@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 MATRICES U.D. 1 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.1 MATRICES U.D. 1 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.2 SUMA DE MATRICES U.D. 1.4 * 2º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.3 SUMA DE MATRICES Dadas dos matrices A=(aij) y B=(bij), ambas de dimensiones mxn, se define la suma A+B=(aij+bij) como la matriz obtenida sumando los elementos de A y B que ocupan la misma posición. PROPIEDADES Es asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C. Es conmutativa: A+B = B+A Tiene elemento neutro (La matriz nula). Toda matriz tiene su matriz opuesta.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.4 SUMA DE MATRICES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 1+1 2+4 3+7 = 4+2 5+5 6+8 7+3 8+6 9+9 OBSERVAR: Una matriz + su transpuesta = Matriz simétrica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4 7 + 2 5 8 3 6 9 2 6 10 = 6 10 14 10 14 18

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.5 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ Dada la matriz A=(aij) y el número real k llamado escala, se llama matriz producto k.A a la que resulta de multiplicar cada elemento de A por dicho número. PROPIEDADES Es distributiva respecto a la suma de matrices: k.(A+B)=k.A+k.B Es distributiva respecto a la suma de escalas: (k1+k2).A=k1.A+k2.A Es asociativa: k1.(k2.A) = (k1.k2).A Tiene elemento unidad: 1.A = A

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.6 k. A = k 1 4 7. 2 5 8 3 6 9 k 4k 7k = 2k 5k 8k 3k 6k 9k PRODUCTO DE k.A (-2). A = (-2). 1/2 -1 3 -1/6 2 -5 -1 2 -6 = 1/3 - 4 10

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.7 PROPIEDADES MATRIZ TRANSPUESTA ORDEN DE UNA MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada es de orden 2, 3, 4, etc si presenta 2, 3, 4, etc filas o columnas. IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A=(aij) y B=(bij), de dimensiones mxn y pxq son iguales si, en primer lugar: m=p, n =q ; y en segundo lugar aij=bij para cualquier par i,j PROPIEDADES DE LA M. TRASPUESTA La traspuesta de la traspuesta es la matriz dada. t t t (A.B)=B. A t t t (A+B) =A + B t t (k.A) =k. A

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.8 Ejemplos (A t ) t = A Sea A = 2 -1 3 -1 2 4 A t = 2 -1 -1 2 3 4 (A t ) t = 2 -1 3 -1 2 4 Vemos que se cumple dicha propiedad.

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.9 Ejemplos (A.B) t = B t. A t -3 Sea A = 2 -1 3 y B = 5 2 A.B = 2.(-3)+ (-1).5+3.2 = - 5 (A.B) t = - 5 2 B t. A t = -3 5 2. - 1 = -3.2 + 5.(-1)+2.3 = -5 3 Vemos que se cumple la propiedad.

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.10 Ejemplos (A+B) t = A t + B t Sea A = 2 -1 y B = 5 - 3 3 4 1 6 A+B = 2+5 -1-3 = 7 - 4 (A+B) t = 7 4 3+1 4+6 4 10 - 4 10 A t = 2 3 y B t = 5 1 -1 4 -3 6 A t + B t = 2+5 3+1 = 7 4 -1-3 4+6 -4 10 Vemos que se cumple la propiedad.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. C.T.11 Ejemplos (k.A) t =k. A t Sea A = 2 -5 7 y k = 3 -1 6 4 6 - 3 k.A = 3.A = 6 -15 21  (3.A) t = -15 18 -3 18 12 21 12 2 -1 6 -3 k. A t = 3.A t = 3. -5 6 = -15 18 7 4 21 12 Vemos que se cumple dicha propiedad.