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Repaso para Controles INEL 4505 preparado por: Guillermo Ramírez Rivera.

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1 Repaso para Controles INEL 4505 preparado por: Guillermo Ramírez Rivera

2 Estas presentaciones contienen material relacionado con el curso INEL 4505 de Control Básico. Aquí encontrarán material de mis notas de la clase dada por el Dr. Raúl Torres Muñiz, el Dr. Gerson Beauchamp Báez e información que se encuentra en el libro titulado Control Systems Engineering de Norman S. Nise. No me hago responsable de los errores que hayan en las transparencias. Esto es solo un repaso de la clase. Puede haber errores en las transparencias. Espero que estas transparencias sean de provecho para todos los que lo vean. atentamente, Guillermo Ramírez Rivera IMPORTANTE Creditos e información sobre las transparencias.

3 Temas: Resolver ecuaciones diferenciales Utilizando condiciones iniciales = 0 Saber utilizar Laplace para resolver En el dominio de la frecuencia. Saber utilizar Laplace inversa para Mover al dominio del tiempo. Domino de fracciones parciales. Capítulo 1 y parte del capítulo 2 Modelos mecánicos, Modelos eléctricos Modelos de amplificadores operacionales. Capítulo 2 y 3 Respuesta en el dominio del tiempo Tiempo de establecimiento Tiempo pico Tiempo de subida Por ciento de rebase ω n y ζ Teorema del valor final Teorema del valor inicial Capítulo 4

4 Diagrama de bloques Reducción de bloques No confundir un sistema Con una señal. Capítulo 5 Estabilidad Usando método de Routh Usando método de Routh & Hurwitz Capítulo 6 Root Locus Error Capítulo 7 Problemas asignados: Cap1: 1, 2, 13, 15 Cap2: 1, 2, 8, 16, 18, 21, 26, 42 Cap4: 2, 4, 6, 8, 15, 16, 23, 24, 30 Cap5: 1, 2, 4, 6, 20, 26, 27 Cap6: 1, 2, 4, 8, 10, 12, 23, 25, 29 Cap7: 1, 3, 9, 12, 14, 43, 44, 45

5 Forma general en el dominio del tiempo Expansión en fracciones parciales Problema de ecuaciones diferenciales Para la siguiente ecuación diferencial Buscar el valor de las Ks Evaluado en s = j2Evaluado en s = -7

6 Objetivos de análisis y diseño estabilidad respuesta transitoria error en estado estacionario igual a cero o bien pequeño Un procedimiento de diseño: 1.Transformar los requerimientos de desempeño a un sistema físico 2.Dibujar diagrama de bloques funcional 3.Dibujar un diagrama esquemático 4.Desarrollar un modelo matemático 5.Simular, analizar el sistema y simular su respuesta 1.Establecer los objetivos de control 6.Diseñar el controlador que cumpla con los objetivos de control 7.Simular el desempeño de sistema de control de lazo cerrado 8.Evaluar desempeño, si es satisfactorio, implantar, si no lo es, volver a diseñar (paso 6)

7 Capítulo 2 Un conjunto de ecuaciones diferenciales que describe el sistema para todo tiempo no necesariamente tiene que ser lineal Cuando aparece una ecuación no lineal, la linearizamos Cuando las ecuaciones diferenciales son lineales e invariantes en el tiempo (estacionarias), entonces se puede usar la transformada de Laplace para transformar las ecuaciones diferenciales a funciones racionales y algebraicas. y = mx +b

8 Ecuaciones diferenciales son el fundamento de los modelos matemáticos Vamos a crear el modelo fundamental que describe el comportamiento dinámico del circuito. Sistema lineal satisface el principio de superposición Falta otra ecuación: KCL 1 : Para este modelo utilizamos una fuente AC senosoidal en estado estacionario. Ecuaciones diferenciales acopladas. Para ecuaciones que no posean transformada de Laplace seguimos usando la ecuación. Para un circuito lineal: +-+- L RC V i (t) V c (t) Tenemos dos variables desconocidas y una sola ecuación 1) Definir las variables que vamos a usar: KVL 1 : Ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes Nombre y Apellido: Ahora podemos expresar en términos de v c (t)

9 Ecuaciones diferenciales acopladas (continuación del circuito anterior) Una parte de la ecuación resuelve parte de la otra ecuación y siguientemente otra parte de ese segundo resuelve una parte del primer circuito. Podemos escribir las ecuaciones que describen su comportamiento dinámico utilizando las leyes de Kirchoff. Vamos a buscar la función de transferencia desde v i (t) hasta v o (t) 1) Aplicar transformada de Laplace 1 2 Queremos resolver para: Las únicas condiciones que hacen falta para que haya función de tranferencia son que sea lineal y estacionario. (sus parámetros no cambian función del tiempo) Para un circuito con condiciones iniciales igual a cero +-+- L RC V i (t) V o (t)

10 Modelos para redes eléctricas Tipos de modelos 1)Conjunto de ecuaciones integrodiferenciales 2)Conjunto de ecuaciones diferenciales de 1 er orden (variables de estado) 3)Funciones de transferencia KVL 1 : Ésta ecuación es útil si deseamos hallar v c (t), es mejor utilizar la ecuación en términos de v c (t). Resulta: Ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes. Ejemplo: Dada la red Determine un modelo de la red con ecuaciones integro diferenciales +-+- v C (t) R L Sustituyendo en la ecuación

11 Función de transferencia Aplicando la Transformada de Laplace con condiciones iniciales igual a cero Los polos son: Podemos tener tres casos Polos Complejos Polos Reales Repetidos Sigue el análisis de la página anterior negativo positivo igual a cero

12 +-+- R v i (t) Realizamos un divisor de voltaje en el inductor Buscamos impedancia total equivalente La función de transferencia que resulta es: Ejemplo Modelo de frecuencia

13 Modelo para capacitancias +-+- Modelo para inductancias +–+– I L (s) + i L (s) – + V L (s) – + v c (s) – c*v c (0 - ) + v c (s) –

14 Ejemplos de circuitos eléctricos +-+- v C (t)R L KVL: KCL: #1#2#1 Despreciando condiciones iniciales Ecuaciones en el dominio del tiempo

15 Ejemplo de circuitos eléctricos +-+- R L1L1 L2L2 KVL 1 : KVL 2 : Asi que Ecuaciones en el dominio del tiempo i 1 (t)i 2 (t)

16 +-+- R L KVL 1 : KVL 2 : KCL: Ejemplo C Escribiendo las ecuaciones en el dominio del tiempo

17 Usando modelo de frecuencia +-+- R sL V 1 (s) Realizar divisor de voltaje: Función de transrerencia resultante Buscar impedancia total equivalente

18 KVL 1 KVL 2 KCL Escribiendo las ecuaciones en el dominio del tiempo +-+- R L C

19 LfLf J B +Vf–+Vf– RfRf + – RaRa LaLa V a (s) Modelo de motor Posibles entradas v a (t), v f (t), i a (t), i f (t) Posibles salidas ө (t), ω(t), T e (t), T m (t) + V a –

20 Efecto del valor de la resistencia de un potenciómetro El valor de la resistencia de un potenciómetro se escoge para determinar la cantidad de corriente que se permitirá pasar al lado de menor tensión. V cc V out 1pt

21 Modelos Mecánicos Modelo de T e (s) ω(s) –torque eléctrico o mecánico a velocidad angular Modelo de V a (s) ω(s) –voltage del motor a velocidad angular Modelo de V f (s) T e (s) –voltaje externo a torque eléctrico Modelo de ω(s) Ф(s) –velocidad angular a posición angular

22 Modelos mecánicos Motor DC T e (s) ω(s) Torque eléctrico = Torque mecánico T e (s)ω(s) Modelo Bloque de construcción T e (s) ө (s) Bloque de construcción T e (s)ө(s) Modificación Usando Laplace Este término proviene de la masa del eje Este término proviene de la fricción viscosa despreciando condiciones iniciales factorizando ω(s) La función de transferencia resultante es:

23 LfLf J B +Vf–+Vf– RfRf RaRa LaLa V a (s) + V a – V a (s) ω(s) Para este sistema queremos Motor DC V a (s) ω(s) También sabemos que:

24 V a (s)ω(s) Función de transferencia V a (s)ω(s) ө(s) LfLf J B +Vf–+Vf– RfRf RaRa LaLa V a (s) + V a – V a (s) ω(s) Para este sistema queremos

25 V f (s) ω(s) T e = k f I f (s) LfLf J B +Vf–+Vf– RfRf RaRa LaLa V a (s) + V a – Para este sistema queremos T e (s) ω(s) Nuevo bloque más complejo ω(s) Para obtener velocidad angular con voltaje V f combinamos bloques

26 Problema del primer examen Halle la función de transferencia del sistema desde el torque eléctrico hasta la salida de la velocidad angular del motor (ω m del motor) J ω m (s) N2N2 N1N1 B ω 2 (s) Motor 25pts

27 Polos Los polos de una función de transferencia son los valores de s que hacen que el denominador sea igual a cero Ceros Los ceros de una función de transferencia son los valores de s que hacen que la función de transferencia sea igual a cero. Los polos se grafican con X y los ceros se grafican con O X O Multiplicamos por el escalón: R(s) =1/s R(s) C(s)

28 1. El polo de la función de entrada R(s) genera la respuesta forzada del sistema Efectos de los polos y ceros 4. Los polos y ceros de una función generan las amplitudes de ambas respuestas (natural y forzada). K 1 ; K 2,K 3 y K Un polo en el eje real genera una respuesta de la forma e -αt donde –α es la posición del polo en el eje real. Adicionalmente, entre más lejos (hacia la izquierda) se encuentre el polo, la respuesta transitoria exponencial caerá más rápidamente. 2. El polo de la función de transferencia genera la respuesta natural del sistema Entrada

29 Buscando las Ks para distintos sistemas Casos: 1.Polos puramente reales 2.Polos puramente imaginarios 3.Polos complejos 4.Polos reales repetidos

30 Polos puramente reales

31 Polos puramente imaginarios

32 Polos puramente complejos complejos

33 Polos reales repetidos

34 La frecuencia de oscilación de un sistema de segundo orden es la frecuencia de oscilación del sistema sin amortiguación. (rad/seg) Frecuencia natural ω n Factor de amortiguamiento ζ Ejemplo: encuentre la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento

35 Ejemplo de prueba corta Y(s) Completando el cuadrado Respuesta en tiempo Polos 4/6pts verificar

36 Mostrar un ejemplo de: Sistema de lazo abierto Sistema de lazo cerrado Sistema de lazo abierto controladorplanto o proceso Ref. entradasalida Un lápiz mecánico puede ser considerado como un sistema de lazo abierto Respuesta deseada: que la mina salga del lápiz mecánico; que el largo de la mina sea suficiente para que dure y a la misma vez lo suficientemente corta para que no se parta Controlador: dedo pulgar Planta o proceso: mecanismo saca punta Salida: largo de punta en milímetros 1pt

37 Diagramas de Bloques Ocho Reglas –Retroalimentación –Bloques en serie –Bloques en paralelo –Adelantar un punto de bifurcación –Atrazar un punto de bifurcación –Adelantar un sumador –Atrazar un sumador –Propiedad asociativa de la suma

38 Retroalimentación G(s) H(s) R(s)C(s) R(s) C(s) Este bloque es el fundamento para los sistemas de lazo cerrado. Los sistemas de lazo cerrado son más estables porque miden su salida para manipular su entrada y así lograr la respuesta deseada #2#1 La retroalimentación típica es (-) degenerativa La retroalimentación mala es (+) regenerativa

39 Bloques en serie G 1 (s)G 2 (s) R(s)C(s) G1(s) x G2(s) R(s)C(s) Se multiplica lo que haya en los bloques

40 Bloques en paralelo G1(s) + G2(s) R(s)C(s) G 1 (s) G 2 (s) R(s) C(s) Se suma lo que haya en los bloques en paralelo

41 Adelantar punto de bifurcación G 1 (s) G 2 (s) X 2 (s) X 1 (s) G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s)

42 Atrazar un punto de bifurcación G 1 (s) G 1 (s)G 2 (s) X 2 (s) X 1 (s) G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s)

43 Adelantar un sumador G 1 (s) G 2 (s) X 2 (s)X 1 (s) G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s)

44 Atrazar un sumador G 1 (s) G 1 (s)G 2 (s) X 2 (s) X 1 (s) G 1 (s) X 2 (s) X 1 (s)

45 Propiedad asociativa de la suma X4X4 X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X1X1 X2X2 X3X

46 Ejemplos de diagramas de bloques dado en asignación Procedimiento 1.Adelantar el punto de bifurcación #1 2.Realizar retroalimentación unitaria 3.Realizar suma 4.Realizar bloques en serie G(s) XX R(s) Y(s) 1 1 Es importante saber que hay más de una forma de resolver este problema

47 Amplificadores operacionales Dos tipos –Inverting –Non inverting Tenemos que asumir que las resistencias internas de un amplificador operacional son mucho mayores que las externas. Por eso es que decimos que no fluye corriente a través de el. Non Inverting Inverting

48 Opamp de tipo inverting R2R2 R1R R3R3 con un poco de algebra Nuestro diagrama resulta de la siguiente forma Si α tiende a cero, la respuesta tiende a: i R1 i R2 La corriente a través de R 1 es la misma corriente a través de R 2 –

49 R2R R1R1 Non Inveting Las resistencias periferales al opamp son mucho más pequeñas que las resistencias internas al opamp. La ganancia de este opamp es: Como I = 0, V - es un divisor de voltaje de V o entre R 1 y R 2. Nuestro diagrama resulta de la siguiente forma

50 Problema del primer examen Dado el siguiente circuito: a)Haga el diagrama de bloques del sistema b)Determine la función de transferencia del sistema usando reducción de bloques 6/70pts X vivi v 1o v 1– X v 1o v 2o v 2– + | R3R3 R2R2 R1R1 R5R5 R4R4 vivi v 1o v 1– v 2– v 2o v 1+ Para el primer opampito (opamp chiquito) Para el segundo opampa (opamp argentino) v 1+ – v 1– v 1o v 1o – v 2– v 2o Bloques de construcción

51 v 2o v 1+ – v 1– v 1o v 1o – v 2– v 2o X – v 1+ X X v 1o v 2– X vivi v 1– – X vivi v 1o v 1– Este revolú resulta v 1+ – v 1– v 1o X v 2o v 2– v 1o – v 2– v 2o

52 Sistemas de primer orden Un sistema de primer orden es aquel que posee un solo polo Respuesta Forzada Respuesta Natural Cuando t = 1/a el exponencial llega al 37% de su valor La constante de tiempo tau es el valor para el cual e -αt llega al 37% o c(t) al 63% La constante de tiempo es el recíproco del polo Podemos calcular cuanto tiempo se demora la función en llegara a su valor final. Laplace

53 Tiempo de establecimiento Tiempo de establecimiento (settling time) T s : es el tiempo en el cual la respuesta alcanza un valor del 2% del valor final (necesita mejor explicación) Podemos calcular cuanto tiempo se demora la función en llegara por primera vez a su valor final.

54 Tiempo de subida Tiempo de subida T rise = T r : está definido como el tiempo que demora la respuesta en ir del 0.1 al 0.9 de su valor.

55 Sistemas de Segundo Orden Hay cinco tipos de sistemas –Estables Críticamente amortiguado Sub Amortiguado Sobre Amortiguado No Amortiguado (oscilatorio) – Inestables Descontrolado

56 Sistema inestable Usualmente se caracteriza por un sistema sin retroalimentación La señal de salida del sistema crece sin cota. Todos los sistemas están limitados en la cantidad de energía que pueden proveer. Los sistemas inestables llegan a un punto de saturación G(s) X

57 Sistemas Estables Para una ecuación de segundo orden: Ecuación característica = Factor de Amortiguamiento El factor de amortiguamiento va a determinar la naturaleza del sistema. Tipo de Estabilidad Críticamente Amortiguado Igual a 1 Sub AmortiguadoMenor que 1 y mayor que 0 Sobre AmortiguadoMayor que 1 No AmortiguadoIgual a 0

58 Tiemo de establecimiento: es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas del Periodo oscilatorio alcancen 2% de su valor en estado estacionario Porciento de rebase: Representa la diferencia porcentual entre el pico máximo y el valor final de la respuesta en estado estacionario. Tiemo de subida: es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 0.1 al 0.9 del valor final. Cuando la respuesta corta por primera vez el valor final. Tiemo pico: es el tiempo requerido para que la respuesta alcance su primer pico o máximo pico Para sistemas de segundo orden

59 Para mantener el T p constante el producto tiene que permanecer constante, asi que decimos que la parte imaginaria debe de permanecer constante Para mantener el %OS constante hay que mantener la razón de tiene que permanecer constante (factor de amortiguamiento constante). Para mantener T s constante hay que mantener la parte real de los polos constante Aumento en la frecuencia de la respuesta Tiempo de crecimiento y tiempo de pico menores Se manteiene la envoltura exponencial (generada por la parte real) El tiempo de establecimiento se mantiene constante Aumenta el %OS El %OS se mantiene constante Tiempo de pico, de subida y de establecimiento varían. (menor tiempo a medida que los polos se alejan del origen) La frecuencia de la respuesta permanece igual Tiempo de crecimiento y tiempo de pico se mantienen constantes El tiempo de establecimiento aumenta Varía el %OS, (aumenta) A medida que los polos se alejan del eje imaginario, la respuesta se hace menos oscilatoria σ jw d 0 σ σ

60 Respuesta Sobre Amortiguada 0σ jw d Respuesta Sub Amortiguada -4 0 σ jw d Respuesta No Amortiguada 0σ jw d Respuesta Críticamente Amortiguada -30σ jw d Sistemas de segundo orden Dos polos en el eje real negativo Respuesta Natural: dos exponenciales con constantes de tiempo iguales al recíproco de la ubicación de los polos Dos polos complejos Respuesta Natural: Una onda senosoidal envuelta en un exponencial cuya constante de tiempo corresponde al recíproco de la parte real de los polos Dos sobre el eje imaginario Respuesta Natural: Una onda senosoidal no amortiguada. La ausencia de parte real corresponde a una respuesta que no decrece Dos polos complejos Respuesta Natural: Un término exponencial y otro termino exponencial multiplicado por t. Gráfica de polos Características

61 Naturaleza: Sobre amortiguado Polos: S 1,2 = -3, -6 Ceros: no tiene Naturaleza: Sobre amortiguado Polos: s 1,2 = -10, -20 Cero: s = -7 Naturaleza: NO Amortiguado Polos: s 1,2 = j3, -j3 Ceros: s = -2 Naturaleza Sobre amortiguado Polos: s 1,2 = -10, -10 Ceros: s = -5 Problema 4.8 ζζ ω n -ζ ω n +(1- ζ 2 ) 1/2 4.5 S 1,2 = -3, s 1,2 = -10, s 1,2 = 00 s 1,2 = j3, -j s 1,2 = -10, -10 Naturaleza: Sub amortiguado Polos: s 1,2 = Ceros: no tiene

62 Aproximación de sistemas a segundo orden Los polos dominantes son los que se encuentran más cerca del origen. Si un sistemas tiene polos adicionales y estos se encuentran diez veces más lejos del origen que los polos dominantes, entonces se puede despreciar su efecto para así aproximar el sistema a uno de segundo orden. X veinte es más de diez veces mayor que 1.2

63 20pts Problema del segundo examen Determine el por ciento de rebase para el siguiente sistema de lazo cerrado cuando se le alimenta un salto unitario a la entrada Queremos ver si podemos eliminar este polo Buscamos la ecuación característica para la aproximación de esta ecuación obtenemos que: El polo adicional está en s = -20 así que como es más de diez veces mayor, este sistema se puede aproximar a uno de segundo orden. Las gráficas son más o menos así percent overshoot 50% 2

64 Segunda prueba corta Dado un sistema de lazo abierto con un tiempo de establecimiento de un segundo y un por ciento de rebase desconocido, con un factor de amortiguamiento de y con una entrada de salto unitario: a) determine la función de transferencia cuando e ss = 0 Para un sistema de segundo orden 1pt

65 Problema 4.20 Para cada uno de los sistemas de segundo orden encuentre el valor del factor de amortiguamiento, tiempo de subida, tiempo de establecimiento, tiempo pico y por ciento de rebase.

66 Derivaciones Buscando ζ con %OSBuscando ζ con T s y T p Sacamos el logaritmo de la ecuación Cuadramos

67 Problema 4.23 Para los siguientes sistemas de segundo orden encuentre la localización del par de polos a)%OS = 12% y T S = 0.6 seg b)%OS = 17% y T P = 0.5 seg c)T P = 7 seg y T S = 3 seg Los polos están dados por Para el a) buscamos ζ con la formula conocida dada por el %OS buscamos ω n con la formula conocida dada por T S Para el b) buscamos ζ con la formula conocida dada por el %OS buscamos ω n con la formula conocida dada por T P Para el c) buscamos ζ con la formula conocida dada por T P y T S buscamos ω n con la formula conocida dada por T P o por T S

68 Teorema del Valor Final Teorema: lim f(t) existe si y solo si todos los polos de F(s) tienen parte real negativa con la exepción de un polo simple en s = 0. Es decir, todos los polos estan en el lado izquierdo del plano complejo con la Posible exepción de un polo simple en s = 0. Ejemplo: Sea Note que: Sin embargo, Esta es una función de Naturaleza oscilatoria O sea NO CONVERGE A ningun valor. Otro ejemplo Determine f(t) y discuta si el Teorema del Valor final aplica o no. Si existe Entonces Sea Sin embargo, Otro ejemplo Sea El teorema no se puede aplicar aquí

69 Teorema del Valor Inicial Si f(t) no tiene descontinuidades infinitas en t=0 Entonces, lim f(t) cuando t tiende a cero por la Derecha es igual al lim F(s) cuando s tiende a Infinito La inversa de la transformada de Laplace mediante Expansión en fracciones parciales. El método de Expansión en fracciones parciales aplica únicamente A funciones racionales en s que sean estricatamente Propias. Si existe Entonces Ej: Es impropia dado que el grado del numerador es mayor que el del denominador.

70 Funciones estrictamente propias con polos reales y distintos

71 F(s) tiene polos reales y algunos están repetidos No se puede hacer esto Método de los residuos de Heavyside0

72 Respuesta de sistemas con ceros La respuesta del sistema consta de dos partes: la derivada de la respuesta original y u escalamiento de la respuesta original dada por aC(s) Si a es muy grande, la respuesta se puede aproximar al término aC(s) Si a no es muy grande, la respuesta tendrá un término derivativo que contribuye a la respuesta Para valores pequeños de a podemos esperar %OS más grandes Para ceros en el semiplano derecho, la respuesta seguirá inicialmente al término derivativo en dirección opuesta al escalado por a, resultando en un pico negativo

73 Dado por el cero en el semiplano positivo Este sistema se denomina non minimum-phase system Sistema superior con un cero No es muy pequeño comparado con los otros residuos Este término no se puede despreciar para aproximarlo a un sistema de segundo orden

74 En este caso si hacemos esto para tener un sistema de segundo orden por lo cual podemos despreciar el término haciendo cancelación del cero en -4 y el polo en para aproximar el sistema a un sistema de segundo orden

75 Estabilidad de sistemas lineales y estacionarios Un sistema es estable del tipo BIBO (bounden input bounded output) (entrada acotada salida acotada) si y solo si toda entrada acotada produce una salida acotada Si la salida es acotada solo para algunas entradas, entonces el sistema es marginalmente estable. Estos sistemas típicamente oscilan y su respuesta se sostiene a una amplitud constante sin decaer ni crecer. Un sistema asintoticamente estable si todas sus respuestas debidas a condiciones iniciales decaen asintoticamente a cero. Un sistema es inestable si alguna de sus respuestas crece sin cota

76 Prueba corta Hallar el rango de k que hace al sistema estable X K – 12/12pt s4s4 118K s3s3 9K s2s2 αK s1s1 β s0s0 K

77 Supuesto problema de examen de Raúl Torres Dado que G(s) es un sistema de segundo orden sin ceros R(s)e ss TsTs 10 1/s02 seg 1/s Según estas características el sistema sabemos que el sistema es tipo 1 Determine G(s) Identificar el sistema según la tabla que sabemos de memoria R(s) Para un sistema de lazo cerrado esto es un sistema Tipo 1 de la forma: Para retroalimentación unitaria G(s) R(s)C(s)

78 Nos dicen que T S = 2 segundos así que si ζω n = 2, entonces p 1 = 4 = 2 ζω n Para este sistema la tabla nos dice que Así que k v = 10 así que K = 40 Continuación de supuesto problema

79 Error en régimen permanente Lazo abierto G(s) Definimos: E(s) = R(s) – Y(s) E(s) es la señal de error Para un sistema estable tiene dos polos en el semiplano izquierdo 1 para R(s)=1/s v.f. Caso General Mediante el teorema del valor final si ambos límites existen, entonces El límite de e(t) para t infinito existe si y solo si todos los polos de E(s) están en el lado izquierdo del plano complejo con la posible excepción de un polo simple en cero. Ilustración sea solo si Re(-p 1 )<0

80 Análisis en el dominio de la frecuencia G(s) H(s) R(s)C(s) E(s) = R(s) – C(s) los polos del error son dados por la misma función característica que los polos del sistema Pero sabemos: En general donde N = tipo del sistema = #polos de G(s) en s = 0 Error en respuesta a un escalón Si N = 0 (sistema de tipo cero) (cero polos en s= 0) Para N = 0 y r(t) = u(t) (escalón) constante

81 R(s)012 1e ss = 0 Para Lazo Cerrado

82 Disturbio y Sensibilidad Sensibilidad – Caso se afecta al sistema a un cambio en parámetro Sistema de lazo abierto G(s) Y(s) R(s) D(s) R(s) G(s) Y(s) D(s) Filtro Sistema de lazo abierto Efecto del disturbio en la señal Y(s) Para un disturbio en la entrada Para un disturbio a la salida G(s) D(s) Y(s) R(s) No hay notas aqui

83 Para Sistema de lazo cerrado Con Disturbios a la entrada G(s) H(s) R(s)C(s) D(s) La ventaja es que el sistema de lazo cerrado filtra los ruidos a la entrada G(s) H(s) R(s) C(s) D(s) Para |G(s)H(s)| >> 1 Examen será el 10 de abril de 2003 Disturbios a la salida

84 Sensibilidad Sensibilidad de la señal Y(s) a cambios en el parámetro α Foto transistor nm λ Que su control acepte cambios en la planta G(s) R(s) Y(s)=G(s)R(s) G(s)+ΔG(s) R(s) Y(s)+ΔY Implica que los cambios en el parámetro se reflejan directamente a la salida.

85 Sistema de lazo cerrado G(s) H(s) R(s)C(s) No entiendo esto

86 Deseamos determinar la estabilidad a partir de la función de transferencia del sistema Sea T(s) la función de tansferencia del sistema donde Sabemos que el sistema será asintóticamente estable si y solo si todas las raíces de D(s) son iguales a cero tienen parte real negativa (estan en el lado izquierdo del plano complejo Suponga que r i i= 1,2, …..,n son las n raices de D(s) =0, entonces D(s) = a n (s-r 1 ) (s-r 2 ) ……(s-r n ) D(s) = a n s n – a n (r 1 + r 2 +….r n )s n-1 + a n (r 1 r 2 + r 2 r 3 +….r 1 r 3 + )s n-2 +……+ (a n (-1) n (r 1 r 2 r n ) = 0 Las partes imaginarias se van a juste Todos los coeficientes dan positivo cuando todas las raices tienen parte real negativa

87 Dos condiciones necesarias para que todas las raices de D(s) tengan parte real negativa 1.que todos los coeficientes de D(s) teengan el mismo signo 2.que nincun coeficiente sea cero 3.estas condiciones no son suficientes para garantizar estabilidad sin embargo la podemos usar como prueba preliminar ya que si alguna no se cumple inmediatamente podemos concluir que el sistema es inestable. pero si ambas se cumplen no podemos concluir nada con respecto a estabilidad Contra ejemplo q(s) satisface la prueba preliminar sin embargo q(s) = (s+2)(s 2 – s +4) donde los polos tienen parte real positiva Los cambios de signo en la columna izquierda del arreglo R-H indican la cantida de raices con parte real positiva (en el lado derecho del plano complejo)

88 Criterio de Routh y Hurwitz Provee una condición necesaria y suficiente para evaluar la estabilidad de sistemas Lineales y estacionarios a partir de su polinomio característico. El método está basado en un arreglo de números formado a partir de los coeficientes del polinomio característico. Tres posibilidades: Caso1: No hay cambios de signo, No hay fila de ceros, El sistema es estable Caso2: Hay ceros en la primera columna pero la fila no es totalmente de ceros. Se sustituye el cero por un epsilon y se asume positivo. Luego se busca el limite cuando epsilon tiende a cero por la derecha y se ve que signo tiene epsilon Caso3: Fila de ceros. Se diferencia la ecuación auxiliar. La ecuación auxiliar es un factor de la ecuación característica

89 Dado el polinomio Formamos el siguiente arreglo Donde:

90 R(s)C(s) K s3s3 120 s2s2 3K s1s1 0 s0s0 K K = 2, K = 6, K = 8 establemarginalmente estable inestable s3s3 120 s2s2 3K s1s1 4/30 s0s0 K con K = 2 s3s3 120 s2s2 3K s1s1 -2/30 s0s0 K con K = 8 s3s3 120 s2s2 3K s1s1 00 s0s0 K con K = 6 fila de ceros (caso especial)

91 s4s4 131 s3s3 240 s2s2 11 s1s1 10 s0s0 1 s4s4 135 s3s3 240 s2s2 15 s1s1 -60 s0s0 5 Dos cambios de signo en la primera columna Dos raices en la parte real positiva

92 s5s s4s s3s3 060 s2s2 s1s1 d1d1 s0s0 Un polinomio de orden impar, obligao, cruza en algun punto el eje

93 R(s)C(s) K s4s4 11K s3s3 11 s2s2 έ K s1s1 s0s0 K si epsilon 0 + hay dos cambios de signo si epsilon 0 - hay dos cambios de signo Conclución: No es posible estabilizar este sistema

94 R(s)C(s) K s3s3 15 s2s2 2K s1s1 0 s0s0 K Si K es igual a diez hay una fila de ceros en el arreglo R-H (caso 3) Cuando esto ocurre, el polinomio correspondiente o la fila sobre la fila de ceros en este caso 2s se convierte en un factor del polinomio original Las raíces del polinomio para K = 10 son s 1 = -2 y s 2,3 = raíz cuadrada de cinco Para K = 10 el sistema queda uno marginalmente estable

95 Determine si el sistema se puede estabilizar para algún valor de K R(s)C(s) Ecuación característica: s2s2 (K+1)(2+K) s1s1 30 s0s0

96 La prueba preliminar es suficiente para cualquier polinomio cuadrático sea la ecuación característica cuadrática: *Es innecesario hacer el arreglo de R-H cuando usted tiene una cuadrática Requerimos a > 0, b > 0, c > 0 s2s2 ac s1s1 b0 s0s0 c

97 R(s)C(s) Ecuación característica: Arreglo R-H s3s3 1(3+K) s2s2 46K s1s1 s0s0

98 Ejemplos discutidos en clase Dado D(s) decir si es estable, inestable o condicionalmente estable Despues que pasó todas las pruebas, el sistema es inestable. Este ejemplo se llama NO TE CONFIES. Todos los coeficientes son positivos No faltan coeficientes Prueba preliminar Primer Ejemplo

99 Todos los coeficientes son positivos No faltan coeficientes Prueba preliminar Caso especial Inestable (-) Segundo Ejemplo

100 Todos los coeficientes son positivos No faltan coeficientes Prueba preliminar Es inestable por el cero y no por el negativo uno Tercer Ejemplo Si α > 0 m > 0

101 Todos los coeficientes son positivos No faltan coeficientes Prueba preliminar Cuarto ejemplo A(s) siempre es un factor de la Ecuación Característica Lo que hacemos es lo siguiente Fila anterior: ecuación auxiliar: A(s) TODOS POSITIVOS

102 Problema 6.4 Cuántos polos se encuentran en el el lado izquierdo y cuantos se encuentran en el lado derecho Para el sistema de lazo abietro Ningun cambio de signo en la primera columna, por lo tanto ninguna raiz en el lado derecho del plano compejo por lo tanto el sistema es estable S4S S3S S2S S1S1 00 s0s0

103 Problema 6.8 Determine si el sistema de retroalimentación unitaria es estable para: G(s) Hay dos cambios de signo en la primera columna del arreglo. Por lo tanto hay dos raíces en la parte real positiva (en el lado derecho del semiplano. EL SISTEMA ES INESTABLE S4S S3S S2S S1S1 -74 S0S0

104 Problema 7.3 Para el sistema mostrado ¿qué error podemos esperar para una entrada de 15u(t) 1/s5/(s+1) 2 s+3

105 Problema 7.12 Para el sistema encuentre K p, K v, y K a Encuentre el error en estado estacionario para entrada de 50u(t), 50tu(t), y 50t 2 u(t) Diga de que tipo es el sistema

106 Problema 7.14 Diga que tipo de sistema es este

107 Problema 7.43 Dado el sistema mostrado haga lo siguiente: a)Derive la expresión para el error, E(s) = R(s) – C(s), en términos de R(s) y D(s) b)Derive el error en estado estacionario e(inf), si R(s) y D(s) son funciones de salto unitario c)Derermine los atributos de G 1 (s), G 2 (s) y H(s) necesarios para que el error en estado estacionario llegue a cero G 1 (s)G 2 (s) H(s)

108 Problema 7.44 Dado el siguiente sistema encuentre la sensitividad de el error en estado estacionario Debido al parametro a. Asuma que hay una entrada de salto unitario. Grafique la Sensitividad como función del parametro a. (s+a)

109 Problema 7.45 Para el sistema encuentre la sensitividad de el error en estado estacionario para cambios En K 1, y en K 2, cuando K 1 =100 y K 2 =0.1. Asuma que las entradas de salto son en la entrada Y en el distrurbio. K1K1 s+1

110 Reglas para Root locus Condición angular : hay root locus si los ángulos G(s)H(s) = 180 mas o menos n360 Condición de magnitud: |KG(s)H(s)| = 1 Note que 1 + KG(s)H(s) = 0 se puede escribir de la forma KG(s)H(s) = -1 + j0 = 1ángulo k360 para valores de k = 1,2,3………… Root locus comienza en los polos y termina en los ceros X 0 Root locus existe a la izquierda de un numero impar de polos y ceros Root locus es simétrico con respecto al eje real Regla # 1 Regla # 2 Regla # 3 Regla # 4 Regla # 5 Las asíntotas señalan a los ceros en infinito todas las asíntotas se intersecan en un punto,σ a y ese punto se encuentra e el eje real n a = número de polos – número de ceros n a = numero de asíntotas o ceros en el infinito

111 Regla # 6 Para hallar el intercepto con el eje imaginario usamos R-H y hacemos que el sistema sea oscilatorio creando una fila de ceros y buscando la frecuencia de oscilación La frecuencia de oscilación es el intercepto con el eje imaginario. Regla # 7 Puntos de ruptura- Es donde el root locus abandona el eje real A) Pto Ruptura de salida K es máximo con respecto a S B) Pto. Ruptura de Entrada K es mínimo con respecto a S C) Pto Ruptura de bifurcación K es un punto de inflexión Regla # 8 Ángulo de salidad o ángulo de entrada. En el eje el ángulo de salida o entrada de los puntos de ruptura va a ser igual a #de polos en el punto de ruptura. Fuera del eje se usa la condición angular.

112 Ejemplos de clase Puntos de ruptura analíticamente:

113 Root locus es un procedimiento gráfico usado para determinar los polos de un sistema de lazo cerrado. Gráficamente, el locus es el conjunto de pasos en el plano trazado por los polos de lazo cerrado mientras se varía la ganancia (K) desde cero hasta infinito. En términos matemáticos dada una función KG(s) donde K es la ganancia del root locus y la función de transferencia para lazo cerrado es: El root locus esta dado por las raíces de 1 +KG(s) = 0 mientras K varía desde cera hasta el infinito. Mientras los valores de K cambian, las soluciones para la ecuación cambian La ecuación característica de un sistema está basada en la función de transferencia que sirve de modelo para el sistema. Ella contiene la información necesaria para determinar la respuesta de un sistema dinámico. Solo hay una ecuación característica para un sistema dado La ganancia del root locus, típicametne llamada K, es la ganancia del sistema de lazo cerrado. Mientras determinamos el root locus, variamos la ganancia desde cero hasta el infinito. Notamos que las variaciones correspondientes en los polos de lazo cerrado determinan el root locus. Mientras la ganancia se mueve desde cero hasta el infinito, los polos se mueven desde los forward loop polos hasta los forward loop ceros o el infinito.

114 El criterio angular se usa para determinar los ángulos de salida para las partes del root locus que se encuantran cerca de los polos de lazo abierto y para saber los ángulos de llegada para las partesd de l root locus que se encuentran cerca de los ceros de lazo abierto. Cuando este criterio es utilizado juntamente con el criterio de magnitud, se puede determinar si un punto en el plano complejo es o no es parte del root locus El criterio angular está definido como

115 El ángulo de salida es el ángulo al cual en el cual el locus sale de un polo en el plano complejo. EL ángulo de llegada es el ángulo en el cual el locus llega a un cero en el plano complejo. Por convención, ambos tipos de ángulos se miden relativamente a un rayo que comienza en el origen y se extiende hacia la derecha a través del eje real del plano complejo. Ambos, ángulo de salida y entrada se encuentran usando el criterio ángular Los puntos de corte ocurren en el locus donde dos o más loci convergen o divergen. Los puntos de corte suelen ocurrir en el eje real pero pueden aparecer en cualquier sitio del plano complejo. El loci que se acerca/diverge desde un punto de corte lo hace a ángulos que se encuentran colocados equitativamente con respecto al punto de corte. Los ángulos a los cuales ellos llegan/salen son una función del número de loci que se acerga/diverge del punto de corte. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es un método para determinar si un sistema es on o es estable basado en los coeficientes de la ecuación característica del sistema. El particularmente de ayda para los sistemas de un orden mayor (grande) porque no requiere que las expresiones del polinomio sean factorizadas.

116 La función de transferencia define las relaciones entre las entradas y salidas de un sistema. La función de transferencia es típicamente escrita en el dominio de la frecuencia, en vez del dominio del tiempo. La transformada de LaPlace se usa para representar el dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia. Si x(t) es la entrada a un sistema y y(t) es la salida del sistema, y la transformada LaPlace de la entrada es X(s) y la transformada de LaPlace de la salida es Y(s), entonces la función de transferencia entre la entrada y la salida es Y(s)/X(s)

117 Comenzamos con los polos y ceros del "forward loop". Como el locus representa el paso de las raíces (específicamente de los polos de lazo cerrado) mientras la ganancia se varía, comenzamos con la configuración en la cual la ganancia del sistema de lazo cerrado es igual a cero. Cada locus comienza en el polo de lazo forward y termina en forward loop cero. Si el sistema tiene más polos que ceros, entonces algunos de los loci terminan en ceros localizado infinitamente lejos de los polos. Varias root loci tienen paso en el eje real. La parte del eje real que tiene la porción del locus es determiado utilizano la siguiente regla: Si un número impar de polos y ceros existe en un punto que descansa a la derecha del punto en el cual se descansa en el eje real, entonces es punto corresponde al locus. Las asíntotas indican a donde los polos van a ir mientras la ganancia se acerca a infinito. Para sistemas con más polos que ceros, el número de asíntotas es igual al número de polos menos el número de ceros. En algunos sistemas no hay asíntotas; cuando el número de polos es igual al número de ceros en cada locus, se termina en un cero en vez de asintóticamente en el infinito. Notar que es posible dibujar un root locus para sistemas con más ceros que polos, pero esos sistemas no representan sistemas físicos. En estos casos uno puede pensar que algunos de los polos estan colocados en el infinito.

118 Los puntos de corte existen donde dos o más loci se unen y luego divergen. A pesar de que los encontramos frecuentemente en el eje real, ellos pueden ocurrir en cualquier otro sitio del plano complejo. Cada punto de corte es un punto donde una doble raíz existe para algún valor de K. Matemáticamente, dado la ecuación de root locus 1 + KG(s) = 0 donde la función de transferencia G(s) consiste de un numerador, A(s), y un denominador B(s), entonces los puntos de ruptura se pueden determinar de las raíces de: Si K es real y positivo en un valor de s que satisface la ecuación, entonces el punto es uno de ruptura. Siempre habrá un número par de loci alrededor de cualquier punto de ruptura; para cada locus que entra el locus, deberá haber uno que sale. El criterio angular determina cuál es la dirección del movimiento de las raíces mientras se cambia la ganancia desde cero hasta el infinito

119 Los puntos donde el root locus interseca el eje imaginariose indican con los valores de K en los cuales el sistema de lazo cerrado es marginalmente estable. El sistema de' lazo cerado será inestable para cualquier ganancia para la cual el locus se encuentre en la parte real positiva del plano complejo. Si el root locus cruza el eje imaginario desde izquierda a derecha en un punto K=K0 y se mantiene completamente en la parte derecha del plano complejo, entonces el sistema es insetable para todos los valores de K>K0. Por lo tanto, sabiemos que el valor de K0 es bien útil. Algunos sistemas son particularmente nasty cuando su root locus entra y sale del eje imaginario. En estos sistemas, incrementar la ganancia de root locus causará que el sistema se vuelva inestable inicialmente y luego se vuelva estable de nuevo.

120 Hacemos alpha igual a cero y eso implica que k= 90(18) no es casualidad. siempre se va a poder cancelar ese término La frecuencia de oscilación es el intercepto de root locus en el eje imaginario jw=j3 por raiz de once

121 Root Locus: Es un método para determinar el lugar de los polos según varía un parámetro De cero a infinito. Aplica para sistemas de lazo cerrado K R(s)Y(s) La razón por la cual no se usa Root Locus en el sistema de lazo abierto es que El la ecuación característica del sistema de lazo cerrado el valor de la K no cambia Porque simple y sencillamente no se encuentra en la ecuación característica. Esto significa que no hay movimiento de los polos. Los polos se encuentran en el Mismo lugar siempre D(s) = s(s + 4) = 0

122 Las asintotas forman ángulos simétricos Ф n Ejemplo clásico σ jωjω Siempre que usted tenga tres asíntotas los ángulos van a ser: 180 y mas y menos 60 Este ejemplo es fenomenal por que se usan siete reglas de las ocho Raul Torres Muñiz 22 de abril de 2003 <<<<<<<< X X X Regla # 3 Regla # 6 n a = 3 – 0 = 3 Regla # 5 punto en el eje donde intersecan todas las asíntotas Regla # ba ángulo que van a hacer las asíntotas Root locus se encuentra a la izquierda de un numero impar de polos y ceros ¡¡Esta regla es para el eje real!! número de asíntotas Regla # Hacer Routh y Hurwitz para saber intercepto en el eje imaginario. s3s3 199 s2s K s1s1 α s0s0 α tiene que ser iguala a cero para sistema oscilatorio. K = 90(18) A(s)= 18s 2 +90(18)+ 18(9)= 0 60 o - 60 o 180 o Intercepto en el eje real

123 Hacer el Root locus de los siguientes sistemas de retroalimentación unitaria dado el modelo de la planta en lazo abierto: (aproxime el punto de ruptura, no lo determine analíticamente) Condición de magnitud: buscar el valor de la K |KG(s)H(s)| = 1 X X >>>0<<< X 0<<<< Doble cero n a = número de polos – número de ceros n a = numero de asíntotas o ceros en el infinito Como el root locus es simétrico, ya sabemos que hay dos polos que se van a ir hacia los ceros y nos queda un polo solitario que irá en búsqueda de su cero en el infinito. ya esto no es un genuino disparate

124 Hacer el Root locus de los siguientes sistemas de retroalimentación unitaria dado el modelo de la planta en lazo abierto: (aproxime el punto de ruptura, no lo determine analíticamente) Condición de magnitud: buscar el valor de la K |KG(s)H(s)| = 1 X X >> << X o Doble cero n a = número de polos – número de ceros n a = 1 Como el root locus es simétrico, ya sabemos que hay dos polos que se van a ir hacia los ceros y nos queda un polo solitario que irá en búsqueda de su cero en el infinito. o

125 K X Condición de magnitud: |KG(s)H(s)| = 1 Asi que K:

126 Hacer el Root locus de los siguientes sistemas de retroalimentación unitaria dado el modelo de la planta en lazo abierto: X X X <<<<<<<<<<<< n a = número de polos – número de ceros n a = numero de asíntotas o ceros en el infinito n a = 3 – 0 = 3 s3s3 118 s2s2 9K s1s1 α0 s0s0 K Para α igual a cero hay una fila de ceros Ésto hace al sistema marginalmente estable K debe ser igual a 9(18) = 162 Ecuación auxiliar

127 Dado el siguiente root locus: 1.determine cuales serán las raíces del sistema de lazo cerrado cuando K = 0 2.Halle los puntos de ruptura 3.Halle las asíntotas 4.determine el rango de estabilidad del sistema de lazo cerrado 5.Halle el punto donde el locus interseca el eje imaginario -3

128 Hacer el root locus de los siguientes sistemas de retroalimentación unitaria, dado el modelo de la planta en lazo abierto: K X <<<<<<<<<<<< X K X <<<<<

129 K X kG(s) + 1 = 0 X XXXX n a = 3 – 0 = 3 <<<<<<<<<<<< s3s3 12 s2s2 2K s1s1 α0 s0s0 K

130 Hallar las raíces del sistema cuando K = 0, K = infinito y K = 1

131 Fulanito de tal trajo un sistema de retroalimentación negativa unitaria con entrada R(s) y salida C(s). Al alimentarle una entrada de salto unitario se encontró que el error en régimen permanente resultóse 0.5. Determine el tipo de sistema. ¿Cuál es el valor final de la planta cuando se le alimenta un salto de magnitud 10? B) Sultanito quiso copiarse de Fulanito, y trajo otro artefacto. Esta ve el error al alimentarle un salto unitario es de 1/3, e infinito para una entrada de rampa. ¿Cuál es el tipo de sistema de Pablo? ¿Cuál era el valor final de la planta cuando se le alimentó el salto unitario?

132 Estime el valor de la constante de amortiguamiento dado la respuesta del sistema a un salto unitario Determine K 1 y K 2 para que el siguiente sistema rechace al menos el 80% de los disturbios. K1K1 XX D(s) El error en régimen permanente de un sistema de retroalimentación unitaria con entrada de salto unitario es de 0.7. ¿Cuál sería el error de la planta en lazo abierto para el mismo salto unitario de entrada? Determine la región en el plano de s donde debe estar los polos de un sistema de segundo orden para que la respuesta a un salto unitario tenga un por ciento de rebase de 16.3 aproximadamente, y un tiempo de establecimiento igual a 2 segundos. Calcule el tiempo pico de estar los polos en el sitio que usted indica. Dado un sistema con función de transferencia igual a Determine el desvío máximo que tiene el sistema al tratar de seguir una entrada dde una onda cuadrada con amplitud unitraria y periodo de 20 segundos. Justifique su respuesta

133 Controladores G C (s)G P (s) X H(s) T S = ? P.O. = ? e ss = ?

134 Controlador Proporcional (P.) G C (s) = k p Fácil de usar No necesariamente se puede mejorar T S y P.O. Error e ss puede disminuir Es barato Propiedades Se usa junto con el root locus -+-+

135 Controlador Proporcional Diferencial (P.D.) G C (s) = k p + k o s Fácil de usar T S disminuye y P.O. suele aumentar Error e ss puede disminuir Es barato Propiedades Se usa junto con el root locus -+-+

136 Controlador Proporcional Integral (P.I.) Fácil de usar P.O. puede disminuir Error e ss disminuye Es barato Propiedades Se usa junto con el root locus -+-+

137 Controlador Proporcional Integro Diferencial (P.I.D.) El más usado Dismunuye e ss, T s, y %OS Error e ss disminuye Es BARATO porque se usa mucho Propiedades Fácil de conseguir -+-+

138 Exite un método Ziegler – Nichols 5 puntos de bono en el proyecto al usar este método Compensadores: Activo: Pasivo: Atraso: Adelanto: Atraso: Adelanto:Compensadores

139 Compensador de Adelanto -c-p0 Fácil de usar Error e ss disminuyes sin afectar %OS ni T S Es barato Propiedades Se usa junto con el root locus P.O. puede disminuir Estoy adelantando la fase Se comporta parecido a un P.D. pero el %OS no aumenta tanto. En efecto, disminuye el T S

140 Compensador de Atraso -c-p0 Fácil de usar Error e ss disminuyes sin afectar %OS ni T S Es barato Propiedades Se usa junto con el root locus P.O. puede disminuir

141 G C (s) X T S = 1.4seg P.O. < 16.4% ζ =0.5 Ф = 60 0 e ss < 0.25 Siempre vamos a empezar con el controlador proporcional P G C (s) = k p E.C. = s 2 + 6s + 8 +k P Este controlador no me cumple para un e ss menor de 0.25 Necesito un controlador que me disminuya el error. Alternativas son P.I.D y P. I. Luego ajusto la k usando la condición de magnitud

142 Compensador de atraso P.I. Compensador de atraso Al hacer esto T S aumenta y ea un polo por aumentar la ….. en el origen. Las probabilidades de que T S sea dañada son bien altas P.I.D.

143 k X Primer Problema del Tercer Examen A.Haga el root locus del sistemas B.Halle el rango de K tal que el sistema sea estable y se pueda aproximar a un sistema sub-amortiguado de segundo orden. (Hint: Utilice la condición de magnitud del root locus

144 K X Segundo Problema del Tercer Examen A.Haga el root locus del sistemas B.Halle el rango de K tal que el tiempo de establecimiento sea igual a 1.6 segundos, y la constante de amortiguamiento sea igual a

145 Determine el root locus de los siguientes sistemas


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