuando se vea espectroscopia de RMN.

44 Gráficas de R 2 vs. r/a 0 (l=0)

45 Funciones de distribución radial La segunda forma de discutir las funciones de onda radiales es integrando con respecto a las variables angulares y graficando F resultantes:

46 r r+dr Funciones de distribución radial (2)

47 r r+dr Funciones de distribución radial (3)

48 Funciones de distribución radial (4)

49 Funciones de distribución radial (s) n=1 n=2 n=3 a0a0

50 Funciones de distribución radial (s) n=1 n=2 n=3 a0a0 Nodos radiales n=1, l =0: 0 n=2, l =0: 1 n=3, l =0: 2

51 Funciones de distribución radial n=2 Nodos radiales n=2, l =0: 1 n=2, l =1: 0

52 Funciones de distribución radial n=3 Nodos radiales n=3, l =0: 2 n=3, l =1: 1 n=3, l =2: 0

53 Nodos radiales Número de nodos radiales = n- l -1