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Matemática Básica para Economistas MA99 Tema: Composición de Funciones Función Inversa UNIDAD 6 Clase 14.1.

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1 Matemática Básica para Economistas MA99 Tema: Composición de Funciones Función Inversa UNIDAD 6 Clase 14.1

2 Ejemplo: El ingreso mensual I obtenido por vender zapatos de determinado modelo es una función de la demanda x del mercado. Si una función ingreso mensual y la demanda dependieran del precio p por par,tal como se muestra : I= 300p - 2p 2 y p=300 – x/2. ¿Cómo depende I de x? Composición de Funciones

3 Definición: Sean f y g dos funciones. Sea x en el dominio de g de tal manera que g(x) pertenezca al dominio de f. Entonces la composición fog (f compuesta con g) se define por: (f o g)(x) = f(g(x)) Composición de Funciones

4 Por ejemplo: Composición de Funciones x y x y f(x) g(x) (fog)(x) Dom(f) = RDom(g) = [0, [ Dom(fog) = [2, [

5 g Dom de g Ran de g f Dom de f Ran de f x.x.. g(x). f(g(x)) fogfog Composición de Funciones

6 La función compuesta fog, de dos funciones, f y g se define así: (fog)(x) = f(g(x)) El dominio de fog es el conjunto de todas las x en el dominio de g, tales que g(x) esté en el dominio de f. Composición de Funciones

7 Ejemplo Ejemplo: Sean las funciones : a) Determinar la regla de correspondencia (fog)(x) y el dominio de fog b) Determinar la regla de correspondencia (gof)(x) y el dominio de gof.

8 Ejemplo Ejemplo: Sean las funciones : Evalúe: a) (fog)(9) b) (fog)(4) c) fog d) (gof)(6) e) (gof)(1) c) gof

9 Ejemplo Ejemplo: Sean las funciones : a) Determine fog. b) Determine fog(-1).

10 Composición de Funciones Aplicación Un estudio ambiental de cierta comunidad señala que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será: partes por millón cuando la población es de p miles. Se estima que dentro de t años, la población de la comunidad será de: miles. a) Grafique en un plano coordenado la función C(p) indicando su dominio y rango. b) Calcule e interprete la función (CoP)(t)

11 Introducción: Supongamos que la función de demanda de un mercado es lineal y puede representarse como: p = -3q + 8 ¿Cómo expresa la demanda en función del precio?, ¿Cómo sería la gráfica? Función Inversa

12 Definición previa: función biunívoca Una función f, con dominio D es una función biunívoca si cumple una de las condiciones siguientes: - Si a b en D, entonces f(a) f(b) - Si f(a) = f(b), entonces a=b en D

13 Si es biunívoca Ejemplo 1: ¿Es biunívoca la función f, con regla de correspondencia: f(x) = 2x-1?

14 No es biunívoca Ejemplo 2:¿Es biunívoca la función f(x)=x 2 -1?

15 x [0; [x - ; 0 ¿En qué dominio será biunívoca?

16 1.Una función f es biunívoca si y sólo sí toda recta horizontal intercepta a su gráfica a lo más en un punto. 2.Una función creciente es biunívoca. 3.Una función decreciente es ………… biunívoca Observaciones:

17 La función inversa de f se denota por f -1 Función Inversa: Definición: Si f -1 es inversa de f: (fof -1 )(x) = x Dom (f -1 ) = Ran (f) Ran (f -1 ) = Dom (f)

18 Para determinar la función inversa (f -1 ): Función Inversa: 1.Verificar que f es biunívoca. 2.Despejar x en términos de y. 3.Cambiar x por y.

19 Ejemplo: Hallar f -1 (x) si f(x) = 4x – 3, si x ε [-2, 5] Dom f -1 = Ran f

20 Regla: la función inversa f -1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x x f(x) y = x f(x) f -1 (x)

21 Halle la inversa de f(x) = x 2 - 1, x>0 y grafique f y f -1 en el mismo plano: 1. Es biunívoca en x>0 2. x = f -1 (x) =, x > Composición: f -1 ( x ) =, x>0 f ( ) = ( ) 2 - 1= x, x>-1

22 Graficando f y f -1 en un mismo plano: y x f(x) f –1 (x)

23 y x ¿Por qué una función que no es biunívoca no tiene inversa? No sería una función

24 Ejercicios: Hallar y graficar:


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