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Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez.

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1 Control Digital/Avanzado Estabilidad, Función de Transferencia, Transformadas M. en C. Luis Adrián Lizama Pérez

2 Respuesta al impulso La respuesta al impulso se denota por h(t) y constituye la respuesta de un sistema LTI relajado a un impulso unitario (t) La respuesta al impulso se denota por h(t) y constituye la respuesta de un sistema LTI relajado a un impulso unitario (t) Los métodos en el dominio del tiempo son tediosos, por lo que es más fácil si se acude al dominio transformado Los métodos en el dominio del tiempo son tediosos, por lo que es más fácil si se acude al dominio transformado Impulso de entrada (t) Sistema LTI relajado Respuesta al impulso h(t)

3 La respuesta al impulso h(t) es la derivada de la respuesta al escalón s(t): La respuesta al impulso h(t) es la derivada de la respuesta al escalón s(t): h(t)=s(t)=ds(t)/dts(t)= h(t)dt Un impulso produce un cambio súbito de estado (condiciones iniciales) Un impulso produce un cambio súbito de estado (condiciones iniciales) Resolver y(t)+ y(t)= (t), y(0)=0 es equivalente a y(t)+ y(t)=0, y(0)=1 - t

4 De manera similar un sistema de segundo orden y(t)+ 1 y(t)+ 2 y(t)=x(t), puede encontrarse mediante la ec. homogénea y(t)+ 1 y(t)+ 2 y(t)=0, c.i. y(0)=0, y(0)=1 De manera similar un sistema de segundo orden y(t)+ 1 y(t)+ 2 y(t)=x(t), puede encontrarse mediante la ec. homogénea y(t)+ 1 y(t)+ 2 y(t)=0, c.i. y(0)=0, y(0)=1 Ej: Sea y(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0, raíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Ke -2t Ej: Sea y(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s+2=0, raíz s=-2, la respuesta natural es h(t)=Ke -2t con h(0)=1, se obtiene h(0)=K=1, y h(t)=e -2t u(t) Ej: Sea y(t) + 3y(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s 2 +3s+2=0, raíces s 1 =-1, s 2 =-2, la respuesta natural es h(t)=K 1 e -2t + K 2 e -2t, con h(0)=0, h(0)=-K 1 -2K 2 =1, de donde K 1 =1 y K 2 =-1, entonces h(t)=(e -t - e -2t )u(t) Ej: Sea y(t) + 3y(t) + 2y(t) = x(t), la ec. característica es s 2 +3s+2=0, raíces s 1 =-1, s 2 =-2, la respuesta natural es h(t)=K 1 e -2t + K 2 e -2t, con h(0)=0, h(0)=-K 1 -2K 2 =1, de donde K 1 =1 y K 2 =-1, entonces h(t)=(e -t - e -2t )u(t)

5 Función de transferencia La función de transferencia o ganancia del sistema se puede definir como el cociente de la salida en estado estable entre la entrada en estado estable: La función de transferencia o ganancia del sistema se puede definir como el cociente de la salida en estado estable entre la entrada en estado estable: Función de transferencia = Salida Estable / Entrada Estable Ej: Al insertar una moneda en una máquina de chocolates se obtiene la de salida de una barra de chocolate. La FT es 1 barra/moneda. Si el sistema es LTI para dos monedas se obtienen dos chocolates

6 Hasta se ha considerado los valores en estado estable pero no los cambios transitorios en el tiempo Hasta se ha considerado los valores en estado estable pero no los cambios transitorios en el tiempo Ahora veremos el comportamiento de los sistemas en el tiempo, se decir el comportamiento dinámico de los sistemas Ahora veremos el comportamiento de los sistemas en el tiempo, se decir el comportamiento dinámico de los sistemas

7 Suponga un sistema en el que la entrada x está relacionada con la salida y por la ecuación: Suponga un sistema en el que la entrada x está relacionada con la salida y por la ecuación: Si las condiciones iniciales son cero la ecuación queda: Si las condiciones iniciales son cero la ecuación queda: donde G(s) es la función de transferencia donde G(s) es la función de transferencia

8 Ej: Escriba la función de transferencia para los sistemas siguientes: Ej: Escriba la función de transferencia para los sistemas siguientes: A) Un sistema masa-resorte-amortiguador con F como entrada y x como salida B) Un circuito resistor-capacitor con v como entrada y v c como salida

9 C) Un circuito resistor-capacitor-inductor con v como entrada y v c como salida D) Un sistema eléctrico con v como entrada y v c como salida E) Un sistema hidraúlico con q como entrada y h como salida

10 F) Los elementos en el sistema de un motor de cd controlado por armadura. Entrada (v a -v b ), salida i Embobinado de armadura: entrada i a, salida T: Carga: entrada T, salida : Lazo de realimentación: G) Sistema hidráulico con carga:

11 Estabilidad En el dominio del tiempo, la estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que cada entrada acotada resulta en una salida acotada En el dominio del tiempo, la estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que cada entrada acotada resulta en una salida acotada Las condiciones de estabilidad se pueden determinar de la ecuación característica: Las condiciones de estabilidad se pueden determinar de la ecuación característica: Cada raíz debe tener una parte real negativa y la derivada más alta de la entrada no debe exceder a la de la salida Cada raíz debe tener una parte real negativa y la derivada más alta de la entrada no debe exceder a la de la salida

12 Las raíces con partes reales negativas aseguran que la respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado cero) siempre permanece acotada para una entrada acotada Las raíces con partes reales negativas aseguran que la respuesta natural (y de entrada cero) siempre decae con el tiempo y la respuesta forzada (y de estado cero) siempre permanece acotada para una entrada acotada Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes reales iguales a cero producen una respuesta natural constante (o senoidal) que es acotada, pero si la entrada es una constante o una senoide, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente Las raíces con parte real igual a cero hacen al sistema inestable. Las raíces simples (no repetidas) con partes reales iguales a cero producen una respuesta natural constante (o senoidal) que es acotada, pero si la entrada es una constante o una senoide, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente

13 Las raíces repetidas con parte real igual a cero producen una respuesta que es un polinomio o senoide creciente Las raíces repetidas con parte real igual a cero producen una respuesta que es un polinomio o senoide creciente Ej: El sistema y(t) +3y(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que las raíces de su ecuación característica s 2 +3s+2=0 son s=-1, -2 y tienen partes reales neg Ej: El sistema y(t) +3y(t)+2y(t)= x(t) es estable ya que las raíces de su ecuación característica s 2 +3s+2=0 son s=-1, -2 y tienen partes reales neg El sistema y(t) +3y(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su ec. Característica s 2 +3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural es acotada, la entrada escalón produce una respuesta forzada de la forma Ctu(t) que no es acotada El sistema y(t) +3y(t)= x(t) es inestable. Las raíces de su ec. Característica s 2 +3s=0 son s=0,-3 una de las raíces no tiene una parte real negativa. Aunque su respuesta natural es acotada, la entrada escalón produce una respuesta forzada de la forma Ctu(t) que no es acotada

14 El sistema y(t) +3y(t) = x(t) es inestable. Las raíces de su ecuación s 3 +3s 2 =0 son s 1 =0, s 2 =0 y s 3 =-3 que producen la respuesta natural y N (t)=Au(t) + Btu(t) + Ce -3t u(t) que es no acotada El sistema y(t) +3y(t) = x(t) es inestable. Las raíces de su ecuación s 3 +3s 2 =0 son s 1 =0, s 2 =0 y s 3 =-3 que producen la respuesta natural y N (t)=Au(t) + Btu(t) + Ce -3t u(t) que es no acotada

15 Basic Tool For Continuous Time: Laplace Transform Convert time-domain functions and operations into frequency-domain Convert time-domain functions and operations into frequency-domain f(t) F(s) f(t) F(s) Linear differential equations (LDE) algebraic expression in Complex plane Linear differential equations (LDE) algebraic expression in Complex plane Graphical solution for key LDE characteristics Graphical solution for key LDE characteristics Discrete systems use the analogous z-transform Discrete systems use the analogous z-transform

16 Laplace Transforms of Common Functions Name f(t)f(t)F(s)F(s) Impulse Step Ramp Exponential Sine 1

17 Laplace Transform Properties

18 Orden de un sistema El orden de un sistema es la máxima potencia de la derivada en la ecuación diferencial El orden de un sistema es la máxima potencia de la derivada en la ecuación diferencial La máxima potencia de s en el denominador de la función de transferencia La máxima potencia de s en el denominador de la función de transferencia Primer orden: Primer orden: En el dominio de s: a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 0 X(s) G(s)= b 0 / (a 1 s + a 0 )

19 En el dominio de s: a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 0 X(s) b 0 /a 0 es la F.T. en estado estable G del sistema, a 1 /a 0 es la constante de tiempo del sistema

20 Segundo orden: Segundo orden: donde b 0, a 0, a 1 y b 0 son constantes. Con c.i.=0 se tiene en el dominio de s: a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 0 X(s) G(s)= b 0 / (a 2 s 2 + a 1 s + a 0 )

21 La ecuación de segundo orden se puede escribir en términos de la frecuencia natural y del factor de amortiguamiento : La ecuación de segundo orden se puede escribir en términos de la frecuencia natural y del factor de amortiguamiento : es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará en ausencia de cualquier amortiguamiento y es el factor de amortiguamiento. En el dominio de s: es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará en ausencia de cualquier amortiguamiento y es el factor de amortiguamiento. En el dominio de s: s 2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = b 0 2 X(s)

22 First Order System Impulse response Exponential Step response Step, exponential Ramp response Ramp, step, exponential No oscillations (as seen by poles)

23 Respuesta al escalón G 0.86G 0.95G Tiempo y G y= G(1-e -t/ ) para una entrada escalón unitario

24 G 0.86G Tiempo y G y= G[1- (1-e -t/ )] para una entrada rampa unitaria Respuesta a la rampa

25 G/ Tiempo y G y= G ( 1/ ) e -t/ para una entrada impulso unitario 0.13G/ 0.05G/ Respuesta al impulso

26 Respuesta a la rampa Tiempo y Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada rampa unitaria y= bt, =0 y= bt - 2 / <1 =1

27 Respuesta al impulso t y/b 0 Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada impulso =0.1 =0.5 =1 =2

28 M p = Máximo sobrepaso tsts tptp trtr tdtd Respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón

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31 Sistemas Discretos

32 Respuesta al impulso Es la respuesta de un sistema a un impulso unitario [n] Es la respuesta de un sistema a un impulso unitario [n] Proporciona un método para encontrar la respuesta de estado cero de sistemas LTI sobre cualquier entrada usando superposición Proporciona un método para encontrar la respuesta de estado cero de sistemas LTI sobre cualquier entrada usando superposición La respuesta al impulso y la repuesta al escalón se usan para evaluar el funcionamiento de los sistemas digitales La respuesta al impulso y la repuesta al escalón se usan para evaluar el funcionamiento de los sistemas digitales

33 h[n]: Salida de LTI relajado si x[n]= [n] h[n]: Salida de LTI relajado si x[n]= [n] s[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=u[n] s[n]: Salida de LTI relajado si x[n]=u[n] Impulso de entrada [n] Sistema LTI relajado Respuesta al impulso h[n]

34 Respuesta h[n] por recursión Respuesta h[n] por recursión Ej: Encuentre h[n] si y[n]- y[n-1]=x[n] Ej: Encuentre h[n] si y[n]- y[n-1]=x[n] Se encuentra h[n] como la solución a h[n]= h[n-1] + [n] sujeto a la condición y[-1]=0. Por recursión: h[0]= h[-1] + [0]=1 h[2]= h[1] = 2 h[1]= h[0] = h[3]= h[2] = 3 h[1]= h[0] = h[3]= h[2] = 3 La forma general de h[n] se puede encontrar como h[n]= n u[n]

35 Estabilidad La estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que a cada entrada acotada debe corresponder a una salida acotada La estabilidad de entrada acotada, salida acotada (BIBO) implica que a cada entrada acotada debe corresponder a una salida acotada Las condiciones de estabilidad se determinan por medio de las raíces de la ecuación característica: una condición es que cada raíz debe tener una magnitud menor que uno Las condiciones de estabilidad se determinan por medio de las raíces de la ecuación característica: una condición es que cada raíz debe tener una magnitud menor que uno

36 Las raíces con magnitudes igual a la unidad hacen al sistema inestable: Las raíces con magnitudes igual a la unidad hacen al sistema inestable: Las raíces sencillas (no repetidas) con magnitud unitaria producen una respuesta natural constante o senoidal que es acotada, pero si la entrada es una constante o senoide a la misma frecuencia, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente (véase Tabla 5.2) Las raíces sencillas (no repetidas) con magnitud unitaria producen una respuesta natural constante o senoidal que es acotada, pero si la entrada es una constante o senoide a la misma frecuencia, la respuesta forzada es una rampa o senoide creciente (véase Tabla 5.2) Las raíces repetidas con magnitud unitaria producen una respuesta natural que es senoidal creciente o polinomial creciente Las raíces repetidas con magnitud unitaria producen una respuesta natural que es senoidal creciente o polinomial creciente Los filtros FIR son siempre estables Los filtros FIR son siempre estables

37 |z|=1 Longer settling time Re(s) Im(s) Unstable Stable Higher-frequency response

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39 Transformada Z

40 Example 1: Consider the time function Example 1: Consider the time function

41 Another example … Example 2: Now consider the time function Example 2: Now consider the time function Let Let Then, Then,

42 The importance of the region of convergence Did you notice that the Z-transforms were identical for Examples 1 and 2 even though the time functions were different? Yes, indeed, very different time functions can have the same Z-transform! Whats missing in this characterization? The region of convergence (ROC). Did you notice that the Z-transforms were identical for Examples 1 and 2 even though the time functions were different? Yes, indeed, very different time functions can have the same Z-transform! Whats missing in this characterization? The region of convergence (ROC). In Example 1, the sum converges only for In Example 1, the sum converges only for In Example 2, the sum converges only for In Example 2, the sum converges only for So in general, we must specify not only the Z-transform corresponding to a time function, but its ROC as well. So in general, we must specify not only the Z-transform corresponding to a time function, but its ROC as well.

43 What shapes are ROCs for Z- transforms? In Example 1, the ROC was We can represent this graphically as: In Example 1, the ROC was We can represent this graphically as:

44 What shapes are ROCs for Z- transforms? In Example 2, the ROC was We can represent this graphically as: In Example 2, the ROC was We can represent this graphically as: (ROC is shadedarea)

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47 Propiedades de la Transformada Z

48 Transformadas Z

49 Polos de Transformada Z

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57 Ej: El sistema y[n] – (1/6)y[n-2] = x[n] es estable ya que las raíces de la ec. característica z 2 -(1/6)z-1/6=0 son z 1 =1/2 y z 2 = -1/3 y sus magnitudes son menores a 1 Ej: El sistema y[n] – (1/6)y[n-2] = x[n] es estable ya que las raíces de la ec. característica z 2 -(1/6)z-1/6=0 son z 1 =1/2 y z 2 = -1/3 y sus magnitudes son menores a 1 Ej: El sistema y[n] – y[n-1] = x[n] es inestable. La raíz de su ec. característica es z=1 y resulta la respuesta natural y N =Ku[n] que es acotada, pero si x[n]=u[n], la respuesta forzada es Cnu[n] que es no acotada Ej: El sistema y[n] – y[n-1] = x[n] es inestable. La raíz de su ec. característica es z=1 y resulta la respuesta natural y N =Ku[n] que es acotada, pero si x[n]=u[n], la respuesta forzada es Cnu[n] que es no acotada

58 El sistema y[n] – 2y[n-1] + y[n-2]= x[n] es inestable. Las raíces de z 2 -2z+1=0 son iguales y producen la respuesta natural no acotada y N [n]=Au[n] + Bnu[n] El sistema y[n] – 2y[n-1] + y[n-2]= x[n] es inestable. Las raíces de z 2 -2z+1=0 son iguales y producen la respuesta natural no acotada y N [n]=Au[n] + Bnu[n] Ej: El sistema y[n] – (1/2)y[n-1] = nx[n] es lineal, variante e inestable. La entrada en escalón (acotada) x[n]=u[n] produce una respuesta que incluye a la rampa un[n] que es no acotada Ej: El sistema y[n] – (1/2)y[n-1] = nx[n] es lineal, variante e inestable. La entrada en escalón (acotada) x[n]=u[n] produce una respuesta que incluye a la rampa un[n] que es no acotada Ej: El sistema y[n]=x[n] – 2x[n-1] es estable porque describe un filtro FIR Ej: El sistema y[n]=x[n] – 2x[n-1] es estable porque describe un filtro FIR

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60 Tarea C. Digital 1. Evalúe la respuesta natural, forzada, de estado cero, de entrada cero y total. Suponga y(0)=1 y las otras condiciones iniciales iguales a cero y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2e -t u(t) y(0)=0 y(0)=1 y(t) + 4y(t) + 3y(t) = 36t u(t) y(0)=0 y(0)=1

61 2. Obtenga la Transformada de Laplace de las siguientes funciones: a) Un escalón de voltaje de magnitud 6V que empieza en t=3s b) 5e -2t c) 5(1-e -2t ) 3. Obtenga por medio de fracciones parciales la Transformada de Laplace inversa de: ( 6s+8 ) / [ s(s+1)(s+2) ]

62 4. Utilice Matlab para encontrar los polos y ceros de la función de transferencia: (5s 2 +3s+4)/(s 3 +2s 2 +4s+7) 5. Utilice Matlab para obtener la respuesta a una entrada escalón para un sistema con una función de transferencia: 5/(s 2 +3s+12) 6. Utilice Matlab para obtener la gráfica del lugar geométrico de las raíces para G(s)=(s+1)/(s 2 +4s+3)

63 Comandos de referencia de Matlab: Comandos de referencia de Matlab: >> num=[] >> den = [] >> [z,p,k]=tf2zp(num, den) >> step(num, den) >> rlocus(num, den)

64 Tarea C. Digital Avanzado 1. Para el sistema {1 – z -1 – 2z -2 }y[n]=x[n] establezca su ecuación de diferencias y calcule la respuesta total 2. Encuentre la respuesta al impulso h[n] por recursión hasta n=4 para los sistemas y[n] – y[n-1] = 2x[n] y[n] – 3y[n-1] + 6y[n-2] = x[n-1]

65 3. Investigue la causalidad y estabilidad de los sistemas: y[n] – 2y[n-1] = x[n] y[n] + y[n-1] + 0.5y[n-2] = x[n] y[n] = x[n] + x[n-1] + x[n-2]

66 4. Encontrar la T.Z. de la secuencia 0,1,2,3… 5. Determinar la función de transferencia para un sistema que tiene la ecuación en diferencias y[n+2] – 5y[n+1] + 6[n] = x[n] 6. Encontrar la transformada z inversa para las siguientes funciones: F(z)=z/[(z-1)(z-2)(z-3)]

67 7. Utilice Matlab para simular la salida del siguiente sistema a una entrada escalón y una entrada senoidal


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