La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

Inducció matemàtica versus raonament per element genèric RESOLUCIÓ DE PROBLEMES I ARGUMENTACIÓ Saber que és cert versus Saber per què és cert Vicenç Font.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "Inducció matemàtica versus raonament per element genèric RESOLUCIÓ DE PROBLEMES I ARGUMENTACIÓ Saber que és cert versus Saber per què és cert Vicenç Font."— Transcripción de la presentación:

1 Inducció matemàtica versus raonament per element genèric RESOLUCIÓ DE PROBLEMES I ARGUMENTACIÓ Saber que és cert versus Saber per què és cert Vicenç Font Universitat de Barcelona

2

3 Font, V y Godino, J. D. (2006). La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores. Educaço Matematica Pesquisa (en prensa).

4

5

6 Argument Argument: una sèrie de raons articulades (premisses) que saporten amb el propòsit de justificar o recolzar una altra (anomenada conclusió o tesi). Raó: és la proposició que saddueix en favor duna altra. Les dades són raons que neixen de lobservació. Les definicions, proposicions i procediments són raons que sutilitzen com la garantia que justifica el pas de les dades a la conclusió. Les tesis es poden classificar de diferents formes: poden ser necessàries (afirmen que quelcom no pot ser duna altra manera) o contingents. Poden ser a priori o a posteriori, etc.

7 Raonament versus argument En què es distingeix un argument dun raonament? Ben sovint apareixen com a sinònims, però no tots els raonaments són arguments. Es diferencien pel seu àmbit dinfluència. Raonem per a nosaltres mateixos; argumentem per als altres. Un argument és la manifestació pública dun raonament, la seva projecció social, Argumentem perquè la nostra opinió pugui ser compartida. Dun raonament a un argument hi ha la mateixa distància que va dun pensament a la seva expressió oral. Encara que molt sovint els utilitzem com a sinònims, són coses distintes.

8 Opinió, explicació i argumentació Tot argument, per definició, està dirigit a lobjectiu de demostrar la veritat (conveniència) o falsedat duna afirmació, per mitjà de proves convincents. Quan una afirmació no té sosteniment, és a dir no es recolza en premisses, no estem davant dun argument. Pot expressar una opinió. Lobjectiu dun argument és provar una conclusió discutible, mentre que lexplicació pressuposa que no hi ha discrepància. Una altra diferència entre argumentació i explicació és que aquesta última no sempre es relaciona amb la prova (per exemple, se explica el que va passar, és a dir es fa una descripció)

9 Nivells de prova (demostració) en matemàtiques En levolució i desenvolupament de les teories matemàtiques cal considerar, com a mínim, tres estadis successius, corresponents a tres diferents nivells de precisió i rigor en el concepte de prova. En el primer estadi, anomenat intuïtiu o ingenu, es proven els enunciats de la teoria, però no es diu ni d´on part la prova ni quins són els procediments admissibles per a provar. En el segon estadi, anomenat axiomàtic, es determina el punt de partida de la prova, triant certs enunciats de la teoria com a axiomes i exigint que tots els altres siguin provats a partir dells, encara que segueix sense explicitar-se quins són els procediments o regles o mitjans de prova admissibles. En el tercer i últim estadi, anomenat formalitzat, el concepte de prova està completament precisat i explicitat, tant pel que fa al punt de partida de la prova com als mitjans de prova permesos. Hersh (1993) descriu la demostració en la pràctica real del matemàtic com «un argument convincent jutjat com a tal per jutges qualificats»

10 Demostració i validació De manera general, es pot dir que una deducció o demostració (prova) matemàtica és una successió coherent de passos que, prenent com verdader un conjunt de premisses anomenades hipòtesis, permet assegurar la veritat (validesa) duna tesi. Aquests passos han destar fonamentats en laplicació de regles de deducció lògica, axiomes o teoremes anteriorment demostrats. Les demostracions (proves) matemàtiques són un tipus darguments. Com resultat de levolució del que sentén per veritat matemàtica sutilitza el terme validació com a sinònim de demostració (prova) Abans: La deducció des daxiomes intuïtius és condició necessària i suficient de la veritat matemàtica Ara: Un enunciat és matemàticament vàlid si és deduïble dun sistema daxiomes no contradictori.

11 Forma estàndard Sigui quina sigui la manera en què presentem o sens ofereix un argument, en molts casos és possible reconstruir-ho en un format que mostri amb claredat lestructura lògica del raonament (p.e. segons lesquema següent):

12 Tipus de demostració Directa (constructiva) Es mostren les premisses que condueixen directament a la conclusió Indirecta (p.e. per eliminació o por reducció al absurd) S és A o B o C Però no és B ni és C Per tant, és A Si no és A, hem dacceptar que és no-A Si fora no-A, llavors es compliria no-B Però es compleix B Per tant, no pot ser no-A Per tant, és A Proves que proven versus proves que expliquen

13 1.Troba el major nombre possible de quadrats de qualsevol grandària que es poden formar en un tauler de 4x4 i en un de nxn. Estratègia inicial. Buscar un exemple mes simple i trobar alguna regularitat (aleatòriament, de manera sistemàtica, hàbilment) 1 1 x 1 2x2 3x3 4X4 TOTAL

14 Per a un tauler de 4 x 4 tenim: 1² + 2² + 3² + 4² Per a un tauler de 8 x 8, serà: 1 ² + 2² + 3 ² + 4² + 5² + 6 ² + 7² + 8² Per tant, en general:

15 Generalització per inducció (empírica/incompleta) (sembla que és cert, però no sabem per què) Formulación de una conjectura Validació del resultat (argumentem a partir dun element genèric). (sabem que és cert i per què ho és) 4 de (n-1) x (n-1) De manera análoga es veu que nhi ha 9 de (n-2) x (n-2). Etc. Un element concret però genèric

16 Un element genèric, però concret Mason, J.; Burton, L.; Stacey, K. (1988) Tot S és P (no existeix cap cas amb la propietat S que no presenti la propietat P). No shan examinat tots els casos. Només un, però estem segurs de que el que diem per aquest cas es vàlid per a tots els casos És una generalització a partir dun cas particular. Ha de ser un cas qualsevol, és a dir, no pot presentar diferències particulars que anul·lin la seva representativitat

17 AMPLIACIÓ DEL PROBLEMA Buscar una expressió que ens doni la suma dels quadrats dels primers números naturals

18 Demostració per inducció 1) Conjetura sobre lexpressió de la suma Es va provant amb valors de n petits (p.e. n<5) i sobserva que per a aquests valors es compleix: Courant, R. y John, F. (1976). Introducción al cálculo y al análisis matemático, pp ) Demostració per inducció completa I com es fa aquesta observació? En la inducció completa, sexaminen tots els casos

19 Sabem que és cert, però no sabem perquè ho és

20 Alguns suggeriments visuals ??? Una segona solució (Mario Bunge) que ens informa sobre el per què la podem trobar a: Volem saber per què és cert

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31 Problema Amb les peces de la figura: a) Construeix un cub de 4x4 b) Descriu les peces que són necessàries per a construir (de la mateixa manera) un cub de 5x5, un de 8x8 i un de nxn c) En el cas del cub nxn, puc construir les peces de color groc si tinc cubs de 1x1? d) Demostra de 5 maneres diferents lapartat anterior.

32

33

34 ·3 + 2·5 = 3 3 UNA DEMOSTRACIÓ DIFERENT (nova? -> V. Font)

35 ·3 + 2·5 + 3·7 = 4 3

36 ….+ n 2 + 1·3 + 2·5 + 3·7 + …. (n -1)(3+2(n-2)) = n ….+ n 2 + 1·3 + 2·5 + 3·7 + ….2n 2 -3n + 1 = n ….+ n 2 = T2· · · · ·3 2 -3·3 + 1 ……………… 2T -3(n+1)n/2 + n T + 2T -3(n+1)n/2 + 2 = n 3 2T + 4T - 3(n+1)n + 2n = 2n 3 2T + 4T - 3n 2 - 3n + 2n = 2n 3 6T = 2n 3 +3n 2 + n

37 TRADUCCIÓ ENTRE LLENGUATGES Interpretació geomètrica del desenvolupament del cub dun binomi GEOMETRIA Descomposició dun cub en poliedres MATERIALS DIDÀCTICS Construcció dun material didàctic per a la construcció dun cub a partir daltres poliedres

38 Demostració de Man-Keung Siu (Nelsen 1993)

39 Zack y Reid ca/cmesg/cmesg00/VZ TG.html

40

41 Martin Gardner i Dan Kalman independentment (Nelsen 1993)

42 Sidney H. Kung (Nelsen 1993)

43 Una altra demostració ( Mario Barra )

44 1/2 1/3 1/6 n3n3 n2n2 n6n … Demostració visual (Mario Barra)

45 Actividad 1 A Construye 3 piezas como la primera. Monta un cubo con ellas. Construye 6 como la segunda (B). Monta un cubo con ellas. Con dos piezas como la tercera, puedes montar claramente un cubo. A B C

46

47

48 Construye una pirámide de cartulina de 6x6 de base y 6 de altura Con la medida de la pirámide A anterior como primer término. A

49 Actividad 3 Construye las piezas que ves con 36 mitades como la figura C Y une además 6 piezas como la figura B

50 Coloca las escaleritas como se ve en la figura, apoyadas sobre la pirámide que habías construido de 6x6x6.En cada piso, queda hueco de trocitos como C Si hay n pisos ¿Cuántas piezas hay en total?

51 Ahora piensa en lo que hemos obtenido en general. ¿Cuantos cubitos unidad estamos viendo ? La suma de pisos cuadrados de 1 a n ¿Qué número de piezas los ha formado? 2 Una pirámide de n x n x n Tantas medias piezas de cubo como o sea n 2 Una pieza por piso de 1/6 ¿Cuál es, entonces, la suma de los cuadrados?

52 EULER (1752): V+C = A+2 EL PROBLEMA DE LA REPRESENTATIVIDAD DE LOS ELEMENTOS GENÉRICOS Lakatos (1978) muestra claramente el peligro de la argumentación con elementos genéricos

53 CAUCHY (1813): 1) QUITAR UNA CARA V+C = A+1 2) APLANAR 3) TRIANGULAR 4) ELIMINAR TRIÁNGULOS 5) COMPROVAR V+C = A+1 EN EL TRIÁNGULO

54 LHUILIER (1812) EXCEPCIÓN AL TEOREMA DE EULER Y A LA DEMOSTRACIÓN DE CAUCHY CUBO ENCAJADO EN OTRO. PUEDE CONSIDERARSE QUE EL CUBO INTERIOR PERFILA UN HUECO DENTRO DEL GRANDE 1) NO SE CUMPLE EL TEOREMA DE EULER 2) NO SE PUEDE SEGUIR EL PROCEDIMIENTO DE CAUCHY YA QUE AL QUITAR UNA CARA NO SE PUEDE EXTENDER SOBRE EL PLANO.

55 SI BIEN ESTE CASO CUMPLE LA DEFINICIÓN DE POLIEDRO QUE HABÍA DADO LEGENDRE (1794) (SÓLIDO CUYAS CARAS SON POLÍGONOS) ES UN CASO BASTANTE MÁS COMPLICADO DE LOS CASOS QUE SUGIRIERON EL TEOREMA DE EULER SOLUCIÓN: MODIFICAR LA DEFINICIÓN DE POLIEDRO PARA EXCLUIR ESTE CASO. NUEVA DEFINICIÓN DE POLIEDRO: UNA SUPERFICIE CON CARAS POLÍGONALES (JONQUIÈRES 1890)

56 Dificultades de los alumnos en el uso de elementos genéricos (Contreras, Font, Luque y Ordóñez, 2005)

57 Cuando en las prácticas matemáticas utilizamos una representación como un elemento genérico estamos actuando sobre un objeto particular, pero nos situamos en un "juego de lenguaje en el que se entiende que nos interesan sus características generales y que prescindimos de los aspectos particulares. Para conocer los detalles sobre las características de este juego del lenguaje, y de las dificultades que tienen los alumnos para participar en él, es necesario el análisis de diálogos entre profesores y alumnos relacionados con el uso de elementos genéricos.

58 La asimilación (o no) de las reglas de este juego de lenguaje es fundamental para que los alumnos puedan convivir con la complejidad semiótica asociada a las prácticas en las que interviene el elemento genérico. A continuación siguen dos diálogos en los que el profesor explica a los alumnos las reglas que rigen el uso del ejemplo genérico.

59 Diálogo 1 En este diálogo la profesora propone a los alumnos que resuelvan la siguiente actividad de su libro de texto: Ejercicio 14: Dada la función f(x)=ax+ b, demuestra que f (x 0 )=a, independientemente del valor x 0 considerado. Esta actividad se propone justo después de que la profesora haya explicado en clase un párrafo del libro de texto en el que se justifica que la derivada de la función constante f(x)=k es f (x)=0 primero gráficamente, razonando sobre la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de la recta, y después calculando el límite de las tasas de variación media:

60

61 Profesora: Lo vais a hacer de dos formas diferentes: gráficamente y utilizando límites. ¿De acuerdo? Venga, y después sale alguien a la pizarra a corregirlo. Mientras os voy repartiendo más material que después haremos servir, eh!, y así ya lo tenéis Alumno(Iván): Pero gráficamente, podemos... Eso es un ejemplo, si lo representamos gráficamente es un ejemplo... Profesora: (mientras hace gestos con la cabeza de que lo que dice el alumno es correcto y se acerca hacia él). Sí, Correcto! Iván: Y dice que x cero se considera... Profesora: Sí, pero Iván, para poderlo justificar coges un punto cualquiera de esta recta, cualquiera, y lo haces, y como esto lo podrías hacer con cualquier punto y con cualquier recta, sirve par justificarlo. ¿De acuerdo? Pero tienes razón, claro, para poderlo dibujar has de escoger un punto concreto y una recta concreta (mientras habla la profesora va repartiendo hojas a los alumnos).

62 Diálogo 2 Después de que el profesor haya introducido en clases anteriores la derivada en un punto como y justo después de haber introducido la función derivada como

63

64 Consideremos finalmente la producción de la alumna que muestra cómo dicha alumna es consciente de las reglas de uso del elemento genérico ya que las toma en cuenta en su respuesta al cálculo de la función derivada.

65

66 A los alumnos se les había propuesto la siguiente tarea que tenían que realizar utilizando el programa Cabri: A partir de la construcción propuesta los alumnos tenían que concluir primero que la traza que resultaba de mover el punto P era la parábola f(x) = x 2 y que la recta PG era la recta tangente a esta función en el punto P. También tenían que descubrir un invariante del tipo: en la parábola f(x) = x 2 la recta tangente en P corta al eje de ordenadas en un punto tal que la longitud del segmento que tiene por extremos este punto y el origen de coordenadas es la ordenada de P.

67 A continuación se les pidió que utilizaran esta propiedad para contestar la siguiente actividad: Actividad a) Si OF =a, justifica que GH =a, PF = a 2 i PH = 2a 2 : b) Utilizando que la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente, calcula f ´(a). c) Demuestra que la derivada de la función f(x) = x 2 es f ´(x) = 2x.

68 La respuesta de la alumna es: a) GH = a porque hay la misma distancia PF = a 2 porque la imagen de a en la función f(x) = x 2 es a 2 PH = 2a 2 porque es el doble de FP. Observemos que, con la letra "p" minúscula, la alumna indica la pendiente de la recta tangente. En la respuesta del apartado c), la igualdad "a = x" está expresando que el razonamiento de los apartados a) y b) son válidos para cualquier valor de a. Esto indica que la alumna ha entrado en el juego de lenguaje que regula el uso de elementos genéricos.

69 Referencias Barra, M. (1986). Knowing how to prove. Actas CIEAEM 37, pp Bunge, M. Prueba visual de la suma de los cuadrados de los naturales. Contreras, A., Font, V., Luque, L. y Ordóñez, L. (2005). Algunas aplicaciones de la teoría de las funciones semióticas a la didáctica del análisis infinitesimal. Recherches en Didactique des Mathématiques, 25(2), 151–186. Courant, R. y John, F. (1974). Introducción al cálculo y al análisis matemático. Tomos I y II. Limusa, México, 1976 y 1978 Davis Ph. J. (1993). Visual Theorems. Educational Studies in Mathematics 24(4) Font, V y Godino, J. D. (2006). La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores. Educaço Matematica Pesquisa (en prensa). Hanna, G. (1995) Challenges to the importance of proof, For the Learning of Mathematics, 15, 3, Hersh, R. (1993). Proving is convincing and explaining. Educational Studies in Mathematics 24, pp Godino J.D y Recio A. M. (2001) Significados institucionales de la demostración. Implicaciones para la educación matemática. Enseñanza de las ciencias, 19 (3),

70 Lakatos, I.. (1978) Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Madrid: Alianza Editorial. Mason, J.; Burton, L.; Stacey, K. (1988). Pensar matemáticamente. M.E.C- Labor: Madrid. Nelsen, R. (1993). Proofs without words: Exercises in visual thinking. Washington, DC: Mathematical Association of America. Polya, G. (1954) Mathematics and Plausible Reasoning. Princeton University Press, New Jersey. Thurston, W. P. (1994) On proof and progress in mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society. 30(2), (Este artículo se reimprimió en For the learning of mathematics, 15, 1, (1995). Zack, V. y Reid, D. A proof ought to explain: A classroom teacher-researcher, a mathematics educator, and three cohorts of fifth graders seek to make meaning of a non-obvious algebraic expression.


Descargar ppt "Inducció matemàtica versus raonament per element genèric RESOLUCIÓ DE PROBLEMES I ARGUMENTACIÓ Saber que és cert versus Saber per què és cert Vicenç Font."

Presentaciones similares


Anuncios Google