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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA UNEFA.

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1 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA UNEFA NÚCLEO MÉRIDA ECUACIÓN DE SCHÖDINGER CÁTEDRA: FISICA III DOCENTE: JOSÉ FERNANDO PINTO

2 Ecuación Cuántica de la Onda: El problema de la mecánica cuántica es determinar la función de onda Ψ para un sistema físico cuando sus grados de libertad están limitados por la acción de fuerzas externas. Esta función de onda contiene en ella toda la información que podemos conocer acerca de una partícula libre, que se mueve a lo largo del eje x, y podemos escribirla como: y como tenemos Ψ no tiene interpretación física, por tanto no es medible. es a la probabilidad de la posición, conocida como la densidad de probabilidad. es a la probabilidad de la posición, conocida como la densidad de probabilidad.

3 Ecuación Cuántica de la Onda (Cont.): Existe una relación simple, entre la función densidad de probabilidad (P(x)) y la función de onda Ψ : Una característica de Ψ es, que en general, se trata de una función compleja, pero, como la densidad de probabilidad debe ser real, se toma como cuadrado de Ψ, el producto de la misma por su conjugada Ψ*: Consideremos una partícula libre que se mueve a lo largo del eje x, podemos escribirla como Que se interpreta como la probabilidad que predice, que la partícula libre se encontrará en el intervalo infinitesimal dx, alrededor del punto x, y se conoce como Que se interpreta como la probabilidad que predice, que la partícula libre se encontrará en el intervalo infinitesimal dx, alrededor del punto x, y se conoce como condición de normalización

4 Ecuación Cuántica de la Onda (Cont.): Aunque Ψ no es una cantidad medible, sin embargo, partiendo de su conocimiento, podemos obtener todas aquellas magnitudes físicas de la partícula susceptibles de medir Aunque Ψ no es una cantidad medible, sin embargo, partiendo de su conocimiento, podemos obtener todas aquellas magnitudes físicas de la partícula susceptibles de medir. Consideremos el valor de esperanza de x, que se interpreta como la posición promedio de la partícula, su ecuación es la siguiente: Si se pueden determinar los modos en que ocurre un evento, la densidad de probabilidad será: Si no se pueden determinar los modos en que ocurre un evento, la densidad de probabilidad será:

5 Ecuación Cuántica de la Onda (Cont.): Supongamos una partícula confinada a una caja de longitud L, tal como se muestra en la figura. Donde n representa los tres estados estacionarios permitidos en una caja unidimensional y la longitud de onda está cuantizada, dada por: y como De donde obtenemos que la ecuación de la onda es:

6 Ecuación Cuántica de la Onda (Cont.): En este caso el valor de la Energía cuantizada es: n = 1, 2, 3,…

7 Ecuación de Onda de Schrödinger: Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, ha sido conseguida por Erwin Schrodinger, que incluye el comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación. Postulados de la Ecuación de Onda de Schrodinger: - Cada partícula del sistema físico se describe por medio de una onda plana descrita por una función denotada por (x, y, z, t); esta función y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples

8 Ecuación de Onda de Schrödinger (Cont.): - Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momentum (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera. - La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por: Donde es la conjugada compleja de y se cumple que Donde * (x, y, z, t) es la conjugada compleja de (x, y, z, t) y se cumple que (x, y, z, t) * (x, y, z, t) = | (x, y, z, t) |²

9 Ecuación de Onda de Schrödinger (Cont.): - La función de onda Ycumple con la ecuación de onda de D'Alembert Donde v es la velocidad de la onda. - El operador cantidad de movimiento, la relación de P con Ψ, viene dada por: - Operador energía, la relación de E con Ψ, viene dada por: En ambos casos definimos como la operación que nos permite obtener el momento y la energía partir de la función de onda a los operador es:

10 Ecuación de Onda de Schrödinger (Cont.): Ahora partiendo del principio de conservación de la energía Se obtiene la famosa Ecuación de Schrödinger


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