 IMPARTIDA POR:  ING. NOE IBARRA ARREDONDO  06/NOV/2015 RIOVERDE, S.L.P. ALGEBRA LINEAL Definición y Origen de Números Complejos Operaciones Fundamentales.

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1  IMPARTIDA POR:  ING. NOE IBARRA ARREDONDO  06/NOV/2015 RIOVERDE, S.L.P. ALGEBRA LINEAL Definición y Origen de Números Complejos Operaciones Fundamentales Potencias de “i” modulo o valor absoluto de un número complejo

2 RECOMENDACIONES PARA LA MATERIA: 50% Examen 20% Investigación 20% Prácticas 30% Participación 10% Participación a)Menos del 70% de asistencia es “Sin derecho a examen”. d)Si el alumno reprueba 2 parciales tendrá que recursar. e)Celulares en modo silencio durante la clase. f)Si salen del salón, favor de avisar. g)Cualquier apoyo que requieran dentro y fuera de la materia estoy para servirles. CALIFICACION MENSUAL Propuesta

3 Carpeta de archivos compartida en internet mediante aplicación DROPBOX. https://www.dropbox.com/sh/w9a1ka232m8ofen/AABOC9B3IU7Z 6RTOJzwSEXKda?dl=0 Contendrá documentos de alumnos y profesor. DATOS DE CONTACTO Mi correo: noeib10@yahoo.com.mxnoeib10@yahoo.com.mx Cel/Whatsapp: 4871259501 Facebook: Noe Ibarra RECOMENDACIONES PARA LA MATERIA:

4 La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i. Unidad Imaginaria Números Imaginarios La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i. Un número imaginario se denota por bi, donde: b es un número real i es la unidad imaginaria

5 Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo. x 2 + 9 = 0

6 i 0 = 1 i 1 = i i 2 = −1 i 3 = −i i 4 = 1 Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. Potencias de la unidad imaginaria

7 Ejemplo

8 Un número complejo es una expresión del tipo: z = a + b i Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica. El número a es la parte real del número complejo. El número b es la parte imaginaria del número complejo. Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a. Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro. Definición y Origen de Números Complejos

9 Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

10 Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real. El eje Y se llama eje imaginario. El número complejo a + bi se representa: 1.- Por el punto (a, b), que se llama su afijo. Representación de números complejos

11 2.- Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b). Representación de números complejos

12 La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i Ejemplo: (5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) = = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i Operaciones con números complejos

13 El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = −1. (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Ejemplo: (5 + 2 i) · (2 − 3 i) = = 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i Multiplicación de números complejos

14 El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este. División de números complejos Ejemplo:

15 Módulo de un número complejo El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|. Números complejos en forma polar y trigonométrica

16 Argumento de un número complejo El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z). Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescisdiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

17 Expresión de un número complejo en forma polar z = r α |z| = r (r es el módulo) arg(z) = α ( α es el argumento) Ejemplo

18 ALGEBRA LINEAL. Stanley I. Grossman. 5ª Edicion. McGraw-Hill 1996. Título del capítulo Bibliografía: