Inducció matemàtica versus raonament per “element genèric”

Presentación del tema: "Inducció matemàtica versus raonament per “element genèric”"— Transcripción de la presentación:

1 Inducció matemàtica versus raonament per “element genèric”
RESOLUCIÓ DE PROBLEMES I ARGUMENTACIÓ Inducció matemàtica versus raonament per “element genèric” “Saber que és cert” versus “Saber per què és cert” Vicenç Font Universitat de Barcelona

2

3 Font, V y Godino, J. D. (2006). La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores. Educaço Matematica Pesquisa (en prensa).

4

5

6 Argument Argument: una sèrie de raons articulades (premisses) que s’aporten amb el propòsit de justificar o recolzar una altra (anomenada conclusió o tesi). Raó: és la proposició que s’addueix en favor d’una altra. Les dades són raons que neixen de l’observació. Les definicions, proposicions i procediments són raons que s’utilitzen com la garantia que justifica el pas de les dades a la conclusió. Les tesis es poden classificar de diferents formes: poden ser necessàries (afirmen que quelcom no pot ser d’una altra manera) o contingents. Poden ser a priori o a posteriori, etc.

7 Raonament versus argument
En què es distingeix un argument d’un raonament? Ben sovint apareixen com a sinònims, però no tots els raonaments són arguments. Es diferencien pel seu àmbit d’influència. Raonem per a nosaltres mateixos; argumentem per als altres. Un argument és la manifestació pública d’un raonament, la seva projecció social, Argumentem perquè la nostra opinió pugui ser compartida. D’un raonament a un argument hi ha la mateixa distància que va d’un pensament a la seva expressió oral. Encara que molt sovint els utilitzem com a sinònims, són coses distintes.

8 Opinió, explicació i argumentació
Tot argument, per definició, està dirigit a l’objectiu de demostrar la veritat (conveniència) o falsedat d’una afirmació, per mitjà de proves convincents. Quan una afirmació no té sosteniment, és a dir no es recolza en premisses, no estem davant d’un argument. Pot expressar una opinió. L’objectiu d’un argument és provar una conclusió discutible, mentre que l’explicació pressuposa que no hi ha discrepància. Una altra diferència entre argumentació i explicació és que aquesta última no sempre es relaciona amb la “prova” (per exemple, se “explica” el que va passar, és a dir es fa una descripció)

9 Nivells de prova (demostració) en matemàtiques
En l’evolució i desenvolupament de les teories matemàtiques cal considerar, com a mínim, tres estadis successius, corresponents a tres diferents nivells de precisió i rigor en el concepte de prova. En el primer estadi, anomenat intuïtiu o ingenu, es proven els enunciats de la teoria, però no es diu ni d´on part la prova ni quins són els procediments admissibles per a provar. En el segon estadi, anomenat axiomàtic, es determina el punt de partida de la prova, triant certs enunciats de la teoria com a axiomes i exigint que tots els altres siguin provats a partir d’ells, encara que segueix sense explicitar-se quins són els procediments o regles o mitjans de prova admissibles. En el tercer i últim estadi, anomenat formalitzat, el concepte de prova està completament precisat i explicitat, tant pel que fa al punt de partida de la prova com als mitjans de prova permesos. Hersh (1993) descriu la demostració en la pràctica real del matemàtic com «un argument convincent jutjat com a tal per jutges qualificats»

10 Demostració i validació
De manera general, es pot dir que una deducció o demostració (prova) matemàtica és una successió coherent de passos que, prenent com verdader un conjunt de premisses anomenades hipòtesis, permet assegurar la “veritat” (“validesa”) d’una tesi. Aquests passos han d’estar fonamentats en l’aplicació de regles de deducció lògica, axiomes o teoremes anteriorment demostrats. Les demostracions (proves) matemàtiques són un tipus d’arguments. Com resultat de l’evolució del que s’entén per “veritat matemàtica” s’utilitza el terme “validació” com a sinònim de demostració (prova) Abans: La deducció des d’axiomes intuïtius és condició necessària i suficient de la veritat matemàtica Ara: Un enunciat és matemàticament “vàlid” si és deduïble d’un sistema d’axiomes no contradictori.

11 Forma estàndard Sigui quina sigui la manera en què presentem o se’ns ofereix un argument, en molts casos és possible reconstruir-ho en un format que mostri amb claredat l’estructura lògica del raonament (p.e. segons l’esquema següent):

12 Tipus de demostració Directa (constructiva)
Es mostren les premisses que condueixen directament a la conclusió Indirecta (p.e. per eliminació o por reducció al absurd) S és A o B o C Però no és B ni és C Per tant, és A Si no és A, hem d’acceptar que és no-A Si fora no-A, llavors es compliria no-B Però es compleix B Per tant, no pot ser no-A Proves que proven versus proves que expliquen

13 (aleatòriament , de manera sistemàtica, hàbilment)
Troba el major nombre possible de quadrats de qualsevol grandària que es poden formar en un tauler de 4x4 i en un de nxn. Estratègia inicial. Buscar un exemple mes simple i trobar alguna regularitat (aleatòriament , de manera sistemàtica, hàbilment) 1 x x x X TOTAL

14 Per a un tauler de 4 x 4 tenim:
1² + 2² + 3² + 4² Per a un tauler de 8 x 8, serà: 1 ² + 2² + 3 ² + 4² + 5² + 6 ² + 7² + 8² Per tant, en general:

15 Generalització per inducció (empírica/incompleta)
(sembla que és cert, però no sabem per què) Formulación de una conjectura Validació del resultat (argumentem a partir d’un element genèric). (sabem que és cert i per què ho és) 4 de (n-1) x (n-1) De manera análoga es veu que n’hi ha 9 de (n-2) x (n-2). Etc. Un element concret però genèric

16 Un element genèric, però concret
Mason, J.; Burton, L.; Stacey, K. (1988) És una generalització a partir d’un cas particular. Ha de ser un cas qualsevol, és a dir, no pot presentar diferències particulars que anul·lin la seva representativitat Tot S és P (no existeix cap cas amb la propietat S que no presenti la propietat P). No s’han examinat tots els casos. Només un, però estem segurs de que el que diem per aquest cas es vàlid per a tots els casos

17 AMPLIACIÓ DEL PROBLEMA
Buscar una expressió que ens doni la suma dels quadrats dels primers números naturals

18 Demostració per inducció
Courant, R. y John, F. (1976). Introducción al cálculo y al análisis matemático, pp 1) Conjetura sobre l’expressió de la suma Es va provant amb valors de n petits (p.e. n<5) i s’observa que per a aquests valors es compleix: I com es fa aquesta observació? En la inducció completa, s’examinen tots els casos 2) Demostració per inducció completa

19 Sabem que és cert, però no sabem perquè ho és

20 Volem saber per què és cert
??? Alguns suggeriments visuals Una segona solució (Mario Bunge) que ens informa sobre el per què la podem trobar a:

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31 Problema Amb les peces de la figura: a) Construeix un cub de 4x4
b) Descriu les peces que són necessàries per a construir (de la mateixa manera) un cub de 5x5, un de 8x8 i un de nxn c) En el cas del cub nxn, puc construir les peces de color groc si tinc cubs de 1x1? d) Demostra de 5 maneres diferents l’apartat anterior.

32

33

34 UNA DEMOSTRACIÓ DIFERENT
(nova? -> V. Font) ·3 + 2·5 = 33

35 ·3 + 2·5 + 3·7 = 43

36 1 + 22 + 32 + 42 +….+ n2 + 1·3 + 2·5 + 3·7 + …. (n -1)(3+2(n-2)) = n3
….+ n2 = T 2· ·1 + 1 2· ·2 + 1 2· · ……………… 2T -3(n+1)n/2 + n T + 2T -3(n+1)n/ = n3 2T + 4T - 3(n+1)n + 2n = 2n3 2T + 4T - 3n2 - 3n + 2n = 2n3 6T = 2n3 +3n2 + n

37 TRADUCCIÓ ENTRE LLENGUATGES
Interpretació geomètrica del desenvolupament del cub d’un binomi GEOMETRIA Descomposició d’un cub en poliedres MATERIALS DIDÀCTICS Construcció d’un material didàctic per a la construcció d’un cub a partir d’altres poliedres

38 Demostració de Man-Keung Siu (Nelsen 1993)

39 Zack y Reid

40

41 Martin Gardner i Dan Kalman independentment (Nelsen 1993)

42 Sidney H. Kung (Nelsen 1993)

43 Una altra demostració (Mario Barra)

44 Demostració visual (Mario Barra)
… 1/2 1/3 1/6 2 3 n 2 n 3 n 6

45 A Actividad 1 Construye 3 piezas como la primera. Monta un cubo con ellas. Construye 6 como la segunda (B). Monta un cubo con ellas. Con dos piezas como la tercera, puedes montar claramente un cubo. C A B

46

47

48 A Construye una pirámide de cartulina de 6x6 de base y 6 de altura
Con la medida de la pirámide A anterior como primer término.

49 Actividad 3 Construye las piezas que ves con 36 mitades como la figura C 1 3 5 7 Y une además 6 piezas como la figura B

50 Coloca las escaleritas como se ve en la figura, apoyadas sobre la pirámide que habías construido de 6x6x6.En cada piso, queda hueco de trocitos como C Si hay n pisos ¿Cuántas piezas hay en total?

51 Ahora piensa en lo que hemos obtenido en general.
¿Cuantos cubitos unidad estamos viendo ? 2 La suma de pisos cuadrados de 1 a n ¿Qué número de piezas los ha formado? Una pirámide de n x n x n Tantas medias piezas de cubo como o sea n 2 Una pieza por piso de 1/6 ¿Cuál es, entonces, la suma de los cuadrados?

52 EL PROBLEMA DE LA REPRESENTATIVIDAD DE LOS ELEMENTOS GENÉRICOS
Lakatos (1978) muestra claramente el peligro de la argumentación con elementos genéricos EULER (1752): V+C = A+2

53 CAUCHY (1813): QUITAR UNA CARA V+C = A+1 APLANAR TRIANGULAR ELIMINAR TRIÁNGULOS COMPROVAR V+C = A+1 EN EL TRIÁNGULO

54 EXCEPCIÓN AL TEOREMA DE EULER Y A LA DEMOSTRACIÓN DE CAUCHY
LHUILIER (1812) EXCEPCIÓN AL TEOREMA DE EULER Y A LA DEMOSTRACIÓN DE CAUCHY CUBO ENCAJADO EN OTRO. PUEDE CONSIDERARSE QUE EL CUBO INTERIOR PERFILA UN HUECO DENTRO DEL GRANDE NO SE CUMPLE EL TEOREMA DE EULER NO SE PUEDE SEGUIR EL PROCEDIMIENTO DE CAUCHY YA QUE AL QUITAR UNA CARA NO SE PUEDE EXTENDER SOBRE EL PLANO.

55 SI BIEN ESTE CASO CUMPLE LA DEFINICIÓN DE POLIEDRO QUE HABÍA DADO LEGENDRE (1794) (SÓLIDO CUYAS CARAS SON POLÍGONOS) ES UN CASO BASTANTE MÁS COMPLICADO DE LOS CASOS QUE SUGIRIERON EL TEOREMA DE EULER SOLUCIÓN: MODIFICAR LA DEFINICIÓN DE POLIEDRO PARA EXCLUIR ESTE CASO. NUEVA DEFINICIÓN DE POLIEDRO: UNA SUPERFICIE CON CARAS POLÍGONALES (JONQUIÈRES 1890)

56 Dificultades de los alumnos en el uso de elementos genéricos (Contreras, Font, Luque y Ordóñez, 2005)

57 Cuando en las prácticas matemáticas utilizamos una representación como un elemento genérico estamos actuando sobre un objeto particular, pero nos situamos en un "juego de lenguaje” en el que se entiende que nos interesan sus características generales y que prescindimos de los aspectos particulares. Para conocer los detalles sobre las características de este juego del lenguaje, y de las dificultades que tienen los alumnos para participar en él, es necesario el análisis de diálogos entre profesores y alumnos relacionados con el uso de elementos genéricos.

58 La asimilación (o no) de las reglas de este juego de lenguaje es fundamental para que los alumnos puedan convivir con la complejidad semiótica asociada a las prácticas en las que interviene el elemento genérico. A continuación siguen dos diálogos en los que el profesor explica a los alumnos las reglas que rigen el uso del ejemplo genérico.

59 Diálogo 1 En este diálogo la profesora propone a los alumnos que resuelvan la siguiente actividad de su libro de texto: Ejercicio 14: Dada la función f(x)=ax+ b, demuestra que f ‘(x0)=a, independientemente del valor x0 considerado. Esta actividad se propone justo después de que la profesora haya explicado en clase un párrafo del libro de texto en el que se justifica que la derivada de la función constante f(x)=k es f ‘(x)=0 primero gráficamente, razonando sobre la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de la recta, y después calculando el límite de las tasas de variación media:

60

61 Profesora: Lo vais a hacer de dos formas diferentes: gráficamente y utilizando límites. ¿De acuerdo? Venga, y después sale alguien a la pizarra a corregirlo. Mientras os voy repartiendo más material que después haremos servir, eh!, y así ya lo tenéis Alumno(Iván): Pero gráficamente, podemos... Eso es un ejemplo, si lo representamos gráficamente es un ejemplo... Profesora: (mientras hace gestos con la cabeza de que lo que dice el alumno es correcto y se acerca hacia él). Sí, Correcto! Iván: Y dice que x cero se considera... Profesora: Sí, pero Iván, para poderlo justificar coges un punto cualquiera de esta recta, cualquiera, y lo haces, y como esto lo podrías hacer con cualquier punto y con cualquier recta, sirve par justificarlo. ¿De acuerdo? Pero tienes razón, claro, para poderlo dibujar has de escoger un punto concreto y una recta concreta (mientras habla la profesora va repartiendo hojas a los alumnos).

62 Diálogo 2 Después de que el profesor haya introducido en clases anteriores la derivada en un punto como y justo después de haber introducido la función derivada como

63

64 Consideremos finalmente la producción de la alumna que muestra cómo dicha alumna es consciente de las reglas de uso del elemento genérico ya que las toma en cuenta en su respuesta al cálculo de la función derivada.

65

66 A los alumnos se les había propuesto la siguiente tarea que tenían que realizar utilizando el programa Cabri: A partir de la construcción propuesta los alumnos tenían que concluir primero que la traza que resultaba de mover el punto P era la parábola f(x) = x2 y que la recta PG era la recta tangente a esta función en el punto P. También tenían que descubrir un invariante del tipo: en la parábola f(x) = x2 la recta tangente en P corta al eje de ordenadas en un punto tal que la longitud del segmento que tiene por extremos este punto y el origen de coordenadas es la ordenada de P.

67 A continuación se les pidió que utilizaran esta propiedad para contestar la siguiente actividad:
a) Si OF =a, justifica que GH =a, PF = a2 i PH = 2a2: b) Utilizando que la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente, calcula f ´(a). c) Demuestra que la derivada de la función f(x) = x2 es f ´(x) = 2x.

68 La respuesta de la alumna es:
“a) GH = a porque hay la misma distancia PF = a2 porque la imagen de a en la función f(x) = x2 es a2 PH = 2a2 porque es el doble de FP.” Observemos que, con la letra "p" minúscula, la alumna indica la pendiente de la recta tangente. En la respuesta del apartado c), la igualdad "a = x" está expresando que el razonamiento de los apartados a) y b) son válidos para cualquier valor de a. Esto indica que la alumna ha entrado en el juego de lenguaje que regula el uso de elementos genéricos.

69 Referencias Barra, M. (1986). Knowing how to prove. Actas CIEAEM 37, pp Bunge, M. Prueba visual de la suma de los cuadrados de los naturales. Contreras, A., Font, V., Luque, L. y Ordóñez, L. (2005). Algunas aplicaciones de la teoría de las funciones semióticas a la didáctica del análisis infinitesimal. Recherches en Didactique des Mathématiques, 25(2), 151–186. Courant, R. y John, F. (1974). Introducción al cálculo y al análisis matemático. Tomos I y II. Limusa, México, 1976 y 1978 Davis Ph. J. (1993). Visual Theorems. Educational Studies in Mathematics 24(4) Font, V y Godino, J. D. (2006). La noción de configuración epistémica como herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de profesores. Educaço Matematica Pesquisa (en prensa). Hanna, G. (1995) Challenges to the importance of proof, For the Learning of Mathematics, 15, 3, Hersh, R. (1993). Proving is convincing and explaining. Educational Studies in Mathematics 24, pp Godino J.D y Recio A. M. (2001) Significados institucionales de la demostración. Implicaciones para la educación matemática. Enseñanza de las ciencias, 19 (3),

70 Lakatos, I. (1978) Pruebas y refutaciones
Lakatos, I.. (1978) Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático. Madrid: Alianza Editorial. Mason, J.; Burton, L.; Stacey, K. (1988). Pensar matemáticamente. M.E.C- Labor: Madrid. Nelsen, R. (1993). Proofs without words: Exercises in visual thinking. Washington, DC: Mathematical Association of America. Polya, G. (1954) Mathematics and Plausible Reasoning. Princeton University Press, New Jersey. Thurston, W. P. (1994) On proof and progress in mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society. 30(2), (Este artículo se reimprimió en For the learning of mathematics, 15, 1, (1995). Zack, V. y Reid, D. A proof ought to explain: A classroom teacher-researcher, a mathematics educator, and three cohorts of fifth graders seek to make meaning of a non-obvious algebraic expression.